上游充通大学 Shanghai Jiao Tong University 第二章流体运动学 流体运动学：用几何观点研究流体 的运动，而不涉及力的问题，它主 要为流体动力学打下基础
Shanghai Jiao Tong University 第二章 流体运动学 流体运动学：用几何观点研究流体 的运动，而不涉及力的问题，它主 要为流体动力学打下基础
上降充通大睾 2.1描述流体运动的两种方法 Shanghai Jiao Tong University 我们在学习理论力学时，知道研究刚体运动时，采用的 是质点（系)概念，现在我们研究流体运动时，则采用质点 法和空间点法，即Lagrange's method和Euler's method相 结合的方法，这两种方法分别基于质点及空间点。 流体质点：是个物理点，它是在连续介质中取出的，在几何 尺寸上无限小，可以看作一点，但包含许多分子，具有一定 物理量，如v、O、p、p、T等。 空间点：几何点，表示空间位置。 两者相互关系：流场中空间某一 点，先后由不同的流体质点所占 据；流体质点物理量会发生变 化，而空间点是不动的
Shanghai Jiao Tong University 2.1 描述流体运动的两种方法 我们在学习理论力学时，知道研究刚体运动时，采用的 是质点（系）概念，现在我们研究流体运动时，则采用质点 法和空间点法，即Lagrange’s method 和 Euler’s method相 结合的方法，这两种方法分别基于质点及空间点。 流体质点：是个物理点，它是在连续介质中取出的，在几何 尺寸上无限小，可以看作一点，但包含许多分子，具有一定 物理量，如υ、ω、ρ、p、T等。 空间点：几何点，表示空间位置。 两者相互关系：流场中空间某一 点，先后由不同的流体质点所占 据；流体质点物理量会发生变 化，而空间点是不动的
上游充通大睾 Shanghai Jiao Tong University 2.1.1 Lagrange方法 Lagrange方法着眼于各个流体质点的运动，描述的是流体质点自 始至终的运动过程及它们的物理量随时间t的变化规律。 既然研究的对象是流体质点，那就要有一个能够识别个别 流体质点的方法。通俗讲，就是给它取个名字，以便能够自始 至终跟踪它。因一每时刻、每一质点都占有唯一确定的空间位 置，因此通常采用某时刻t=t。各质点的空间坐标（a、b、c) 表征它们，显然不同的质点，将有不同的（a、b、c)值，（a、 b、c)可以是曲线坐标，亦可为直角坐标，为了方便，先在直 角坐标系中进行讨论。 某一质点(a1、b1、c1)在空间运动时，运动规律为： x=x(a:b:c,t) y=y(a,b,c,t) (2-1-1) 2=z(a1,b1,C1,t)
Shanghai Jiao Tong University 2.1.1 Lagrange方法 Lagrange方法着眼于各个流体质点的运动，描述的是流体质点自 始至终的运动过程及它们的物理量随时间t的变化规律。 既然研究的对象是流体质点，那就要有一个能够识别个别 流体质点的方法。通俗讲，就是给它取个名字，以便能够自始 至终跟踪它。因一每时刻、每一质点都占有唯一确定的空间位 置，因此通常采用某时刻 t = to 各质点的空间坐标（a、b、c） 表征它们，显然不同的质点，将有不同的（a、b、c）值，（a、 b、c）可以是曲线坐标，亦可为直角坐标，为了方便，先在直 角坐标系中进行讨论。 某一质点（a1、b1、c1）在空间运动时，运动规律为： 111 111 111 ( , , ,) ( , , ,) ( , , ,) x xa b c t y ya b c t z za b c t = = = (2-1-1)
上浒充通大￥ Shanghai Jiao Tong University 2.1.1 Lagrange方法 任意流体质点在任意时刻空间位置，将是（a,b,c,t)这四个 量的函数，即 =x(a,b,c,t y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t) 或 r=r(a,b,c,t) (2-1-2) 流体质点速度、加速度及其它物理量 (2-1-2)表示的是流体质点、轨迹线的参数方程式。根据理论力学概念， 速度是同一质点在单位时间内位移变化率，而对于同一质点（4，b,c)不随t 变，因此由（2-1-2)可得到质点的速度、加速度及其它物理量表达式。 lim Ax lim x(a,b,c,t+At)-x(a,b,c,t)ox u △t→0 △t-→0 =u(a,b,c,t) △t △t at 速度 dy V= =v(a,b,c,t) Ot (2-1-3) Oz W= w(a,b,c,t) Ot
Shanghai Jiao Tong University 2.1.1 Lagrange方法 任意流体质点在任意时刻空间位置，将是（a,b,c,t）这四个 量的函数，即 或 （2-1-2） 流体质点速度、加速度及其它物理量 （2-1-2）表示的是流体质点、轨迹线的参数方程式。根据理论力学概念， 速度是同一质点在单位时间内位移变化率，而对于同一质点（a, b, c）不随t 变，因此由（2-1-2）可得到质点的速度、加速度及其它物理量表达式。 lim lim 0 0 (, , , ) (, , ,) (, , ,) (, , ,) (, , ,) t t x xabct t xabct x u u a b c t t tt y v vabct t z w wabct t Δ ∂ Δ→ Δ→ Δ ∂ +Δ − = = = = Δ ∂ = = ∂ ∂ = = ∂ 速度 （2-1-3） ( , , ,) ( , , ,) ( , , ,) x xabct y yabct z zabct = = = r r( , , , ) = abct
