免费下载网址http://jiaoxuesu.ys168.com/ 数学应用的一般思路 【知识要点】 将实际问题转化为数学问题。 2、运用数学知识和方法解答转化成的数学问题。 3、将数学结论回归到实际问题去检验,以确定实际问题的解答 4、数学应用的一般思路用框图为 国阿绌化为数学 医际同通解图回归实际问题学红 【知识讲解】 实际问题是多种多样的,它们有着不同的背景,在解决这些实际问题时,关键是正确地把它转化为数学问题。因此,必须做到 1、认真审题: 要认真阅读问题,抓住问题中的关键词语,理解题意。题目可以多读几遍,做到熟悉问题的主要内容,胸中装着问题内容 2、收集信息 解压密码联系qq119139686加微信公众号Jlaoxuewuyou九折优嘉1淘宝网址;jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 数学应用的一般思路 【知识要点】 1、将实际问题转化为数学问题。 2、运用数学知识和方法解答转化成的数学问题。 3、将数学结论回归到实际问题去检验，以确定实际问题的解答。 4、数学应用的一般思路用框图为： 【知识讲解】 实际问题是多种多样的，它们有着不同的背景，在解决这些实际问题时，关键是正确地把它转化为数学问题。因此，必须做到： 1、认真审题： 要认真阅读问题，抓住问题中的关键词语，理解题意。题目可以多读几遍，做到熟悉问题的主要内容，胸中装着问题内容。 2、收集信息
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys.168.com/ 在认真审题的基础上,注意收集、分析处理数据,联系有关的数学知识,把握好其中的数形关系。比如:遇到长方形的问题就要联系到诸如长方形的周长、面积等之类的数学知 识:再如:某建筑物的顶棚形状或桥拱是抛物线形状,应立即联系到二次函数的许多性质等知识 3、把实际问转化为学问题 在前两步做好的情况下,就把实际问题的数形关系正确转化为数学问题。比如:转化为方程、不等式、函数、几何图形和统计、概率等数学问题 4、解决数学问题回归实际得出解答 当实际问题转化为数学问题以后,要用所掌握的数学知识、技能和方法,完成对数学问题的解答。有时,数学问题的解答并不一定符合问题的实际意义,这时就要针对问题的实 际,对解答进行分析、选择,得到实际问题的正确答案。实际问题往往带有更强的综合性,解决它们霱要具备扎实的数学基础知识和基本技能、较高的分析问题与解决问题的能力和 勇于探索的精神 【典型例题】 例1:甲乙两城间的铁路长为1600km,经过技术改造,列车实施了提速,所提高的速度是原速度的4,提速后,列车从甲城到乙城的行驶时间减少了4h。已知铁路在现有条件下 安全行驶速度不得超过140km/h,请你用所学过的数学知识,判断在现有条件下是否可以再次提速? 分析:甲、乙两地之间距离知道,提高的速度与原速度的关系也清楚,能否再提速关键要清楚要知道提速后的速度与限速140k■/h是否有差距,本题主要求出提速后的速度,根 据提速前后同段路程的时间差,可用数学中方程的知识求出提速后的速度 解压密码联系qq119139686加微信公众号Jlaoxuewuyou九折优嘉1淘宝网址;jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 在认真审题的基础上，注意收集、分析处理数据，联系有关的数学知识，把握好其中的数形关系。比如：遇到长方形的问题就要联系到诸如长方形的周长、面积等之类的数学知 识；再如：某建筑物的顶棚形状或桥拱是抛物线形状，应立即联系到二次函数的许多性质等知识。 3、把实际问题转化为数学问题。 在前两步做好的情况下，就把实际问题的数形关系正确转化为数学问题。比如：转化为方程、不等式、函数、几何图形和统计、概率等数学问题。 4、解决数学问题回归实际得出解答。 当实际问题转化为数学问题以后，要用所掌握的数学知识、技能和方法，完成对数学问题的解答。有时，数学问题的解答并不一定符合问题的实际意义，这时就要针对问题的实 际，对解答进行分析、选择，得到实际问题的正确答案。实际问题往往带有更强的综合性，解决它们需要具备扎实的数学基础知识和基本技能、较高的分析问题与解决问题的能力和 勇于探索的精神。 【典型例题】 例 1：甲乙两城间的铁路长为 1600km，经过技术改造，列车实施了提速，所提高的速度是原速度的 ，提速后，列车从甲城到乙城的行驶时间减少了 4h。已知铁路在现有条件下 安全行驶速度不得超过 140km/h，请你用所学过的数学知识，判断在现有条件下是否可以再次提速？ 分析：甲、乙两地之间距离知道，提高的速度与原速度的关系也清楚，能否再提速关键要清楚要知道提速后的速度与限速 140km/h 是否有差距，本题主要求出提速后的速度，根 据提速前后同段路程的时间差，可用数学中方程的知识求出提速后的速度
