《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第二章 解析函数 2.2 第二节 函数解析的充要条件

复变函数第二节函数解析的充要条件一、主要定理二、典型例题三、小结与思考U

第二节 函数解析的充要条件 一、主要定理 二、典型例题 三、小结与思考

复变函数一、主要定理定理一设函数 f(z)=u(x,J)+iv(x,y)定义在区域D内,则f(z)在D内一点z=x+yi可导的充要条件是：u(x,y)与v(x,J)在点(x,y)可微,并且在该点满足柯西一黎曼方程柯西介绍OvQuovQu黎曼介绍-axaxayayu

2 一、主要定理 定理一 , . : ( , ) ( , ) ( , ) , , ( ) ( ) ( , ) ( , ) x v y u y v x u u x y v x y x y D f z D z x yi f z u x y iv x y   = −     =   = + = + 点满足柯西－黎曼方程 件 是 与 在 点 可 微 并且在该 内 则 在 内一点 可导的充要条 设函数 定义在区域 柯西介绍 黎曼介绍

复变函数证(1)必要性设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域 D内,且 f(z)在D内一点z=x+yi可导则对于充分小的△z=△x+讼y>0,有 f(z+z) - f(z) = '(z)z + p(z)z,其中 lim p(△z) = 0,0令 f(z+ △z)- f(z)= △u+iv,f'(z) = a +ib,，p(△z) = Pi +ip2 u

3 证 (1) 必要性. ( ) , ( ) ( , ) ( , ) , 且 在 内一点 可导 设 定义在区域 内 f z D z x yi f z u x y iv x y D = + = + 则对于充分小的 z = x + iy  0, 有 f (z + z) − f (z) = f (z)z + (z)z, lim ( ) 0, 0  =  → z z 其中  令 f (z + z) − f (z) = u + iv, f (z) = a + ib, ( ) ,  1 2 z = + i

复变函数所以 Au+讼v=(a + ib).(△r + iAy)+(Pi +ip2) :(△r + iAy)= (a△x - bAy + P,Ax - P2Ay)+ i(bAx + aAy + P,Ar + PiAy)于是 Au = aAx-bAy + P,Ax- P2AyAv = bAr + aAy + PAx + PiAy.因为 lim p(△z)=0, 所以 lim P, = lim P2 = 0,Ar-→0Az0Ax-→0Ay-→0Ay-→0u

4 所以 u + iv = (a + ib)(x + iy) ( ) 1 2 + + i (x + iy) ( ) ( ) 2 1 1 2 i b x a y x y a x b y x y +  +  +  +  =  −  +  −      , 1 2 于是 u = ax − by +  x −  y . 2 1 v = bx + ay +  x +  y lim ( ) 0, 0  =  → z z 因为  1 0 0 lim   →  → y x 所以 2 0 0 lim   →  → = y x = 0

复变函数由此可知 u(x,)与v(x,)在点(x,J)可微avQuduOv且满足方程axaxayay由于(2) 充分性.f(z+△z) -f(z) = u(x + Ax, y+ Ay) -u(x, y)+ i[v(x + Ax, y+ Ay) - v(x,y))= Au+ iv,又因为 u(x,)与v(x,)在点(x,y)可微u

5 由此可知 u(x, y)与v(x, y)在点(x, y)可微, , . x v y u y v x u   = −     =   且满足方程 (2) 充分性. f (z + z) − f (z) = [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) i v x x y y v x y u x x y y u x y + +  +  − +  +  − = u + iv, 由于 又因为 u(x, y)与v(x, y)在点(x, y)可微

复变函数auQu于是Ar +AuAy + e,Ar + 82Ay三axayavavAV=Ax +Ay + &3Ax + 84Ay,ayax其中lim &kK=0,(k = 1,2,3,4)Ar-→0Ay-→0因此 f(z+△z)- f(z) =QuQuavavAr +Ay+(81 +i83)Ax +(82 +i84)Ay+1+1axaxayayu

6 , 1 2 y x y y u x x u u  +  +     +   于是  =   , 3 4 y x y y v x x v v  +  +     +    =   lim 0, ( 1,2,3,4) 0 0 = =  →  → k k y x 其中  因此 f (z + z) − f (z) = ( ) ( ) . 1 3 2 4 y i x i y y v i y u x x v i x u  + +  + +         +    +        +      

复变函数avOvQuQuav由柯西一黎曼方程-axaxayaxayf(z+z)- f(z) =Quav福(x +iAy)+(e) + i83)Ax +(82 + i84)Ay+iaxaxf(z+z) - f(z)Az012QuArAyI+(82 +i84)++i83+(8)axAzAzu

7 f (z + z) − f (z) =   +  +        +   ( x i y) x v i x u ( ) ( ) . 1 3 2 4  + i x +  + i y , , 2 x v i x v y u y v x u   =   = −     =   由柯西－黎曼方程=  +  − z f (z z) f (z) +   +   x v i x u ( ) ( ) . 1 3 2 4 z y i z x i   + +    +   

复变函数ArAy因为≤1,≤1,AzAz≤Aylim=0,+i8381+i84+(82AzAzAz0Quavf(z +△z)- f(z)所以 f(z)= lim+1ax axAz△z→0即函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+yi可导[证毕]U

8 1,  1,      z y z x 因为lim ( ) ( ) 0, 1 3 2 4 0 =         + +   +  → z y i z x i z     =  +  −  =  → z f z z f z f z z ( ) ( ) ( ) lim 0 所以 . x v i x u   +   即函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在点 z = x + yi 可导. [证毕]

复变函数根据定理一,可得函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,J)在点z=x+vi处的导数公式du1audvdvf'(z)ayaxiayax函数在区域D内解析的充要条件定理二函数,f(z)=u(x,J)+iv(x,J)在其定义域 D内解析的充要条件是：u(x,y)与v(x,y)在D内可微，并且满足柯西一黎曼方程u

9 : , ( ) ( , ) ( , ) 点 处的导数公式 根据定理一 可得函数 在 z x yi f z u x y iv x y = + = + . 1 ( ) y v y u x i v i x u f z   +   =   +    = 函数在区域 D内解析的充要条件 , . : ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 内可微 并且满足柯西－黎曼方程 域 内解析的充要条件是 与 在 定理二 函 数 在其定义 D D u x y v x y f z = u x y + iv x y

复变函数解析函数的判定方法：(1)如果能用求导公式与求导法则证实复变函数 f(z)的导数在区域D内处处存在,则可根据解析函数的定义断定 f(z)在D内是解析的(2)如果复变函数 f(z)=u+iv中u,v在 D内的各一阶偏导数都存在、连续(因而u,V(x,J)可微)并满足C一R方程，那么根据解析函数的充要条件可以断定 f(z)在 D内解析

10 解析函数的判定方法: ( ) . ( ) , (1) 解析函数的定义断定 在 内是解析的 数 的导数在区域 内处处存在 则可根据 如果能用求导公式与求导法则证实复变函 f z D f z D ( ) . ) C R , ( , ( , ) (2) ( ) , 的充要条件可以断定 在 内解析 可微 并满足 方程 那么根据解析函数 的各一阶偏导数都存在、连续 因而 如果复变函数 中 在 内 f z D u v x y f z u iv u v D − = +