第一章特殊的平行四边形 本章在学习了平行四边形的基础上研究特殊的平行四边形。通过平行四 边形角、边的特殊化,研究菱形、矩形和正方形等特殊的平行四边形,认识 这些概念之间的联系与区别,明确它们的内涵与外延;探索并证明平行四边 形、矩形、菱形、正方形的有关性质定理和判定定理,进一步明确命题及其 逆命题的关系,不断发展学生的合情推理和演绎推理能力。 本章研究特殊的平行四边形,图形比较多,而且图形的性质定理和判定 定理也比较多。教科书呈现这些内容时,注意突出图形性质和判定的探索与 发现过程,由观察度量、实验操作、图形变换等方式,通过合情推理发现结 论,形成猜想,运用演绎推理证明猜想。 通过平行四边形的变形一一角的变化,一个角为直角,探究并发现矩形 的四个角都是直角、对角线相等等性质;利用菱形的轴对称性,探究并发现 菱形四条边都相等、对角线互相垂直、对角线平分对角等性质。学生通过观 察度量、实验操作、图形变换等,运用合情推理,探究并发现结论,形成猜 想,进而要求学生运用演绎推理对猜想进行证明,得出图形的性质。把合情 推理和演绎推理有机结合起来 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形,它们的性质定理和判定定 理的研究方法,与平行四边形性质定理和判定定理的研究方法一脉相承 §1.1菱形的性质与判定(第一课时) 教学目标 1.经历菱形的概念、性质的发现过程 2.掌握菱形的概念 3.掌握菱形的性质定理“菱形的四条边都相等” 4.掌握菱形的性质定理“菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分 组对角 5.探索菱形的对称性 教学重点、难点 重点:菱形的性质 难点:菱形的轴对称需要用折叠和推理相结合的方法,是本节的教学难点 教学过程 引入:用多媒体显示下面的图形 观察以下由火柴棒摆成的图形 议一议:(1)三个图形都是平行四边形吗? (2)与图一相比,图二与图三有什么共同的特点? 目的是让学生经历菱形的概念,性质的发现过程,并让学生注意以下几点
第一章 特殊的平行四边形 本章在学习了平行四边形的基础上研究特殊的平行四边形。通过平行四 边形角、边的特殊化，研究菱形、矩形和正方形等特殊的平行四边形，认识 这些概念之间的联系与区别，明确它们的内涵与外延；探索并证明平行四边 形、矩形、菱形、正方形的有关性质定理和判定定理，进一步明确命题及其 逆命题的关系，不断发展学生的合情推理和演绎推理能力。 本章研究特殊的平行四边形，图形比较多，而且图形的性质定理和判定 定理也比较多。教科书呈现这些内容时，注意突出图形性质和判定的探索与 发现过程，由观察度量、实验操作、图形变换等方式，通过合情推理发现结 论，形成猜想，运用演绎推理证明猜想。 通过平行四边形的变形——角的变化，一个角为直角，探究并发现矩形 的四个角都是直角、对角线相等等性质；利用菱形的轴对称性，探究并发现 菱形四条边都相等、对角线互相垂直、对角线平分对角等性质。学生通过观 察度量、实验操作、图形变换等，运用合情推理，探究并发现结论，形成猜 想，进而要求学生运用演绎推理对猜想进行证明，得出图形的性质。把合情 推理和演绎推理有机结合起来。 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质定理和判定定 理的研究方法，与平行四边形性质定理和判定定理的研究方法一脉相承。 §1.1 菱形的性质与判定（第一课时） 教学目标： 1.经历菱形的概念、性质的发现过程 2.掌握菱形的概念 3.掌握菱形的性质定理 “菱形的四条边都相等” 4.掌握菱形的性质定理 “菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分 一组对角” 5.探索菱形的对称性 教学重点、难点 重点：菱形的性质． 难点：菱形的轴对称需要用折叠和推理相结合的方法,是本节的教学难点． 教学过程 一. 引入: 用多媒体显示下面的图形 观察以下由火柴棒摆成的图形 议一议: (1)三个图形都是平行四边形吗? (2) 与图一相比,图二与图三有什么共同的特点? 目的是让学生经历菱形的概念,性质的发现过程,并让学生注意以下几点:
(1)要使学生明确图二、图三都为平行四边形 (2)引导学生找出图二、图三与图一在边方面的差异 新课:把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 再用多媒体教科书中有关菱形的美丽图案,让学生感受菱形具有工整, 匀称,美观等许多优点 菱形也是特殊的平行四边形,所以它具有一般平行四边形的性质外还具 有一些特殊的性质 定理1:菱形的四条边都相等 这个定理要求学生自己完成证明,可以根据菱形的定义推出,课堂上只 需让学生说说理由就可以了,不必写证明过程 定理2:菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角 已知:在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0。 