免费下载网址http://jiaoxuesu.ys168.com/ 原来的速度为xkm/h,则提速后的速度为4xkm/h 16001600 根据题意,得: 4解得:x=80(km/h) 经检验x=80是原方程的 80<140 ∴列车在现有条件下可以再次提速 例2:2006年8月份,某市受强台风的影响后,部分街道路面积水比较严重,为了改善这一状况,市政公司决定将一总长为1200米排水工程承包给甲、乙两个工程队来施工。 若甲、乙两个队合做需12天完成此项工程;若甲队先做8天后,剩下的由乙队单独做还需18天才能完工。问:甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天?又知,甲队每施工一天需 要费用2万元,乙队每施工一天需费用1万元,要使完成后该工程所需费用不超过35万元,那乙工程队至少要施工多少天? 分析:本题有两问,第1问比较简单,就是方程中常见的工作量问题,可转化分式方程组解决:第2问是使施工费用不超过某个上限,从题目要求观察,是两队合作,但合作 天数,由工程费用决定,可设出各自施工的天数,根据第一问的工效列出一个方程,由费用得出的是不等式关系,这样这个实际问题又转化为一个不等式组的数学问题 设甲、乙两队单独完成此项工程分别要x天、y天, 依题,得,(+y 解之得 解压密码联系qq119139686加微信公众号Jlaoxuewuyou九折优嘉1淘宝网址;jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 解：设原来的速度为 xkm/h ，则提速后的速度为 xkm/h， 根据题意，得： ＝4 解得：x＝80(km/h)， 经检验 x＝80 是原方程的根， ∵80＜140， ∴列车在现有条件下可以再次提速。 例 2：2006 年 8 月份，某市受强台风的影响后，部分街道路面积水比较严重，为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为 1200 米 排水工程承包给甲、乙两个工程队来施工。 若甲、乙两个队合做需 12 天完成此项工程；若甲队先做 8 天后，剩下的由乙队单独做还需 18 天才能完工。问：甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？又知，甲队每施工一天需 要费用 2 万元，乙队每施工一天需费用 1 万元，要使完成后该工程所需费用不超过 35 万元，那乙工程队至少要施工多少天？ 分析：本题有两问，第 1 问比较简单，就是方程中常见的工作量问题，可转化分式方程组解决；第 2 问是使施工费用不超过某个上限，从题目要求观察，是两队合作，但合作的 天数，由工程费用决定，可设出各自施工的天数，根据第一问的工效列出一个方程，由费用得出的是不等式关系，这样这个实际问题又转化为一个不等式组的数学问题。 解：设甲、乙两队单独完成此项工程分别要 x 天、y 天， 依题意，得： 解之得：
免费下载网址http://jiaoxuesu.ys168.com/ 经检验知,它们适合方程组和题意 则甲队每天施工1200÷20=60(m),乙队每天施工1200÷30=40(m), 设甲、乙两队实际完成此项工程各施工了a天、b天, 60a+40b=120 依题意,得:(2a+b≤35 解得:b≥15 答;甲、乙两队单独完成此项工程分別需要20天、30天,要完成该项工程所需费用不超过35万元,则乙工程队至少要施工15天 例3:一商场计划到计算器生产厂家购进一批A、B两种型号的计算器,经过商谈,A型计算器单价为50元,100只起售,超过100只的超过部分,每只优惠20%:B型计算器单 价为22元,150只起售,超过150只的超过部分,每只优惠2元,如果商家计划购进计算器的总量既不少于700只,又不多于800只,且分别用于购买A、B这两种型号的计算器的 金额相等,那么该商场至少需要准备多少资金? 分析:列不等式解应用题是不等式的一个重要应用,此类问题的关键是:根据题意设出未知数,列出不等式组解出解集后,根据题意分析解集的可行性。 