上游充通大学 Shanghai Jiao Tong University 2.1.1 Lagrange方法 加速度：同一质点在单位时间内速度变化率： t+3 dt 1+2dt ax= Ov.= =a.(a,bc,) t+dt 01 ay 0v,= at 2y=a,(a,bc,t） (2-1-4) a,= 0y-02 8t =a.(a,b,c,) 2 同样，流体密度、压力、温度也可写成（a,b,C,t)的函数： p=p(a,b,c,t) p=p(a,b,c,t) (2-1-5) T=T(a,b,c,t)
Shanghai Jiao Tong University 2.1.1 Lagrange方法 加速度：同一质点在单位时间内速度变化率： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ,,, ,,, ,,, x x x y y y z z z v x a a a b c t t t v y a a a b c t t t v z a a a b c t t t ∂ ∂ === ∂ ∂ ∂ ∂ == = ∂ ∂ ∂ ∂ === ∂ ∂ 同样，流体密度、压力、温度也可写成（a, b, c, t）的函数： ),,,( ),,,( ),,,( tcbaTT tcbapp tcba = = ρ = ρ （2-1-4） （2-1-5）
上游充通大学 Shanghai Jiao Tong University 2.1.1 Lagrange方法 Lagrange法在理论力学中得到广泛采用，因为它便于识别 质点（如质点系质量中心)，而在流体力学中，它看起来似乎 很简单，实际上计算工作量大，且提供的信息有些是我们不感 兴趣的，此外，Lagrange法中速度、加速度等物理量都是（a, b,C,t)函数，而不是空间坐标（，y,乙，t)函数，构不成场， 因而无法采用场论知识以简化问题。因此，Lagrange法在整 个流体力学研究中相对较少采用
Shanghai Jiao Tong University 2.1.1 Lagrange方法 Lagrange法在理论力学中得到广泛采用，因为它便于识别 质点（如质点系质量中心），而在流体力学中，它看起来似乎 很简单，实际上计算工作量大，且提供的信息有些是我们不感 兴趣的，此外，Lagrange法中速度、加速度等物理量都是（a, b, c, t）函数，而不是空间坐标（x, y, z, t）函数，构不成场， 因而无法采用场论知识以简化问题。因此，Lagrange法在整 个流体力学研究中相对较少采用
上浒充通大￥ 2.1.2 Euler方法 Shanghai Jiao Tong University Eue法着眼点是空间点，描述的是各个时刻、各个空间点上 流体质点物理量的变化情况。在Euer法中，物理量被表达成 空间坐标心，上，z及时间的函数，即 u=(x,y,2,t) Control volume v=v(x,y,z,t) (2-1-6) P(x,y,z,t) w=w(x,y,z,t) (x,y,) V(x,y.z t) p=p(x,y,2,t,) (2-1-7) p=p(x,y,2,t,) T=T(x,y,2,t,)
Shanghai Jiao Tong University 2.1.2 Euler方法 Euler法着眼点是空间点，描述的是各个时刻、各个空间点上 流体质点物理量的变化情况。在Euler法中，物理量被表达成 空间坐标x, y, z及时间t的函数，即 （2-1-6） （2-1-7） (, , ,) (, , ,) (, , ,) u uxyzt v vxyzt w wxyzt = = = ( , , , ,) ( , , , ,) T T ( , , , ,) p pxyzt xyzt xyzt ρ ρ = = =
上游充通大学 2.1.2 Euler方法 Shanghai Jiao Tong University 讨论： Euler法给出的是物理量的空间分布，即是场，如速度场（矢量 场)，压力场、密度场（标量场），可以采用场论方法研究。 若物理量场不随时间变化，即 0-0,称为定常场，即流动是定常的 (steady flow),否则，就是非定常场，流动是非定常的(unsteady f1ow）; 若物理量场不随空间点心，，z变化，称为均匀场，流动就是均匀流 动(uniform1 flow),否则，就是非均匀场，流动是非均匀流动(non- uniform flow)。 注意： Euler方法中的空间点化，y,z)与Lagrange?方法中质点位置x,y, z(即(2-1-2)式)有所区别，Euer方法中的空间点（化，Jy,z)是独立变 量即与无关，而Lagrange方法中质点位置x,y,是的函数