求证:AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC 分析:由菱形的定义得△ABD是什么三角形?B0与OD有什么关系?根据什 么?由此可得A0与BD有何关系?∠BAD有何关系?根据什么? 证明:∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD(菱形的定义) BO=OD(平行四边形的对角线互相平分) AC⊥BD,AC平分∠BAD(等腰三角形三线合一的性质) 同理,AC平分∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC ∴对角线AC和BD分别平分一组对角 由定理2可以得出菱形是轴对称图形,它的两条对角线所在的直线都是 它的对称轴。另外,还可以从折叠来说明轴对称性。同时指出以上两个性质 只是菱形不同于一般平行四边形的特殊性质。菱形还具有平行四边形的所有 共性,比如:菱形是中心对称图形,对称中心为两条对角线的交点。 三.应用 例1.在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交与点0,∠BAC=30°,BD=6 求菱形的边长和对角线AC的长 分析:本题是菱形的性质定理2的应用,由∠BAC=30° 得出△ABD为等边三角形,就抓住了问题解决的关键 解:∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD(菱形的定义) AC平分∠BAD(菱形的每条对角线平分一组对角) 又∵∠BAC=30° ∠BAD=60° △ABD为等边三角形 又∵0B=0D=3(平行四边形的对角线互相平分) AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直) 由勾股定理得AO2+B02=AB2 3J3 63 AC=2AO 四.巩固:教科书第141页课那练习1、2
(1) 要使学生明确图二、图三都为平行四边形 (2) 引导学生找出图二、图三与图一在边方面的差异 二. 新课: 把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 再用多媒体教科书中有关菱形的美丽图案,让学生感受菱形具有工整, 匀称,美观等许多优点. 菱形也是特殊的平行四边形,所以它具有一般平行四边形的性质外还具 有一些特殊的性质. 定理 1:菱形的四条边都相等 这个定理要求学生自己完成证明,可以根据菱形的定义推出,课堂上只 需让学生说说理由就可以了,不必写证明过程. 定理 2: 菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角. 已知:在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O。 求证:AC ⊥ BD ,AC 平分∠BAD 和∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC 分析：由菱形的定义得△ABD 是什么三角形？ BO 与 OD 有什么关系？根据什 么？ 由此可得 AO 与 BD 有何关系？∠BAD 有何关系？根据什么？ 证明：∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AB=AD（菱形的定义） BO=OD（平行四边形的对角线互相平分） ∴AC⊥BD ， AC 平分∠BAD（等腰三角形三线合一的性质） 同理，AC 平分∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC ∴对角线 AC 和 BD 分别平分一组对角 由定理 2 可以得出菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是 它的对称轴。另外，还可以从折叠来说明轴对称性。同时指出以上两个性质 只是菱形不同于一般平行四边形的特殊性质。菱形还具有平行四边形的所有 共性，比如：菱形是中心对称图形，对称中心为两条对角线的交点。 三． 应用 例1． 在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交与点 O, ∠BAC= 30°,BD=6 求菱形的边长和对角线 AC 的长. 分析:本题是菱形的性质定理 2 的应用，由∠BAC= 30°， 得出△ABD 为等边三角形，就抓住了问题解决的关键。 解：∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AB=AD（菱形的定义） AC 平分∠BAD（菱形的每条对角线平分一组对角） 又∵∠BAC= 30° ∴ ∠BAD= 60° ∴△ABD 为等边三角形 ∴AB=BD=6 又∵OB=OD=3（平行四边形的对角线互相平分） AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直） 由勾股定理得 AO2 + BO2= AB2 ∴AO= AC=2AO= 四．巩固：教科书第 141 页 课那练习 1、2 O D C B A O D C B A
