关于第二次作业情况 习题3.4已知下列不可压缩流体无旋运动的速度势，求流函数。 (3)中=x/(x2+y2) (④=mInr(m=const)） 2元 解： (3) u= 0_(x2+y2)-2x2y2-x2 -2xy (x2+y2)2(x2+y2)2 V= a(x2+y2)2 04_-2x(x2+y2)2-y2-x2)2(x2+y2)2x2x3-4x3y2-6xy4 Ox (x2+y2)4 (x2+y2)4 O 9_-2x(0x2+y2)2+2xy:2(x2+y2)2y_-2x3+4x3y2+6xy4 8y (x2+y2)4 (x2+y2)4 因 ”+=0，故存在流函数V。 Oy
关于第二次作业情况 习题3.4 已知下列不可压缩流体无旋运动的速度势，求流函数。 (3) 解： 2 2 (3) /( ) (4) ln ( const) 2 m φ φ xx y r m π =+ = = 2 2 2 22 2 22 2 22 2 22 ( )2 2 , ( )( ) ( ) xy x yx xy u v x xy xy y xy ∂ +− − ∂ − φ φ = = = = = ∂ + + ∂+ 2 22 2 2 2 2 5 3 2 4 2 24 2 24 2 22 2 2 5 32 4 2 24 2 24 2 ( ) ( ) 2( ) 2 2 4 6 ( ) ( ) 2 ( ) 2 2( ) 2 2 4 6 ( ) ( ) u xx y y x x y xx x y xy x x y x y v x x y xy x y y x x y xy y x y x y ∂ − + − −⋅ +⋅ − − = = ∂+ + ∂− + + ⋅ +⋅ −+ + = = ∂+ + 0 u v x y ∂ ∂ + = 因 ∂ ∂ ，故存在流函数ψ
关于第二次作业情况 由 aΨ 得： 8x y-+0=eT4r+o=+y+w d u= 因 0m后 所以有： Oy (x2+y2)2 f'(y)=0 f(y)=C 因此得流函数： y Ψ= x2++C
关于第二次作业情况 由 得： v x ∂ ψ = − ∂ 2 2 2 22 2 22 2 2 2 1 ( ) ( ) () ( ) () () xy y dx f y y d x y f y f y x y x y x y ψ = + = ++ = − + ++ + ∫ ∫ 22 2 2 2 2 22 2 22 2 ( ) () () xy y yx u f y y xy xy ∂ +− − ψ = =− + = ′ ∂+ + 因 ，所以有： f y ′() 0 = f y ( ) = C 因此得流函数： 2 2 y C x y ψ = − + +
关于第二次作业情沉 本题转换成极坐标更为方便。极座标与直角坐标的关系： y=rsine,v,= aφ x=rcose, aφ or ra0 V·V= 0(rv,)+ or ae 因此： (x,y)=中(r,0)= r coso cosθ r 2 aφ V,= =- c0sθ sin 0 or 2 ra0 ）=(-00)= 0(rv cos0 c0Sθ r 2 r2 因 司(rv,)+v。=0,所以存在流函数。 1
关于第二次作业情况 本题转换成极坐标更为方便 。极座标与直角坐标的关系： 因此： xr yr = = cos , sin , θ θ , r v v r r θ φ φ θ ∂ ∂ = = ∂ ∂ 2 cos cos (, ) (, ) r xy r r r θ θ φ φθ == = 2 2 cos sin , r v v rr r r θ φ θ φθ θ ∂ ∂ = =− = =− ∂ ∂ 2 2 ( ) cos cos cos () , r r v v r rr r r θ θ θ θ θ ∂ ∂ ∂ =− = = − ∂ ∂ ∂ ( ) 0 r r v v r θ θ ∂ ∂ + = ∂ ∂ 因 ，所以存在流函数ψ。 ( ) r r v v r θ θ ∂ ∂ ∇⋅ = + ∂ ∂ V
关于第二次作业情况 极坐标下的流函数为： y-小ra0-,h-∫-cos6a0+n0dh sin 选取积分路径为 (0,0)→(r,0)→(r,0)
关于第二次作业情况 极坐标下的流函数为： 2 cos sin sin r v rd v dr d dr rr r θ θ θ θ ψ = − = − + =− θ θ ∫ ∫ 选取积分路径为 (0, 0) ( , 0) ( , ) → → r r θ θ r r
关于第二次作业情况 (4) aφ m 0 00 Or vo ra0 因 (rv,), Or v。=0,所以存在流函数V。 0 选取积分路径为 (0,0)→(，0)→(r,8) v-小0-w-2%d8-2实9C
