h 上游充通大学 Shanghai Jiao Tong University 第五章 流体旋涡运动
Shanghai Jiao Tong University 第五章 流体旋涡运动
上游充通大学 Shanghai Jiao Tong University 5.1涡量场 涡量vorticity)用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为： 2=20=7×V 涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为： Ow Ov Ou Ow Ov Ou ay 2= 2.= ax 在流场的全部或部分存在角速度的场，称为涡量场。如 同在速度场中引入了流线、流管（流束）和流量一样。在涡量 场中同样也引入涡线、涡管、涡束和旋涡强度的概念
Shanghai Jiao Tong University 涡量(vorticity)用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为： 2ω ×∇==Ω V 5.1 涡量场 涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为： x w v y z ∂ ∂ Ω = − ∂ ∂ y u w z x ∂ ∂ Ω= − ∂ ∂ z v u x y ∂ ∂ Ω= − ∂ ∂ 在流场的全部或部分存在角速度的场，称为涡量场。如 同在速度场中引入了流线、流管(流束)和流量一样。在涡量 场中同样也引入涡线、涡管、涡束和旋涡强度的概念
上游充通大学 5.2涡线 Shanghai Jiao Tong University 涡线(vortex line)定义：某一瞬时漩涡场中的一条曲线，曲线上 任意一点的切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致。 由定义推导出其微分方程，设某一点上流体微团的瞬时角速度 为o=0i+0,j+ok,取过该点涡线上的微元矢量为 ds=di+dyj+dzk,根据定义，这两个矢量方向一致，矢量叉 乘积为0，即 o×ds=0 2 dx dy d 这就是涡线方程
Shanghai Jiao Tong University 5.2 涡线 涡线(vortex line)定义: 某一瞬时漩涡场中的一条曲线，曲线上 任意一点的切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致。 由定义推导出其微分方程，设某一点上流体微团的瞬时角速度 为 ，取过该点涡线上的微元矢量为 ，根据定义，这两个矢量方向一致，矢量叉 乘积为0，即 kji ++= ωωωω zyx ++= kdzjdyidxsd ω sd =× 0 x y z dzdydx ωωω == 这就是涡线方程
上浒充通大睾 5.3涡管和涡丝 Shanghai Jiao Tong University 涡管(vortex tube)定义：某一瞬时，在涡量场中任取一封闭曲 线c(不是涡线)，通过曲线上每一点作涡线，这些涡线形成 封闭的管形曲面。 如果曲线c构成的是微小截 面，那么该涡管称为微元涡 管。横断涡管并与其中所有 涡线垂直的断面称为涡管断 面，在微小断面上，各点的 旋转角速度相同。 02 涡管中充满着的作旋转运动 的流体称为涡束，微元涡管 中的涡束称为微元涡束或涡 丝(vortex filament)。 C
Shanghai Jiao Tong University 5.3 涡管和涡丝 涡管(vortex tube)定义: 某一瞬时，在涡量场中任取一封闭曲 线c(不是涡线)，通过曲线上每一点作涡线，这些涡线形成 封闭的管形曲面。 如果曲线c构成的是微小截 面，那么该涡管称为微元涡 管。横断涡管并与其中所有 涡线垂直的断面称为涡管断 面，在微小断面上，各点的 旋转角速度相同。 涡管中充满着的作旋转运动 的流体称为涡束，微元涡管 中的涡束称为微元涡束或涡 丝(vortex filament)。 C
上浒充通大￥ 5.4旋涡强度 Shanghai Jiao Tong University 旋涡强度，也称涡通量(vortex flux),定义如下： 在微元涡管中，二倍角速度与涡管断面面积dA的乘积称为 微元涡管的涡通量（旋涡强度），即 旋涡强度 dJ=S.dA-2ocos(@-n)dA=2@,dA 对有限面积，则通过这一面积的涡通量 应为 J-da=2 0,da 如果面积A是涡束的某一横截面积，就称为涡束 旋涡强度，它也是旋转角速度矢量的通量。旋涡 强度不仅取决于旋度2，而且取决于面积A
Shanghai Jiao Tong University 5.4 旋涡强度 旋涡强度，也称涡通量(vortex flux)，定义如下： 在微元涡管中，二倍角速度与涡管断面面积dA的乘积称为 微元涡管的涡通量(旋涡强度)，即 AddJ =⋅=⋅Ω= 2)cos(2 ωωω ndAdAn 对有限面积，则通过这一面积的涡通量 应为 J dA n dA A A ω ∫∫∫∫ =⋅Ω= 2 如果面积A是涡束的某一横截面积，就称为涡束 旋涡强度，它也是旋转角速度矢量的通量。旋涡 强度不仅取决于旋度Ω，而且取决于面积A
上降充通大￥ 5.5 速度环量 Shanghai Jiao Tong University 速度环量velocity circulation)定义：在流场的某封闭周线上， 流体速度矢量沿周线的线积分，定义为速度环量，用符号厂 表示，即： 「，=i.di=fv.cosa di α表示速度矢量与该点切线方向的 夹角。将上式写成标量积的形式为 I,=v.dl=(udx+vdy+wd=) 速度环量是标量，有正负号，规定沿曲线逆 时针绕行的方向为正方向，沿曲线顺时针绕 行的方向为负方向。对非定常流动，速度环 速度环量 量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线 上各点的速度计算，积分时为参变量