五.小结:1、通过本节课的学习,你有什么收获?还有哪些困惑? 2、本节课的主要内容是:一个定义(菱形的定义) 条定理 (菱形的性质定理),二个结论(菱形是轴对称图形,又是中心对称图形) 六.作业 教学反思 §1.1菱形的性质与判定(第二课时) 教学目标 1.经历菱形的判定定理的发现过程 2.掌握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形” 3.掌握菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形” 4.通过运用菱形知识解决具体问题,提高分析能力和观察能力.并根据 平行四边形、矩形、菱形的从属关系,向学生渗透集合思想 教学重点、难点 重点:菱形的判定定理 难点:菱形判定方法的综合应用.课本“合作学习”既需要一定的空间 想象力,又要有较强的逻辑思维能力 教学过程 (一)、复习引入 提问 菱形的定义和性质。 定义:一组邻边对应相等的平行四边形叫做菱形 性质:除具备一般平行四边形的性质外,还具备四条边相等, 对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角 判定一个四边形是不是菱形可根据什么来判定? 定义,此外还有两种判定方法,今天我们就要学习菱形的判定。(板书课题) (二)、创设情境,引入新课 1、合作学习 学生拿出准备好的长方形纸片,按大屏幕展示的方法对折两次,并沿(3) 中的斜线剪开,展开剪下的部分,猜想这个图形是哪一种四边形?一定是菱 形吗?为什么? 剪出的图形四条边都相等,根据这个条件首先证它是平行四边形,再证一组 邻边相等,依定义即知为菱形
五．小结：1、通过本节课的学习，你有什么收获？还有哪些困惑？ 2、本节课的主要内容是：一个定义（菱形的定义），二条定理 （菱形的性质定理），二个结论（菱形是轴对称图形，又是中心对称图形）。 六．作业： 教学反思： §1.1 菱形的性质与判定（第二课时） 教学目标 1．经历菱形的判定定理的发现过程。 2．掌握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形”。 3．掌握菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”。 4．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．并根据 平行四边形、矩形、菱形的从属关系，向学生渗透集合思想． 教学重点、难点 重点：菱形的判定定理． 难点：菱形判定方法的综合应用．课本“合作学习”既需要一定的空间 想象力，又要有较强的逻辑思维能力． 教学过程 (一)、复习引入 1、 提问 菱形的定义和性质。 定义：一组邻边对应相等的平行四边形叫做菱形。 性质：除具备一般平行四边形的性质外，还具备四条边相等， 对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角 判定一个四边形是不是菱形可根据什么来判定？ 定义，此外还有两种判定方法，今天我们就要学习菱形的判定。（板书课题） (二)、创设情境，引入新课 1、合作学习： 学生拿出准备好的长方形纸片，按大屏幕展示的方法对折两次，并沿（3） 中的斜线剪开，展开剪下的部分，猜想这个图形是哪一种四边形？一定是菱 形吗？为什么？ 剪出的图形四条边都相等，根据这个条件首先证它是平行四边形，再证一组 邻边相等，依定义即知为菱形．
结论:菱形判定定理1:四边都相等的四边形是菱形(板书) 三)、交流互动,探求新知 1、已知:如图,在口ABCD中,BD⊥AC,0为垂足。 求证:口ABCD是菱形 证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=C0(平行四边形的对角线互相平分) BD⊥AC, D=CD ∴□ABCD是菱形(菱形的定义) 结论:菱形判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 2、猜想:对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形? 启发:通过四个直角三角形的全等得到四条边相等 结论:对角线互相垂直平分的四边形是菱形 (四)、应用新知,巩固练习 1、课本“课内练习” 2、思考题:如图,△ABC中,∠A=90°,∠B的平分线交AC于D,AH、 DF都垂直于BC,H、F为垂足,求证:四边形AEFD为菱形 (五)、课堂小结,布置作业 1、本节的主要内容是: 菱形常用的判定方法 A 1).一组邻边相等的平行四边形 B 2).四条边相等的四边形 3).对角线互相垂直的平行四边形 4).对角线互相垂直平分的四边形 2、作业 教学反思