Shanghai Jiao Tong University 2.1.2 Euler方法 讨论： Euler法给出的是物理量的空间分布，即是场，如速度场(矢量 场)，压力场、密度场(标量场)，可以采用场论方法研究。 若物理量场不随时间t变化,即 ，称为定常场，即流动是定常的 (steady flow)，否则，就是非定常场，流动是非定常的(unsteady flow)； 若物理量场不随空间点(x, y, z)变化，称为均匀场，流动就是均匀流 动(uniform flow)，否则，就是非均匀场，流动是非均匀流动(nonuniform flow)。 注意： Euler方法中的空间点(x, y, z)与Lagrange方法中质点位置 x, y, z(即(2-1-2)式)有所区别， Euler方法中的空间点(x, y, z)是t独立变 量即与t无关，而Lagrange方法中质点位置x, y, z是t的函数。 ( ) 0 t ∂ = ∂
上游充通大学 2.1.2Euer方法 Shanghai Jiao Tong University 场论基本知识： x=(x,y,2)=(x1,x2,x3)=x(i=1,2,3) V=(u,y,w)=(w,u,w)=u,(i=1,2,3) 0 V= (aaa a Ox'oy'd x0x2x x (i=1,2,3) e.g., 7●V= Oxdy'dz ●(u,,w)= V= ax'ay'oz K 是Hamilton算子 Ow Ov ou 8y ay pressure p(x,t)-scalar(Oth order tensor) Te velocity (x,t)-vector (1st order tensor) T= =(6,j=1,2,3) stress (x,t)-2nd order tensor
Shanghai Jiao Tong University 2.1.2 Euler方法 场论基本知识： x y z O V ( ) ( ) ( ) 123 123 123 ( , , ) ( , , ) 1,2,3 ( , , ) ( , , ) 1,2,3 , , , , 1,2,3 e.g., , , (,, ) i i i i i xyz x x x x i uvw u u u u i i xyz x x x x uvw u uvw x yz x y z x = = == = = == ⎛ ⎞ ∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ = = == ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ • •= ⎜ ⎟ + + = ⎝ ⎠ ∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x V V = ∇ ∇ pressure ( , ) - scalar (0th order tensor) velocity ( , ) - vector (1st order tensor) p t t x V x stress ( , ) - 2nd order tensor τ x t 是Hamilton算子 , , x y z ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∇ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ i jk wv uw vu i jk x yz yz z x xy uvw ∂∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞ × = ⎜ ⎟ ⎜⎟ − + ⎜ ⎟ − + − ∂∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠ r r r r r r 14243 1 14243 4243 ∇ V = , 1, 2, 3 ( ) xx xy xz yx yy yz ij zx zy zz i j τττ τττ τ τττ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = == ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ τ
上游充通大学 2.1.2Euer方法 Shanghai Jiao Tong University 加速度： t什dt时刻Point(x+dx,y+dy) Streamline dr dy dx Point (x,y) t时刻 lim V'(x+△x,y+△y,z+△z,t+△t)-V(x,y,z,t) a △→t △t 当地加速度 (局部加速度) avav ov ov 十 ·L+ ·V+ .W Ot 8x dy 0z 变位加速度 V.V)V (迁移加速度)
Shanghai Jiao Tong University 2.1.2 Euler方法 t 时刻 加速度： t+dt 时刻 当地加速度 (局部加速度) 变位加速度 (迁移加速度) lim '( , y , , ) ( , , ,) t ( ) x x y z zt t x y z t t uvw tx y z t +Δ +Δ +Δ +Δ − =Δ→ Δ ∂∂ ∂ ∂ = + ⋅+ ⋅+ ⋅ ∂∂ ∂ ∂ ∂ = + ⋅∇ ∂ V V a VV V V V V V