Shanghai Jiao Tong University 5.5 速度环量 速度环量(velocity circulation)定义：在流场的某封闭周线上， 流体速度矢量沿周线的线积分，定义为速度环量，用符号 Γ 表示，即: cos l l l Γ= ⋅ = ⋅ v dl v dl α ∫ ∫ r r α表示速度矢量与该点切线方向的 夹角。将上式写成标量积的形式为 ( ) l l l Γ= ⋅ = + + v dl udx vdy wdz ∫ ∫ r r 速度环量是标量，有正负号，规定沿曲线逆 时针绕行的方向为正方向，沿曲线顺时针绕 行的方向为负方向。对非定常流动，速度环 量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线 上各点的速度计算，积分时为参变量
上游充通大睾 5.6 Stokes定理 Shanghai Jiao Tong University Stokes定理：在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通 过该周线所包围曲面面积的旋涡强度，即： 「=fai=∬(×）小d万=∬dA=2∬o.d4=J 这一定理将旋涡强度与速度环量联系起来，给出了通过速 度环量计算旋涡强度的方法。 ds
Shanghai Jiao Tong University 5.6 Stokes定理 Stokes定理: 在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通 过该周线所包围曲面面积的旋涡强度，即: ( ) 2 n A AA Γ = ⋅ = ∇× ⋅ = Ω⋅ = = v dl v d A d A dA J ω ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ r r r ur ur ur 这一定理将旋涡强度与速度环量联系起来，给出了通过速 度环量计算旋涡强度的方法
上充通大 5.6 Stokes定理 Shanghai Jiao Tong University 涡线，涡管 流线，流管 涡通量（旋涡强度） 流量 Stokes定理： Gauss定理： 线积分台i 面积分 面积分台体积分 fai=j(×）da=J (ov.n)ds=(v)d 速度环量 源汇强度
Shanghai Jiao Tong University 涡线，涡管 流线，流管 涡通量(旋涡强度) 流 量 Stokes 定理： 线积分 ï 面积分 Gauss 定理： 面积分 ï 体积分 ( ) A Γ = ⋅ = ∇× ⋅ = v dl v dA J ∫ ∫∫ r r r ur ( ) ( ) S ρ ρ dS d Ω ∫∫ ∫∫∫ V n⋅ = ∇⋅ Ω V 0 0 速度环量 0源汇强度 5.6 Stokes定理
上游充通大学 5.6 Stokes定理 Shanghai Jiao Tong University 例子1：已知二维流场的速度分布为u=-3y,v=4x，试求 绕圆x2+y2=R的速度环量。 解：此题用极坐标求解比较方便，坐标变换为： x=rcoso y=rsino 速度变换为：y,=u cose+vsino vo vcose-usin vo 4rcos20+3rsin20 -"vrd-[(4rcos0+3rsin'O)rde r(4cos0+3sin0)d0=r" cos20d0 7ar2
Shanghai Jiao Tong University 5.6 Stokes定理 例子1：已知二维流场的速度分布为 ， ，试求 绕圆 的速度环量。 u y = −3 v x = 4 222 =+ Ryx 解： 此题用极坐标求解比较方便，坐标变换为: = rx cosθ = ry sinθ 速度变换为： cos sin r vu v = θ + θ vv u cos sin θ = θ − θ θ θθ2 2 = + rrv sin3cos4 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 22 2 2 0 0 (4 cos 3 sin ) (4cos 3sin ) 6 cos 7 v rd r r rd r d r r d r π π θ π π θ θ θθ θ θ θ π θθ π Γ= = + = + =+ = ∫ ∫ ∫ ∫
上游充通大学 5.6 Stokes定理 Shanghai Jiao Tong University 例子2：一二维涡量场，在一圆心在坐标原点、半径r=0.1m 的圆区域内，流体的涡通量J=0.4πm2/s。若流体微团在半 径r处的速度分量 为常数，它的值是多少？ 解：由Stokes定理得： 2π r=∫vgrd8=2πrvg=J 0.4π =2m/s 2元r 2π×0.1
Shanghai Jiao Tong University 5.6 Stokes定理 例子2：一二维涡量场，在一圆心在坐标原点、半径 的圆区域内，流体的涡通量 。若流体微团在半 径 r 处的速度分量 为常数，它的值是多少？ = 1.0 mr /4.0 smJ 2 = π θ v 解：由Stokes定理得 ： 2 0 v rd rv J 2 π Γ= = = θ θ θ π ∫ sm r J v /2 1.02 4.0 2 = × == π π π θ