结论：菱形判定定理 1：四边都相等的四边形是菱形（板书） (三)、 交流互动，探求新知 1、已知：如图，在 ABCD 中，BD⊥AC，O 为垂足。 求证： ABCD 是菱形 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AO＝CO（平行四边形的对角线互相平分）。 ∵BD⊥AC， ∴AD＝CD ∴ ABCD 是菱形（菱形的定义）。 结论：菱形判定定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 2、猜想：对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形？ 启发：通过四个直角三角形的全等得到四条边相等。 结论：对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 (四)、应用新知，巩固练习 1、 课本 “课内练习” 2、思考题：如图，△ABC 中，∠A=90°, ∠B 的平分线交 AC 于 D，AH、 DF 都垂直于 BC ， H 、 F 为垂足，求证：四边形 AEFD 为菱形。 A B C D E H F (五)、课堂小结，布置作业 1、本节的主要内容是： 菱形常用的判定方法 1）．一组邻边相等的平行四边形． 2）．四条边相等的四边形． 3）.对角线互相垂直的平行四边形． 4）.对角线互相垂直平分的四边形 2、作业： 教学反思
补充练习: 、选择题。 1、已知菱形两个邻角的比是1:5,高是8cm,则菱形的周长是( A. 16cm 2、已知菱形的周长为40cm,两对角线长的比是3:4,则两对角线的长分别 是()。 A.6cm、8cm B.3cm、4cm C.12cm、16cm D.24cm、 3、如图:在菱形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,且E、F分别为BC、CD的中点, 那么∠EAF等于() B D A.75° B C.45° D.30° 4、棱形的周长为8.4cm,相邻两角之比为5:1,那么菱形一组对边之间的 距离为( A、1.05cmB、0.525cmC、4.2cmD、2.1cm 5、菱形具有而矩形不具有的性质是( A.对角相等B.四边相等C.对角线互相平分D.四角相等 6、口ABCD的对角线AC、BD相交于点O,下列条件中,不能判定口ABCD是 菱形的是() A. ABAD B.AC⊥BD C.∠∠D D.CA平分∠BCD 7、下列命题中,真命题是( A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B.有一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形。 C.对角线互相垂直的矩形是菱形 D.菱形的对角线相等 8、菱形是轴对称图形,对称轴有() A.1条 3条 D.4条 9、已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm,那么这个菱形的周长为 面积为 10、将两张长10cm宽3cm的长方形纸条叠放在一起,使之成60度角,那么 重叠部分的面积的最大值为 11、一个菱形面积为80,周长为40,那么两条对角线长度之和为 A 12、已知:如图,在菱形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且CE=CF H E
补充练习： 一、选择题。 1、已知菱形两个邻角的比是 1:5，高是 8cm，则菱形的周长是（ ）。 A. 16cm B. 32cm C. 64cm D. 128cm 2、已知菱形的周长为 40 cm，两对角线长的比是 3:4，则两对角线的长分别 是（ ）。 A. 6cm、8cm B. 3cm、4cm C. 12cm、16cm D. 24cm、 32cm 3、如图：在菱形 ABCD 中，AE⊥BC，AF⊥CD，且 E、F 分别为 BC、CD 的中点， 那么∠EAF 等于（ ）。 A. 75° B. 60° C. 45° D. 30° 4、棱形的周长为 8.4cm，相邻两角之比为 5：1，那么菱形一组对边之间的 距离为（ ） A、1.05cm B、0.525cm C、4.2cm D、2.1cm 5、菱形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A．对角相等 B．四边相等 C．对角线互相平分 D．四角相等 6、 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，下列条件中，不能判定 ABCD 是 菱形的是（ ）。 A. AB=AD B. AC⊥BD C. ∠A=∠D D.CA 平分∠BCD 7、下列命题中，真命题是（ ）。 