关于第二次作业情况 (4) , 0 2 r m v v rr r θ φ φ π θ ∂ ∂ == = = ∂ ∂ 因 ，所以存在流函数ψ。 ( ) 0 r rv v r θ θ ∂ ∂ + = ∂ ∂ 2 2 r m m v rd v dr rd C r ψ θ θθ θ π π = −= = + ∫ ∫ 选取积分路径为 (0, 0) ( , 0) ( , ) → → r r θ θ r r
关于第二次作业情况 习题3.11 两个紧靠的水箱逐级放水， 放水孔的截面积分别为 A和A2,试问h和h2成什么 关系时流动处于定常状态？ 这时需在左边水箱补充多大 的流量？ 解： 以4处为基准，对3和4建立Bernoulli方程： 23 P: =24+ 28 由于23=h2,4=0,V3≈0，乃=P=B, A ④ 得到 V v2gha
关于第二次作业情况 习题3.11 解： 以 4处为基准，对 3 和 4建立Bernoulli方程： 两个紧靠的水箱逐级放水， 放水孔的截面积分别为 A1和 A 2，试问 h1和 h 2成什么 关系时流动处于定常状态？ 这时需在左边水箱补充多大 的流量？ 2 2 3 3 4 4 3 4 2 2 P V P V z z γ γ g g + + =+ + 3 2 z = h 4 z = 0 3 V ≈ 0 由于 ， ， ， ， PPP 340 = = 得到 4 2 V gh = 2
关于第二次作业情况 以2处为基准，对1和2建立 Bernoulli方程： 不1 21+ PL+ V=z2+? 2 Y 由于z1=h+z,22=0,=R,B=R+z,V≈0，得到=V2gh 流动为定常，应有9=92，即V2A=V44,，或4V2gh=4V2gh, 左箱需补充的流量为：Q,=A'2=AV2gh
关于第二次作业情况 以2处为基准，对1和2建立 Bernoulli方程： 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 P V PV z z γ γ g g ++ =+ + 1 1 z = h z + 2 z = 0 P1 0 = P PP z 2 0 = + γ 1 由于 ， ， ， ， ，得到 V ≈ 0 2 1 V = 2 gh 流动为定常，应有 ，即 Q Q 1 2 = VA VA 21 4 2 = ，或 1 12 2 A g2 2 h A = gh 1 2 2 2 1 ( ) h A h A = 1 12 1 1 左箱需补充的流量为： Q AV A gh = = 2
关于第二次作业情况 习题3.19 水以10m/s的速度从内径为 50mm的喷管中喷出，喷管 v=10m/s 的一端则用螺栓固定在内径 水 为100mm水管的法兰上， 如不计损失，试求作用在连 接螺栓上的拉力。 解：取如图的控制体，由连续方程 得到： 片-受-5-(0×10-25m1s
关于第二次作业情况 习题3.19 解：取如图的控制体，由连续方程 得到： 水以10 m/s的速度从内径为 50 mm的喷管中喷出，喷管 的一端则用螺栓固定在内径 为100 mm水管的法兰上， 如不计损失，试求作用在连 接螺栓上的拉力。 2 2 11 2 2 4 4 Vd V d π π = 2 2 2 1 2 1 50 ( ) ( ) 10 2.5 / 100 d V V ms d = ⋅= ×=
关于第二次作业情况 对喷管的入口及出口建立 Bernoulli方程： Y 28 压力用表压表示，P2=0,因此得到： P=p-)-05×99.1x0100-625)=4683W/m 对喷嘴应用动量定理，设喷嘴对流体作用力为R,则有 PAV2-PAV=-R+PA-PA
关于第二次作业情况 对喷管的入口及出口建立 Bernoulli方程： 2 2 11 2 2 2 2 P V PV γ γ g g + =+ 压力用表压表示， P2=0 ，因此得到： 2 2 2 1 21 1 ( ) 0.5 999.1 (100 6.25) 46833 / 2 P VV = − =× × − = ρ N m 对喷嘴应用动量定理，设喷嘴对流体作用力为 R，则有 2 2 ρ ρ A2 2 11 V AV R PA P A − =− + − 11 2 2
关于第二次作业情况 由于： 4-年4-年0)=785x101m 4-平4店-年005=196×10m 所以 R=P(AV2-4V)+PA =999.1×(0.0491-0.196)+367.6=220.8W
关于第二次作业情况 22 3 2 1 1 (0.1) 7.85 10 4 4 A d m π π − = = =× 22 3 2 2 2 (0.05) 1.96 10 4 4 A d m π π − = = =× 2 2 11 2 2 1 1 ( ) 999.1 (0.0491 0.196) 367.6 220.8 R AV AV PA N = −+ ρ =× − + = 由于： 所以