复变函数第四节对数留数与辐角原理一、对数留数二、辐角原理三、路西定理四、小结与思考U
第四节 对数留数与辐角原理 一、对数留数 二、辐角原理 三、路西定理 四、小结与思考
复变函数一、对数留数1.定义具有下列形式的积分：6(2)dz2元i? f(z)称为f(z)关于曲线C的对数留数f'(z)说明:1)对数留数即函数(z)的对数的导数f(z)在C内孤立奇点处的留数的代数和：f'(z)的奇点2)函数(z)的零点和奇点都可能是7u
2 一、对数留数 1. 定义 具有下列形式的积分: C z f z f z i d ( ) ( ) 2 1 称 为f (z)关于曲线C的对数留数. 说明:1) 对数留数即函数 f(z)的对数的导数 ( ) ( ) f z f z 在C内孤立奇点处的留数的代数和; 2) 函数 f(z)的零点和奇点都可能是 ( ) ( ) f z f z 的奇点
复变函数2.定理一如果f(z)在简单闭曲线C上解析且不为零在C的内部除去有限个极点以外也处处解析1f'(z)那么dz= N-P. 其中,N为,f(z)在C2元 i f(z)内零点的总个数,P为,(z)在C内极点的总个数且C取正向注意：m级的零点或极点算作m个零点或极点u
3 2. 定理一 如 果f (z)在简单闭曲线C上解析且不为零, 在C的内部除去有限个极点以外也处处解析, 那么 d . ( ) ( ) 2π 1 z N P f z f z i C = − 内零点的总个数, P为 f(z)在C内极点的总个数. 其中, N为 f(z)在C 且C取正向. 注意: m级的零点或极点算作m个零点或极点
复变函数证设f(z)在C内有一个n级的零点ak则在zal<内， f(z)=(za)n(z),，((z)±0)f'(z) = n(z- a)n (z)+(z-ak)n '(z)f'(z)p'(z)nk在0<akl<内，Xf(z)z-akp(z)p'(z)是这一邻域内的解析函数,p(z)f'(z)是的一级极点且留数为nkiakf(z)u
4 证 设 f (z)在 C内有一个nk 级的零点ak， f (z) (z a ) (z), nk 则在 z − ak 内， = − k ( (z) 0 ) f (z) n (z a ) (z) (z a ) (z), k nk k n = k − k + − 在0 z − ak 内， . ( ) ( ) ( ) ( ) zz z a n f z f z k k + − = . ( ) ( )是这一邻域内的解析函数 zz . ( ) ( ) k nk f z f z a 是 的一级极点且留数为
复变函数设,f(z)在C内有一个Pk级的极点bk1则在0<-bkl<S'内,f(z)=y(z), ((z)0)(z - b,)pr f'(z) = -Pk(z-bk)-Px-1y(z)+(z - bh)-Pk y'(z)J"(2) = - Pk + y(2)在0<z-bk|<S'内,f(z) zbk(z)y'(z)是这一邻域内的解析函数。y(z)f(z)b是的一级极点且留数为-Pk:f(z)U
5 设 f (z)在C内有一个 pk 级的极点bk， ( ), ( ) 1 ( ) z z b f z pk k − 则在 − 内， = bk 0 z ( (z) 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1 f z p z b z z b z k pk k p = − k − k + − − − − 在0 z − bk 内， . ( ) ( ) ( ) ( ) z z z b p f z f z k k + − − = . ( ) ( )是这一邻域内的解析函数 z z . ( ) ( ) k pk f z f z b − 是 的一级极点且留数为
复变函数如果,f(z)在C内有l个级数分别为ni,n2,",ni的零点a,a2",a,和m个级数分别为P1,P2，""Pm的极点bi,b2,"",bm2由以上所述和留数定理，得mf'(2)(2)1(?)dz=Res.0+2元17)Resbk,akf(z)f(z)k=-1k-lf'(z)dz =(n + n2 +...+ n) -(P + P2 +...+ Pm)2元if(z)(f(z)或dz=N-P[证毕]2元 i f(z)山
6 , , , , , , , , , , ( ) , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 m l m l b b b a a a m p p p f z C l n n n 的极点 的零点 和 个级数分别为 如果 在 内有 个级数分别为 = C z f z f z i d ( ) ( ) 2π 1 , , ( ) ( ) , Res ( ) ( ) Res 1 1 = = + m k k l k k b f z f z a f z f z d ( ) ( ) ( ) 2π 1 1 2 l C z n n n f z f z i = + + + ( ), − p1 + p2 ++ pm d . ( ) ( ) 2π 1 z N P f z f z i C = − 或 [证毕] 由以上所述和留数定理，得
复变函数二、辐角原理1.对数留数的几何意义考察变换 w=f(z)w = f(z)rgw不一定为简单闭曲线，其可按正向或负向绕原点若干圈．f(z)在C上不为零,则I不经过原点u
7 二、辐角原理 考察变换 w = f (z) C z .w = f (z) Argw 不一定为简单闭曲线, 其可按正向或负向绕原 点若干圈. f (z)在C上不为零, 则不经过原点. 1. 对数留数的几何意义
复变函数f'(z)因为dz,dLnf(z)-f(z)4所以dLnf(z)dz.三2元 i (z)2元 i当z沿C的正向绕行一周Lnf(z)的改变量2元等于零当z沿C的正向绕行一周Inlf(z）的改变量2元单值函数+iArg.f(z)的改变量u
8 d , ( ) ( ) dLn ( ) z f z f z f z 因为 = dLn ( ). 2π 1 d ( ) ( ) 2π 1 = C C f z i z f z f z i 所以 当 沿 的正向绕行一周Ln ( )的改变量 2π 1 z C f z i = 当 沿 的正向绕行一周ln ( ) 的改变量 2π 1 z C f z i = + iArg f (z)的改变量. 单值函数 等于零
复变函数iArgf(z)的改变量：1)如果I不包含原点那么改变量为零2)如果r包含原点那么改变量为2k元i.其中k为w沿I围绕原点的圈数,逆时针为负顺时针为正。结论：对数留数的几何意义是I绕原点的回转次数K(k总为整数)U
9 iArgf (z)的改变量: 1) 如果不包含原点,那么改变量为零; 2) 如果包含原点,那么改变量为 2ki, 其中k为w沿围绕原点的圈数,逆时针为负, 顺时针为正. 结论: (k总为整数) 对数留数的几何意义是 绕原点的回转次数k
复变函数若将z沿C的正向绕行一周 f(z)的辐角的改变量记为 △c+Argf(z)由定理一及对数留数的几何意义得N-P=Ac+Arg f(z)2元当f(z)在C内解析时,P = 0可计算f(z)在C内零点的个数NA+Arg f(z)-此结果称为辐角原理Y2元u
10 若将z沿C的正向绕行一周, f (z)的辐角的改变量 Arg f (z) C 记为 + 由定理一及对数留数的几何意义得 Arg ( ) 2 1 N P f z C + − = 当f (z)在C内解析时, P = 0 Arg ( ) 2 1 N f z C + = 可计算f(z)在C内零点的个数 此结果称为辐角原理