A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形。 B. 有一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形。 C. 对角线互相垂直的矩形是菱形。 D. 菱形的对角线相等。 8、菱形是轴对称图形，对称轴有（ ）。 A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 9、已知菱形的两条对角线长为 10cm 和 24cm, 那么这个菱形的周长为 _______, 面积为______. 10、将两张长 10cm 宽 3cm 的长方形纸条叠放在一起, 使之成 60 度角, 那么 重叠部分的面积的最大值为________________. 11、一个菱形面积为 80, 周长为 40, 那么两条对角线长度之和为 __________. 12、已知：如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且 CE=CF。 H G F E D C B A
过点C作CG∥EA交AF于H,交AD于G,若∠BAE=25°,∠BCD=130°,求 ∠AHC的度数。 13、如图所示,已知菱形ABCD中E在BC上,且AB=AE,∠BAE=∠EAD, AE交BD于M,试说明BE=AM 14、如图,在△ABC中,AB=BC,D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点, (1)求证四边形BDEF是菱形。(2)若AB=12cm,求菱形BDEF的周长? 15、已知:如图,△ABC中,∠BAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点, 且AE=AC,EF∥BC交AD于点F,求证:四边形CDEF是菱形。 16.如图,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别 交于点E、F、0,求证:四边形AFCE是菱形 17、已知:如图,C是线段BD上一点,△ABC和△ECD都是等边三角形,R F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点,求证:四边形RFGH是菱形。 18、如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠B,∠C的平分线BD、CE相交于点M, DF∥CE,EG∥BD,DF与EG交于N,求证:四边形MDNE是菱形 19.已知:如图,四边形ABCD是菱形,E是BD延长线上一点,F是DB延长 线上一点,且DE=BF.请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连 成一条新的线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只须证明 组线段相等即可) )连接AF
过点 C 作 CG∥EA 交 AF 于 H，交 AD 于 G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求 ∠AHC 的度数。 13、如图所示，已知菱形 ABCD 中 E 在 BC 上，且 AB=AE，∠BAE= 2 1 ∠EAD， AE 交 BD 于 M，试说明 BE=AM。 14、 如图，在△ABC 中，AB=BC，D、E、F 分别是 BC、AC、AB 上的中点， （1）求证四边形 BDEF 是菱形。（2）若 AB=12cm，求菱形 BDEF 的周长？ 15、已知：如图，△ABC 中，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，E 是 AB 上一点， 且 AE=AC，EF∥BC 交 AD 于点 F，求证：四边形 CDEF 是菱形。 16. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与 AD、BC、AC 分别 交于点 E、F、O，求证：四边形 AFCE 是菱形。 17、已知：如图，C 是线段 BD 上一点，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，R、 F、G、H 分别是四边形 ABDE 各边的中点，求证：四边形 RFGH 是菱形。 18、如图，已知在△ABC 中，AB=AC，∠B，∠C 的平分线 BD、CE 相交于点 M， DF∥CE，EG∥BD，DF 与 EG 交于 N，求证：四边形 MDNE 是菱形。 19.已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，E 是 BD 延长线上一点，F 是 DB 延长 线上一点，且 DE=BF．请你以 F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连 成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一 组线段相等即可）． （1）连接 AF ； R H G F E B C D A
