复变函数第五节木柯西积分公式一、问题的提出二、柯西积分公式三、典型例题四、小结与思考U
第五节 柯西积分公式 一、问题的提出 二、柯西积分公式 三、典型例题 四、小结与思考
复变函数一、问题的提出设B为一单连通域，Z为B中一点f(z)在 z不解析.如果 f(z)在B内解析,那末Z- Zof(z)S所以dz一般不为零ICZ-ZoC为B内围绕Zo的闭曲线根据闭路变形原理知，该积分值不随闭曲线C的变化而改变,求这个值u
2 一、问题的提出 , . 设 B为一单连通域 z0 为B中一点 d , ( ) 0 C − z z z f z 所以 一般不为零 . ( ) ( ) , 0 0 如果 在 内解析 那末 在 z 不解析 z z f z f z B − 根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值. . C 为 B内围绕 z0 的闭曲线
复变函数积分曲线C取作以为中心,半径为很小的的正向圆周一zo=S,由,f(z)的连续性在C上函数 f(z)的值将随着s的缩小而逐渐接近于它在圆心处的值f(z)f(zo)d将接近于dz.(S缩小)JCZ-ZoZ-Zof(zo)dz= f(zo)fcdz 2元if(z01CZ - Zoz. - Zo1
3 , , 0 0 z − z = C z 的正向圆周 积分曲线 取作以 为中心 半径为很小的 由 f (z)的连续性, , ( ) 接近于它在圆心 0 处的值 在 上函数 的值将随着 的缩小而逐渐 z C f z d . ( ) ( ) d ( ) 0 0 0 将接近于 缩小 C − C − z z z f z z z z f z C − z z z f z d ( ) 0 0 d 2 ( ). 1 ( ) 0 0 0 z if z z z f z C = − =
复变函数二、柯西积分公式定理如果函数 f(z)在区域D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含那末于D，Zo 为C内任一点ff(z)dz.f(zo) =2元 i Jc z - ZoD证因为f(z)在zo 连续则 >0, S()>0,u
4 二、柯西积分公式 定理 − = C z z z f z i f z D z C f z D C D d . ( ) 2π 1 ( ) , , , ( ) , 0 0 于 0 为 内任一点 那 末 内的任何一条正向简单闭曲线 它的内部完全含 如果函数 在区域 内处处解析 为 z0 D 证 因为 f (z)在 z0 连续, C 则 0, ( ) 0
复变函数当-zol<时， f(z)-f(zo)<.设以Z为中心,半径为R(R<)的正向圆周K：z－zo= R全在C的内部( d=f)则fe12ddzJKz-Zo( d +f (2)(2n)=fkdzZ. - ZoZ - ZoRDf(z)- f(zo)= 2元if(z0) + fkdzZ- Zou
5 z0 D C K , 当 z − z0 时 ( ) ( ) . 0 f z − f z , , ( ) : 0 0 全在 的内部 设以 为中心 半径为 的正向圆周 z z R C z R R K − = R C − z z z f z d ( ) 0 则 − = K z z z f z d ( ) 0 − − + − = K K z z z f z f z z z z f z d ( ) ( ) d ( ) 0 0 0 0 − − = + K z z z f z f z if z d ( ) ( ) 2 ( ) 0 0 0
复变函数f(z) -f(zo)f(2)- f(z0) dz/≤ fkdsJKKZ-ZoZ - Zo80二ds = 2元 8.RJK上不等式表明，只要R足够小，左端积分的模就可以任意小根据闭路变形原理知，左端积分的值与R无关所以只有在对所有的R积分值为零时才有可能[证毕]f f(z)dz柯西积分公式f(zo) =柯西介绍2元iJc z - Zou
6 − − K s z z f z f z d ( ) ( ) 0 0 d 2π . = K s R 上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就 可以任意小, 根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关, 所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能. [证毕] − = C z z z f z i f z d ( ) 2 1 ( ) 0 0 柯西积分公式 柯西介绍 − − K z z z f z f z d ( ) ( ) 0 0
复变函数关于柯西积分公式的说明：(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示(这是解析函数的又一特征(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式(这是研究解析函数的有力工具(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值如果C是圆周z=Zo+R·eion " (zo + R. e")do.f(zo)= 1
7 关于柯西积分公式的说明: (1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示. (这是解析函数的又一特征) (2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分 表达式. (这是研究解析函数的有力工具) (3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上 的平均值. , 0 i 如果C 是圆周z = z + R e ( )d . 2π 1 ( ) 2π 0 0 0 = + i f z f z R e
复变函数三、典型例题例1求下列积分sin zdz;(2) +dz.(1)z-32元Z(z+1z=4（z=4sin z解Ddz.(1)2元iZz=4因为 f(z)= sin z在复平面内解析,z=0位于z<4内u
8 三、典型例题 例1 解 = = − + + 4 4 d . 3 2 1 1 d ; (2) sin 2 1 (1) z z z z z z z z i 求下列积分 = 4 d sin 2 1 (1) z z z z i 因为 f (z) = sin z 在复平面内解析, z = 0位于 z 4内
复变函数由柯西积分公式sin z1dz.2元i· sin z/z=0 = 0;8二2元i2元i7z=42(2) §dz.+z-3z+1z=426dz +dz =2元i.1+2元i.2IIzi=4 - 3[z=4 z + 1= 6元i.U
9 = − + + 4 d . 3 2 1 1 (2) z z z z = = − + + = 4 4 d 3 2 d 1 1 z z z z z z = 2i 1+ 2i 2 = 6i. = 4 d sin 2 1 z z z z i = 0; 由柯西积分公式 0 2 sin 2 1 = = z i z i
复变函数et例2计算积分dz.Iz-=2 Z - 1解因为,f(z)=e"在复平面内解析,Z=1位于z<2内由柯西积分公式ezdz =2元i·e=2eπi.7=1-[z/-2 u
10 例2 = − 2 d . 1 z z z z e 计算积分 解 因为 ( ) 在复平面内解析, z f z = e z = 1位于 z 2内, 由柯西积分公式 1 2 d 2 1 = = = − z z z z z i e z e = 2ei