复变函数第七节解析函数与调和函数的关系一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系三、小结与思考u
第七节 解析函数与调和函数 的关系 一、调和函数的定义 二、解析函数与调和函数的关系 三、小结与思考
复变函数调和函数的定义一、讠定义如果二元实变函数@(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程aa0ax?ay那末称β(x,y)为区域D内的调和函数拉普拉斯调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用I
2 一、调和函数的定义 定义 ( , ) . 0, , ( , ) 2 2 2 2 那末称 为区域 内的调和函数 有二阶连续偏导数 并且满足拉普拉斯方程 如果二元实变函数 在区域 内 具 x y D x y x y D = + 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用. 拉普拉斯
复变函数二、解析函数与调和函数的关系1.两者的关系定理任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数证 设w=f(z)=u+iv为D内的一个解析函数Ovauvu那末axaxayayavauaua2y从而ax?Qy2axayayaxU
3 二、解析函数与调和函数的关系 1. 两者的关系 定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部 和虚部都是 D 内的调和函数. 证 设 w = f (z) = u + iv 为 D内的一个解析函数, , . x v y u y v x u = − = 那末 , . 2 2 2 2 2 2 x y v y u y x v x u = − = 从而
复变函数根据解析函数高阶导数定理u与v具有任意阶的连续偏导数a2vavaxayayaxava2ya'u.au从而同理= 0,= 0,ax?Qy2ax2Qy2[证毕]因此u与v都是调和函数u
4 根据解析函数高阶导数定理, u与v 具有任意阶的连续偏导数, , 2 2 x y v y x v = 0, 2 2 2 2 = + y u x u 从而 0, 2 2 2 2 = + y v x v 同理 因此 u与v 都是调和函数. [证毕]
复变函数2.共轭调和函数的定义设u(x,)为区域D内给定的调和函数我们把使u+iv在D内构成解析函数的调和函数v(x,J)称为u(x,y)的共轭调和函数avauOvu的换句话说,在D内满足方程axaxay' ay两个调和函数中v称为u的共轭调和函数区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数u
5 , . , , 两个调和函数中 称为 的共轭调和函数 换句话说 在 内满足方程 的 v u x v y u y v x u D = − = 2. 共轭调和函数的定义 ( , ) ( , ) . ( , ) , 称 为 的共轭调和函数 们把使 在 内构成解析函数的调和函 数 设 为区域 内给定的调和函数 我 v x y u x y u iv D u x y D + 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调 和函数
复变函数3.偏积分法如果已知一个调和函数u，那末就可以利用柯西一黎曼方程求得它的共轭调和函数"从而构成一个解析函数u+vi.这种方法称为偏积分法例1 证明u(x,y)=3-3x2y为调和函数,并求其共轭调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数钢a'u1解因为=-6xy=-6y,ax?a'u3y2-3x2,6y二ay2u
6 3. 偏积分法 如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用 柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而 构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为偏积分法. 解 例1 . ( , ) ( , ) 3 , 3 2 数 其共轭调和函数 和由它们构成的解析函 证明 为调和函数 并求 v x y u x y = y − x y 6xy, x u = − 因为 6 , 2 2 y x u = − 3 3 , 2 2 y x y u = − 6 , 2 2 y y u =
复变函数a'ua'u于是0.故u(x,y)为调和函数X12axayQuav因为=-6xy,ayaxV= -6[ xydy= -3xy2 + g(x),av3= -3y2 + g'(x),axavQu又因为=-3y2 +3x2axayu
7 0, 2 2 2 2 = + y u x u 于是 故 u(x, y)为调和函数. 6xy, x u y v = − = 因为 v = −6 xydy 3 ( ), 2 = − xy + g x 3 ( ), 2 y g x x v = − + y u x v = − 又因为 3 3 , 2 2 = − y + x
复变函数-3y2 + g(x) = -3 y2 + 3x2,(c为任意常数)故 g(x)= (3x’dx= x3 +C, v(x,J)= x3 -3xy2 +C,得—一个解析函数w=y3-3xy+i(x3-3xy2+c)这个函数可以化为 w= f(z)=i(z3 +c)课堂练习证明u(x,)=x3-6x2y-3xy+2y3为调和函数,并求其共轭调和函数。答案v(x,y) = 3xy - 6xy2 - y3 + 2x3 + c.(c为任意常数山
8 g(x) = 3x dx 故 2 , 3 = x + c ( , ) 3 , 3 2 v x y = x − xy + c 3 ( ) 2 − y + g x 3 3 , 2 2 = − y + x 得一个解析函数 3 ( 3 ). 3 2 3 2 w = y − x y + i x − xy + c 这个函数可以化为 ( ) ( ). 3 w = f z = i z + c 答案 课堂练习 , . ( , ) 6 3 2 3 2 2 3 调和函数 并求其共轭调和函数 证明u x y = x − x y − xy + y 为 ( , ) 3 6 2 . 2 2 3 3 v x y = x y − xy − y + x + c (c为任意常数) (c为任意常数)
复变函数例2 已知v(x,y)=e*(ycosy+xsiny)+x+y为调和函数，求一解析函数 f(z)=u+iv,使f(O)=0α-解=e*(ycos y +xsin y + sin y)+ 1,1e*(cos y - ysin y + xcos y)+ 1,-uav由e*(cos y - ysin y + xcos y) +1,三axTay得 u= [[e*(cos y- ysin y + xcos y)+ 1]dxu
9 例2 , ( ) , (0) 0. ( , ) ( cos sin ) = + = = + + + f z u iv f v x y e y y x y x y x 和函数 求一解析函数 使 已知 为调 解 = ( cos + sin + sin ) + 1, e y y x y y xv x = (cos − sin + cos ) + 1, e y y y x y yv x yv xu = 由 = e (cos y − ysin y + xcos y) + 1, x u = e y − y y + x y + x x 得 [ (cos sin cos ) 1]d
复变函数u = e*(xcos y - ysin y)+ x + g(y),avau得由axaye*(ycos y + xsin y+ sin y)+ 1= e*(xsin y + ycos y + sin y)- g'(y),故 g(y)=-y+ c,于是 u=e*(xcosy-ysiny)+x-y+c,u
10 u e (xcos y ysin y) x g( y), x = − + + 由 ,得 y u x v = − e ( ycos y + xsin y + sin y) + 1 x e (xsin y ycos y sin y) g ( y), x = + + − 故 g( y) = − y + c, u e (xcos y ysin y) x y c, x 于是 = − + − +