(2)猜想:AF (3)证明:(说明:写出证明过程的重要依据) 分析:观察图形应该是连接AF,可通过证△AB和△ADE全等来实现AF=AE 0.如图,在菱形ABCD中,P是AB上的一个动点(不与A、B重合),连 接DP交对角线AC于E连接BE (1)证明:∠APD=∠CBE (2)若∠DAB=60°,试问P点运动到什么位置时,△ADP的面积等于菱形 ABCD面积的,为什么? 21、如图,四边形ABCD是菱形,BE⊥AD、BF⊥CD,垂足分别为E、F 1)求证:BE=BF; (2)当菱形ABCD的对角线AC=8,BD=6时,求BE的长 A C 22.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,0为对角线BD的中点,过0 点作OE⊥AB,垂足为E (1)求∠ABD的度数 (2)求线段BE的长 点评:本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于 斜边的一半求解,需要熟练掌握 23、如图所示,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,DE∥AC交BC的延长线于 点E. 求证:DE=±BE 点评:此题考查了菱形的性质,直角三角形的性 质等知识.此题难度不大,注意数形结合思想的应用 24在矩形∥BD中,O是对角线起的中点,BF是线段A的中垂线,交 AD、BC于EE求证:四边形AECF是菱形 25、四边形ABCD是矩形,四边形AECF是菱形,若AB2cm,BC=4cm,求四边 形ABCF的面积。B
（2）猜想： AF = AE ； （3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据） 分析：观察图形应该是连接 AF，可通过证△AFB 和△ADE 全等来实现 AF=AE． 20．如图，在菱形 ABCD 中，P 是 AB 上的一个动点（不与 A、B 重合），连 接 DP 交对角线 AC 于 E 连接 BE． （1）证明：∠APD=∠CBE； （2）若∠DAB=60°，试问 P 点运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形 ABCD 面积的 ，为什么？ 21、如图，四边形 ABCD 是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为 E、F． （1）求证：BE=BF； （2）当菱形 ABCD 的对角线 AC=8，BD=6 时，求 BE 的长． 22.如图，在菱形 ABCD 中，∠A=60°，AB=4，O 为对角线 BD 的中点，过 O 点作 OE⊥AB，垂足为 E． （1）求∠ABD 的度数； （2）求线段 BE 的长． 点评：本题利用等边三角形的判定和直角三角形 30°角所对的直角边等于 斜边的一半求解，需要熟练掌握． 23、如图所示，在菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，DE∥AC 交 BC 的延长线于 点 E． 求证：DE= BE 点评：此题考查了菱形的性质，直角三角形的性 质等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用． 24、在矩形 ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，EF 是线段 AC 的中垂线，交 AD、BC 于 E、F.求证：四边形 AECF 是菱形 25、四边形 ABCD 是矩形，四边形 AECF 是菱形，若 AB=2cm，BC=4cm，求四边 形 AECF 的面积
§1.2矩形的性质与判定(第一课时) 教学目标 1、能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论, 2、能运用矩形的性质进行简单的证明与计算 教学重难点:矩形的性质的证明以及它与平行四边形的从属关系 、概念 1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形(矩形是特殊的平行四 边形) 2.矩形的性质:矩形具有平行四边形的所有性质。 (1)角:四个角都是直角。 (2)对角线:互相平分且相等。 3.矩形的判定 (1)有一个角是直角的平行四边形。 (2)对角线相等的平行四边形。 (3)有三个角是直角的四边形。 4.矩形的对称性:矩形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心; 矩形是轴对称图形,对称轴有2条,是经过对角线的交点且垂直于矩形 边的直线 5.