关于第一次作业情况 u=Ax+By 习题2.6一二维流动的速度分布为 ly=Cx+Dy 其中A、B、C、D为常数，（①A、B、C、D间呈何种关系 时流动才无旋； (ⅱ)求此时流动的速度势。 Ou 解：()无旋须有 ov 而 .=C ou=B, 因而须有 Ox ay Ox 8y C=B 另外，若该流动要成为实际存在的流动时，须满足关系式 =0,而 二A, =D, 因而须有A=一D Ox
关于第一次作业情况 习题2.6 一二维流动的速度分布为 u Ax By v Cx Dy ⎧ = + ⎨ ⎩ = + 其中 A 、 B 、 C 、D 为常数，(i) A 、 B 、 C 、 D间呈何种关系 时流动才无旋；（ii）求此时流动的速度势。 解： (i) 无旋须有 ，而 ， ，因而须有 v u x y ∂ ∂ = ∂ ∂ v C x ∂ = ∂ u B y ∂ = ∂ C B = 另外，若该流动要成为实际存在的流动时，须满足关系式 0 u v x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ ，而 ， ， u A x ∂ = ∂ v D y ∂ = ∂ 因而须有 A D = −
关于第一次作业情况 ()满足无旋流动条件的速度分布为 u=Ax+By v=Bx-Ay 则 00=u=Ax+By Ox 积分得 o=-Ax'+Bxy+f(y) 代入 Bx+f(y)=Bx-Ay
关于第一次作业情况 （ii）满足无旋流动条件的速度分布为 u Ax By v Bx Ay ⎧ = + ⎨ ⎩ = − 则 u Ax By x ∂ϕ == + ∂ 积分得 1 2 ( ) 2 ϕ = ++ Ax Bxy f y 代入 v y ∂ϕ = ∂ 得： Bx f y Bx Ay + ′( ) = −
关于第一次作业情况 故0=-，即f0)=24抄 最后得 o=)A(x2-y2)+B
关于第一次作业情况 最后得 1 2 2 ( ) 2 ϕ = −+ A x y Bxy 故 f ′( ) y Ay = − ，即 1 2 ( ) 2 f y Ay = −
关于第一次作业情况 习题2.10试证明无旋流动的加速度场为一有势场。 证明： 无旋流动的加速度场可表示为 DV +V()-x下 D t ()+() 2)+)=p+ 该式表明无旋流动的加速度是一标量函数 +2) 的梯度， 故此标量函数即为加速度势
关于第一次作业情况 习题2.10 试证明无旋流动的加速度场为一有势场。 证明： 无旋流动的加速度场可表示为 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) () 2 () () ( ) 2 2 D V Dt t V t V V t t ϕ ϕ ϕ ∂ = +∇ − ×∇× ∂ ∂ = ∇ +∇ ∂ ∂ ∂ =∇ +∇ =∇ + ∂ ∂ V V V V r r r r 该式表明无旋流动的加速度是一标量函数 2 ( ) 2 V t ∂ ϕ + ∂ r 故此标量函数即为加速度势。 的梯度
关于第一次作业情况 也可以另一种方法证明： 证明： 设速度场为(x,y,,t)，则加速度场为 DV Op +(.V) Dt Ot av 对无旋流动有：=V×=0
关于第一次作业情况 也可以另一种方法证明： 证明： 设速度场为 V xyzt (, , ,) r ，则加速度场为 2 ( ) ( ) 2 DV V V V Dt t V V V V t ∂ = + ⋅∇ ∂ ∂ = +∇ − ×∇× ∂ r r r r r r r r 对无旋流动有： Ω =∇× = V 0 r r
关于第一次作业情况 故 DV_ Dt 对上式取旋度 V× DV Dt = wx-vx子) =0 无旋必有势，故无旋流动的加速度场为一有势场
关于第一次作业情况 故 2 ( ) 2 DVV V Dt t ∂ = +∇ ∂ rr r 对上式取旋度 2 2 ( ) 2 ( ) () 2 0 DV V V Dt t V V t ∂ ∇× =∇× +∇×∇ ∂ ∂ = ∇× +∇×∇ ∂ = r r r r r 无旋必有势，故无旋流动的加速度场为一有势场
关于第一次作业情况 梯度 V- 8x (i=1,2,3) 散度 vv-a a Ow (u,y,w)= ui 0z Oxi i K 旋度 a a Ow VxV= Bu dy y 0z V W 变位加速度 vw-s川-vn
关于第一次作业情况 i jk wv uw vu i jk x yz yz z x xy uvw ∂∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞ × = ⎜ ⎟ ⎜⎟ − + ⎜ ⎟ − + − ∂∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠ V r r r r r r 14243 1 14243 4243 ∇ = ( ) 2 2 2 2 ⎛ ⎞ V V⎛ ⎞ ⋅∇ =∇ − × ∇× =∇ − × ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ VV V V V Ω ( ) 123 , , , , 1, 2,3 , , (,, ) i i i i xyz x x x x uvw u uvw xyz x y z x ⎛ ⎞ ∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ = = == ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ ⋅= ⎜ ⎟ + + = ⎝ ⎠ ∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ V = ∇ ∇ 梯度 散度 旋度 变位加速度
关于第一次作业情况 W Vx(VxV)= Ow Ov a [1ad++w） +1 2 2 de [++[会袋音会 2 v.v-v2-Vx(VxV)
关于第一次作业情况 ( ) 2 2 1 2 i j k u vw vu uw wv vu uw wv v w i w u ju v k xy z x yz xy z x yz wv uwvu yz z x xy vw u u v w xx y z ⎡ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞⎤ ⎡ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎤ ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ × × = − − − + − − − + − − − ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝ ⎠ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ∂ ∂∂∂ ∂∂ −− − ∂∂∂∂∂∂ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂ = +−+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ ∂ V V r r r r r r ∇ = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 wu v v uv w w i u w j u v k yy x z zz x y v w u u u w v v vwi u w x y z u yx z u v v x y ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛⎞ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ + +− + + +− + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ∂ ++ ⎛ ⎞ ⎛⎞ ∂ ∂ ∂ ⎡ ∂ ++ ∂ ∂ ∂ ∂ = −+ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ++ − ⎢ + + ⎢ ⎥ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ∂ ∂∂ ∂ ⎢ ∂ ⎣ ⎦ ⎣ r r r r ( ) 2 2 22 2 22 2 22 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 u v w w j uv k z xy uvw uvw uvw u u u v v v w w w i jk u v w i u v w j u v w xy z x y z x y z y z w w x z ⎤ ⎡ ∂ ++ ⎤ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎥ + −+ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ + ⎥ ⎢ ⎥ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ∂ ++ ∂ ++ ∂ ++ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ++ − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + +⎜ ⎟ + + +⎜ + + ∂∂∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎦ ∂ ∂ ⎣ r r r r r r r ( ) 22 2 2 2 2 2 2 k uvw u v w ui u v w v j u v w wk xy z xy z xy z ui V V v j wk ⎡ ⎤ ⎢ ⎟ ⎥ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ++ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ = ∇⎜ ⎟− + + + + + + + + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ =∇ − ⋅∇ =∇ − ⋅∇ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ V V V r r r r r r r ( ) 2 2 ⎛ ⎞ ⋅∇ =∇ − × ∇× ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ V VV V V
关于第一次作业情况 (,y) 关于速度势和流函数的积分问题 例子：已知二维速度分布u=2xy,v=x2-y2, (0,0) 求速度势和流函数。 (,0) 解： 由于0. Ov du Ox ay =2x-2x=0, 所以存在速度势。 =udx+vdy=2xydx+(x2-y2)dy (x,0)(x,y) =+了=0+(2-y2)ay=x2y-3y3 (0,0) (x,0) (x,0 ou+ 由于ax =2y-2y=0,所以存在流函数。 ay w=∫-vdx+udy=「-(x2-y2)dx+2xydy +C 3 (0,0
关于第一次作业情况 关于速度势和流函数的积分问题 例子：已知二维速度分布 ， 求速度势和流函数。 解： 由于 ，所以存在速度势。 由于 ，所以存在流函数。 2 2 u xy v x y = 2 , = − ( ) 2 2 ( ,0 ) ( , ) (,) 22 2 3 (0 ,0 ) ( ,0 ) ( ,0 ) d d 2 d ( )d 1 0 d 3 x xy xy x x u x v y xy x x y y x y y xy y φ + = +− = + =+ − = − ∫ ∫ ∫∫ ∫ ＝ (0, 0) (x, 0) (x, y) ( ) 2 2 ( ,0 ) ( , ) 3 2 (0,0 ) ( ,0 ) 2 3 x x y x vdx ud y x y dx x y d y x xy C ψ = ∫− + = ∫− − + = + =− + + ∫ ∫ 220 z v u x x x y ∂ ∂ Ω= − = − = ∂ ∂ 22 0 u v y y x y ∂ ∂ +=−= ∂ ∂
关于第二次作业情况 习题3.4已知下列不可压缩流体无旋运动的速度势，求流函数。 (3)中=x/(x2+y2) (④=mInr(m=const)） 2元 解： (3) u=s 0_(x2+y2)-2x2y2-x2 -2xy (x2+y2)2(x2+y2)2 V= 0y(x2+y2)2 04_-2x(x2+y2)2-(y2-x2)2(x2+y2)2x_2x5-4x3y2-6xy4 Ox (x2+y2)4 (x2+y2)4 O 9-2x(x2+y2)2+2xy2(x2+y2)2y_-2x3+4x3y2+6xy4 8y (x2+y2)4 (x2+y2)4 因 ”+=0，故存在流函数V。 O Oy
关于第二次作业情况 习题3.4 已知下列不可压缩流体无旋运动的速度势，求流函数。 (3) 解： 2 2 (3) /( ) (4) ln ( const) 2 m φ φ xx y r m π =+ = = 2 2 2 22 2 22 2 22 2 22 ( )2 2 , ( )( ) ( ) xy x yx xy u v x xy xy y xy ∂ +− − ∂ − φ φ = = = = = ∂ + + ∂+ 2 22 2 2 2 2 5 3 2 4 2 24 2 24 2 22 2 2 5 32 4 2 24 2 24 2 ( ) ( ) 2( ) 2 2 4 6 ( ) ( ) 2 ( ) 2 2( ) 2 2 4 6 ( ) ( ) u xx y y x x y xx x y xy x x y x y v x x y xy x y y x x y xy y x y x y ∂ − + − −⋅ +⋅ − − = = ∂+ + ∂− + + ⋅ +⋅ −+ + = = ∂+ + 0 u v x y ∂ ∂ + = 因 ∂ ∂ ，故存在流函数ψ