解:设购进A型计算器x只,B型计算器y只 j10050+(x-100×50×(1-20%=150×2210-150)×(2-2) 700≤x+y≤800 665 00x+y≤800解得:3≤x≤25, 设所需资金为p元, 解压密码联系qq119139686加微信公众号Jlaoxuewuyou九折优嘉1淘宝网址;jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 经检验知，它们适合方程组和题意， 则甲队每天施工 1200÷20＝60(m)，乙队每天施工 1200÷30＝40(m)， 设甲、乙两队实际完成此项工程各施工了 a 天、b 天， 依题意，得： 解得：b≥15， 答：甲、乙两队单独完成此项工程分别需要 20 天、30 天，要完成该项工程所需费用不超过 35 万元，则乙工程队至少要施工 15 天。 例 3：一商场计划到计算器生产厂家购进一批 A、B 两种型号的计算器，经过商谈，A 型计算器单价为 50 元，100 只起售，超过 100 只的超过部分，每只优惠 20%；B 型计算器单 价为 22 元，150 只起售，超过 150 只的超过部分，每只优惠 2 元，如果商家计划购进计算器的总量既不少于 700 只，又不多于 800 只，且分别用于购买 A、B 这两种型号的计算器的 金额相等，那么该商场至少需要准备多少资金？ 分析：列不等式解应用题是不等式的一个重要应用，此类问题的关键是：根据题意设出未知数，列出不等式组解出解集后，根据题意分析解集的可行性。 解：设购进 A 型计算器 x 只，B 型计算器 y 只， 则 即 解得： ≤x≤255， 设所需资金为 p 元
免费下载网址http://jiaoxuesu.ys168.com/ 则p=2[100×50+(x-100)×50×(1-20%)]=80x+2000 65 5且x为整数,而p随x的增大而增大, 所以,当x=222时,p的最小值为19760元 例4:近两年某地外向型经济发展迅速,一些著名的跨国公司纷纷落户该地新区,对各类人才需求不断增加,现一公司面向社会招聘人员,其信息如下 [信息一]招聘对象:机械制造类和规划设计人员共150名 [信息二]工资待遇:机械类人员工资为600元/月,规划设计人员为1000元/月。设公司招聘机械制造类和规划设计人员分别为x人、y人: (1)用含x的代数式表示y。 (2)若公司每月付给所招聘人员的工资为p元,要使本次招聘规划设计人员不少于机械制造人员的2倍,求p的取值范围。 分析:本题是一个函数问题,可根据题目中给出的数据将实际问题转化为一个一次函数问题:第2问是一个不等式问题,可用不等式的知识求出设计人员的招聘的名额(x)范围 再由x的范围即可确定工资总额P的范围。 解:(1)y=150-x (2)根据题意,得:y≥2x .150—x≥2x解得:x≤50, 又 解压密码联系qq119139686加微信公众号Jlaoxuewuyou九折优嘉1淘宝网址;jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 则 p＝2[100×50＋(x－100)×50×(1－20%)]＝80x＋2000， 因为， ≤x≤255 且 x 为整数，而 p 随 x 的增大而增大， 所以，当 x＝222 时，p 的最小值为 19760 元。 例 4：近两年某地外向型经济发展迅速，一些著名的跨国公司纷纷落户该地新区，对各类人才需求不断增加，现一公司面向社会招聘人员，其信息如下： [信息一]招聘对象：机械制造类和规划设计人员共 150 名。 [信息二]工资待遇：机械类人员工资为 600 元/月，规划设计人员为 1000 元/月。设公司招聘机械制造类和规划设计人员分别为 x 人、y 人： (1)用含 x 的代数式表示 y。 (2)若公司每月付给所招聘人员的工资为 p 元，要使本次招聘规划设计人员不少于机械制造人员的 2 倍，求 p 的取值范围。 分析：本题是一个函数问题，可根据题目中给出的数据将实际问题转化为一个一次函数问题；第 2 问是一个不等式问题，可用不等式的知识求出设计人员的招聘的名额(x)范围， 再由 x 的范围即可确定工资总额 P 的范围。 解：(1)y＝150－x。 (2)根据题意，得：y≥2x， ∴150－x≥2x 解得：x≤50， 又∵x＞0
免费下载网址http://jiaoxuesu.ys168.com/ 0<x≤50, p=600x+1000(150 400x+150000 15000-p x=4 50000-p 0<400≤50解得:13000c≤p<15000 例5:如图,现有一截面是抛物线的水渠。一次,水渠管理员将一根长1.5m的标杆一端放在水渠底部的A点,另一端露出水面并靠在水渠边缘的B点,发现标杆有1m浸没在水 中,露出水面部分的标杆与水面成30°的夹角(标杆与抛物线的截面在同一平面内) (1)以水平面所在的直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系,求该水渠横截面抛物线的解析式(结果保留根号) (2)在(1)的条件下,当水面再上升0.3m时,水面宽约为多少?