矩形的周长和面积 矩形的周长=2(a+b)矩形的面积=长×宽=ab(a,b为矩形 的长与宽 ★注意:(1)矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积 相等 (2)矩形是轴对称图形,两组对边的中垂线是它的对称轴 。矩形叙 角 行四边形/ 角为直角且一组邻边相等 正方形 你/菱形 四边形 两相等 四、讲课过程: 梯形 等腰梯形 【经典例题:】 C 例1:已知:0是矩形ABCD对角线的交点,E、F、G、H分别是OA、OB、 G OC、OD上的点,AE=BF=CG=DH,求证:四边形EFGH为矩形 分析:利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形可以证明
§1.2 矩形的性质与判定(第一课时) 一、教学目标 1、能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论． 2 、能运用矩形的性质进行简单的证明与计算． 二、教学重难点：矩形的性质的证明以及它与平行四边形的从属关系． 三、概念： 1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四 边形）。 2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。 （1）角：四个角都是直角。 （2）对角线：互相平分且相等。 3．矩形的判定: （1）有一个角是直角的平行四边形。 （2）对角线相等的平行四边形。 （3）有三个角是直角的四边形。 4.矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心； 矩形是轴对称图形，对称轴有 2 条，是经过对角线的交点且垂直于矩形 一边的直线。 5.矩形的周长和面积： 矩形的周长= 2(a + b) 矩形的面积=长 宽= ab （ a,b 为矩形 的长与宽） ★注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积 相等。 （2）矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴。 四、讲课过程： 【经典例题:】 例 1：已知：O 是矩形 ABCD 对角线的交点，E、F、G、H 分别是 OA、OB、 OC、OD 上的点，AE=BF=CG=DH，求证：四边形 EFGH 为矩形. 分析：利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形可以证明 四 边形 平 行 四 边 形 矩 形 菱 形 梯 形 一角为90° 一组邻边相等 正方形 两组对边平行 只有一组对边平行 一角为直角且一组邻边相等 邻边相等 一角为90° 等腰梯形 两腰相等
例2:判断 (1)两条对角线相等四边形是矩形() (2)两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形() (3)有一个角是直角的四边形是矩形() (4)在矩形内部没有和四个顶点距离相等的点() 分析及解答: (1)如图 四边形ABCD中,AC=BD,但ABCD不为矩形,∴ (2)对角线互相平分的四边形即平行四边形,∴对角线相等的平行四边 形为矩形∴√ (3)如图 四边形ABCD中,∠B=90°,但ABCD不为矩形∴ (4)矩形对角线的交点0到四个顶点距离相等∴ 如图, 【课堂练习题:】 1.判断一个四边形是矩形,下列条件正确的是() A.对角线相等B.对角线垂直C.对角线互相平分且相等D.对角线互相 垂直且相等。 2.矩形的两边长分别为10cm和15cm,其中一个内角平分线分长边为两部分, 这两部分分别为() A.6cm和9cmB.5cm和10c C.4cm和1lcm 和8cm 3.在下列图形性质中,矩形不一定具有的是() A.对角线互相平分且相等 B.四个角相等 是轴对称图形 D.对角线互相垂直平分 4在矩形ABCD中,对角线交于0点,AB=0.6,BC=0.8,那么△AOB的面积 为;周长为 5一个矩形周长是12cm,对角线长是5cm,那么它的面积 为
例 2：判断 （1）两条对角线相等四边形是矩形（ ） （2）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形（ ） （3）有一个角是直角的四边形是矩形（ ） （4）在矩形内部没有和四个顶点距离相等的点（ ） 分析及解答： （1）如图 四边形 ABCD 中，AC=BD，但 ABCD 不为矩形，∴× （2）对角线互相平分的四边形即平行四边形，∴对角线相等的平行四边 形为矩形∴√ （3）如图， 四边形 ABCD 中，∠B=90°，但 ABCD 不为矩形 ∴× （4）矩形对角线的交点 O 到四个顶点距离相等 ∴×， 如图， 【课堂练习题:】 1．判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（ ） A．