(√5取2.236,结果精确到0.1m) 分析:由于截面是抛物线的水渠,因此,联想利用二次函数图象的知识来解决;标杆浸没1m说明AC=1,CB=0.5,再由标杆与水面成30°角,这样把问题转化为二次函数的问 解压密码联系qq119139686加微信公众号Jlaoxuewuyou九折优嘉1淘宝网址;jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∴0＜x≤50， ∴p＝600x＋1000(150－x)＝－400x＋150000， ∴x＝ ， ∴0＜ ≤50 解得：130000≤p＜150000。 例 5：如图，现有一截面是抛物线的水渠。一次，水渠管理员将一根长 1.5m 的标杆一端放在水渠底部的 A 点，另一端露出水面并靠在水渠边缘的 B 点，发现标杆有 1m 浸没在水 中，露出水面部分的标杆与水面成 30°的夹角(标杆与抛物线的截面在同一平面内)： (1)以水平面所在的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系，求该水渠横截面抛物线的解析式(结果保留根号)。 (2)在(1)的条件下，当水面再上升 0.3m 时，水面宽约为多少？( 取 2.236，结果精确到 0.1m) 分析：由于截面是抛物线的水渠，因此，联想利用二次函数图象的知识来解决；标杆浸没 1m 说明 AC＝1，CB＝0.5，再由标杆与水面成 30°角，这样把问题转化为二次函数的问
免费下载网址htt: jiaoxuesu.ysl68com/ 题,由刚才分析的数据就可以确定抛物线的两个点的坐标:顶点A、点B,这样,所求水面宽度就转化为求抛物线与x轴两交点间的距离问题 解:(1)设AB与x轴交于点C,∠OCA=30°,AC=1m 可知,BC=0.5m,作BD⊥x轴于点D, 在Rt△CBD中,∠BCD=30°,CB=0.5m, 则CD=4m,BD √3 在Rt△ACO中,则有0A=0.5m,OC=2m 设抛物线解析式为:y=ax2-2, 33 将点B(44 代入得: 所以,y=9 2)当水面上升0.3m时 此时,y=0.3代入抛物线解析式可得 解压密码联系qq119139686加微信公众号Jlaoxuewuyou九折优嘉1淘宝网址;jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 题，由刚才分析的数据就可以确定抛物线的两个点的坐标：顶点 A、点 B，这样，所求水面宽度就转化为求抛物线与 x 轴两交点间的距离问题。 解：(1)设 AB 与 x 轴交于点 C，∠OCA＝30°，AC＝1m， 可知，BC＝0.5m，作 BD⊥x 轴于点 D， 在 RtΔCBD 中，∠BCD＝30°，CB＝0.5m， 则 CD＝ m，BD＝ m， 在 RtΔACO 中，则有 OA＝0.5m，OC＝ m， 故 A ，B ， 设抛物线解析式为：y＝ax 2－ ， 将点 B 代入得：a＝ ， 所以，y＝ 。 (2)当水面上升 0.3m 时， 此时，y＝0.3 代入抛物线解析式可得： ＝0.3 解得：x＝±
免费下载网址http://jiaoxuesu.ys168.com/ 故此时,水面宽为 5+)今 ≈2.7(m)。 答:此时,水面宽约为2.7m 例6:如图,某汽车司机在平坦的公路上行驶,前面出现两个建筑物,在A处司机能看到甲建筑物的一部分(把汽车看成一个点),这时,视线与公路夹角为a=30°,乙建筑物 的高度为15米,若汽车司机刚好看不到甲建筑物时,司机的视线与公路的夹角为45°,请问他行驶了多少千米? 分析:由题意可知,有两个直角三角形,这样实际问题就转化为解直角三角形问题了 解:过甲、乙建筑物顶端B、C两点作直线交地面于点D, 则汽车行至点D时刚好看不到点B,且∠BDE=45°, 在Rt△ACF中,∠A=30°,CF=15m 在Rt△CFD中, 解压密码联系qq119139686加微信公众号Jlaoxuewuyou九折优嘉1淘宝网址;jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 故此时，水面宽为 ≈2.7(m)。 答：此时，水面宽约为 2.7m。 例 6：如图，某汽车司机在平坦的公路上行驶，前面出现两个建筑物，在 A 处司机能看到甲建筑物的一部分(把汽车看成一个点)，这时，视线与公路夹角为α＝30°，乙建筑物 的高度为 15 米，若汽车司机刚好看不到甲建筑物时，司机的视线与公路的夹角为 45°，请问他行驶了多少千米？ 分析：由题意可知，有两个直角三角形，这样实际问题就转化为解直角三角形问题了。 解：过甲、乙建筑物顶端 B、C 两点作直线交地面于点 D， 则汽车行至点 D 时刚好看不到点 B，且∠BDE＝45°， 在 RtΔACF 中，∠A＝30°，CF＝15m， ∴AF＝ (m)， 在 RtΔCFD 中