对角线相等 B．对角线垂直 C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相 垂直且相等。 2．矩形的两边长分别为 10cm 和 15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分， 这两部分分别为（ ） A．6cm 和 9cm B．5cm 和 10cm C．4cm 和 11cm D．7cm 和 8cm 3.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ） A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等 C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直平分 4 在矩形 ABCD 中, 对角线交于 O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积 为 ; 周长为 . 5 一 个 矩 形 周 长 是 12cm, 对 角 线 长 是 5cm, 那 么 它 的 面 积 为
6.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12,则斜边上的中线等 于 7.矩形的两条对角线的夹角是60°,一条对角线与矩形短边的和为15,那么 矩形对角线的长为,短边长为 8.矩形的两邻边分别为4cm和3cm,则其对角线为 cm,矩形面积为 9.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°,则两条对角线相交所成的锐角 10.矩形的对角线相交所成的钝角为120°,矩形的短边长为5cm,则对角 线之长为cm 11.矩形ABCD的两对角线AC与BD相交于0点,∠AOB=2∠BOC,若对角线AC 的长为18cm,则AD=cm。 12、已知:如图所示,矩形ABCD中,E是BC上的一点,且AE=BC,∠EDC=15° 求证:AD=2AB 教学反思: B §1.2矩形的性质与判定(第二课时) 教学目标 知识与技能:通过探索与交流,逐渐得出矩形的判定定理,使学生亲身经历 知识的发生过程,并会运用定理解决相关问题。通过开放式命题,尝试从不 同角度寻求解决问题的方法。过程与方法:通过动手实践、合作探索、小 组交流,培养学生的的逻辑推理、动手实践等能力。情感态度与价值观:在 良好的师生关系下,创设轻松的学习氛围,使学生在数学活动中获得成功的 体验,增强自信心,在合作学习中增强集体责任感。 教学重点与难点 重点:探索矩形判定定理的过程及应用 难点:矩形判定定理的应用 教学过程 环节一:创设情境、导入新课 通过上节课对矩形的学习,谁能回答以下问题 1、判定四边形是矩形的方法是什么?(用定义) (1)是不是平行四边形,(2)再看它有无直角 2、矩形是特殊的平行四边形它具有哪些性质?
6.若一个直角三角形的两条直角边分别为 5 和 12，则斜边上的中线等 于 . 7.矩形的两条对角线的夹角是 60°，一条对角线与矩形短边的和为 15，那么 矩形对角线的长为 ，短边长为 . 8.矩形的两邻边分别为 4 ㎝和 3 ㎝，则其对角线为 ㎝，矩形面积为 cm 2 . 9.若矩形的一条对角线与一边的夹角是 40°，则两条对角线相交所成的锐角 是 . 10．矩形的对角线相交所成的钝角为 120°，矩形的短边长为 5 cm，则对角 线之长为 cm。 11．矩形 ABCD 的两对角线 AC 与 BD 相交于 O 点，∠AOB=2∠BOC，若对角线 AC 的长为 18 cm，则 AD= cm。 12、已知：如图所示，矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的一点，且 AE=BC，EDC =15 ． 求证：AD=2AB． 教学反思： §1.2 矩形的性质与判定(第二课时) 教学目标 知识与技能：通过探索与交流，逐渐得出矩形的判定定理，使学生亲身经历 知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题。通过开放式命题，尝试从不 同角度寻求解决问题的方法。过程与方法： 通过动手实践、合作探索、小 组交流，培养学生的的逻辑推理、动手实践等能力。情感态度与价值观：在 良好的师生关系下，创设轻松的学习氛围，使学生在数学活动中获得成功的 体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感。 教学重点与难点 重点：探索矩形判定定理的过程及应用 难点：矩形判定定理的应用 教学过程 环节一：创设情境、导入新课 通过上节课对矩形的学习，谁能回答以下问题 1、判定四边形是矩形的方法是什么？（用定义） （1）是不是平行四边形，（2）再看它有无直角。 2、矩形是特殊的平行四边形它具有哪些性质？ A B E C D