免费下载网址http://jiaoxuesu.ys168.com/ ∵∠BDE=45°, ∠FCD=45° FD=CF=15m DA=AF-DF=(15√3-15)(m) 他行驶了d5√5-15)米 例7:某商场为了吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘,并规定购买100元的商品,就能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止后,指针正好对准红、绿、黄、白区域 那么顾客就可以分别得到80元、30元、10元、0元的购物券,凭购物券仍然可以在商场购买商品,如果顾客不愿意转动转盘,那么,可以直接获得购物券10元: ④ 25% 红①获得80元购物券 绿②获得30元购物券 黄③获得10元购物券 解压密码联系qq119139686加微信公众号Jlaoxuewuyou九折优嘉1淘宝网址;jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∵∠BDE＝45°， ∴∠FCD＝45°， ∴FD＝CF＝15m， ∴DA＝AF－DF＝( －15)(m)。 答：他行驶了( －15)米。 例 7： 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定购买 100 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止后，指针正好对准红、绿、黄、白区域， 那么顾客就可以分别得到 80 元、30 元、10 元、0 元的购物券，凭购物券仍然可以在商场购买商品，如果顾客不愿意转动转盘，那么，可以直接获得购物券 10 元： 红①获得 80 元购物券 绿②获得 30 元购物券 黄③获得 10 元购物券
免费下载网址http://jiaoxuesu.ys168.com/ 白④没有购物券 (1)每转动一次转盘所获购物券金额的平均数是多少? (2)你若在此商场购买100元的货物,选择哪种方式? 3)小明在家里也做了一个同样的转盘做实验,转10次后共得购物卷96元,他说还是不转转盘,直接领取购物券合算,你同意小明的说法吗? 分析:这是一个可能性的问题,即要算出转动转盘获得金额多少的可能性与不转动转盘获得的购物券金额进行比较,该实际问题就转化为比较两个数据的大小的数学 解:(1)80×10%+30×15%+10×25%+0×50%=15(元), 即每转动一次转盘平均获得购物券金额为15元 (2)因为,转动一次转盘平均可获得购物券15元,大于直接购物券10元 所以,参加转盘合算 3)不能同意小明的说法,实验次数很多时,实验结果才趋近于理论数据,但实验次数再多,结果也难等于理论数据 例8:如图,花丛中有路灯杆AB。在灯光下,小明在D点处的影长DE=3米,沿BD方向行走到达G点,DG=5米,这时,小明的影长GH=5米。如果,小明的身高为1.7米,求 路灯杆AB的高度。(精确到0.1米) 解压密码联系qq119139686加微信公众号Jlaoxuewuyou九折优嘉1淘宝网址;jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 白④没有购物券 (1)每转动一次转盘所获购物券金额的平均数是多少？ (2)你若在此商场购买 100 元的货物，选择哪种方式？ (3)小明在家里也做了一个同样的转盘做实验，转 10 次后共得购物卷 96 元，他说还是不转转盘，直接领取购物券合算，你同意小明的说法吗？ 分析：这是一个可能性的问题，即要算出转动转盘获得金额多少的可能性与不转动转盘获得的购物券金额进行比较，该实际问题就转化为比较两个数据的大小的数学问题。 解：(1)80×10%＋30×15%＋10×25%＋0×50%＝15(元), 即每转动一次转盘平均获得购物券金额为 15 元。 (2)因为，转动一次转盘平均可获得购物券 15 元，大于直接购物券 10 元， 所以，参加转盘合算。 (3)不能同意小明的说法，实验次数很多时，实验结果才趋近于理论数据，但实验次数再多，结果也难等于理论数据。 例 8：如图，花丛中有路灯杆 AB。在灯光下，小明在 D 点处的影长 DE＝3 米，沿 BD 方向行走到达 G 点，DG＝5 米，这时，小明的影长 GH＝5 米。如果，小明的身高为 1.7 米，求 路灯杆 AB 的高度。(精确到 0.1 米)