§3.元件的串联、并联矢量图解法p338 根据交流元件的联结形式不同,也将交流电路区 分为简单交流电路与复杂交流电路。类似于直流电 路,元件最简单的联结方式为串联和并联,而凡是能 够通过运用元件串、并联的计算法将电路化为一个单 回路的交流电路称为简单交流电路;反之,不能将交 流元件的联结方式归并为串、并联的电路,称为复杂 交流电路。 同频交流简谐量的叠加p3945-38、40、43 这里讨论的是由 Z1中 简谐交流电源与集中 z1中Z2中 元件联结而成的线性 的简单交流电路,在似 b联 稳条件下,整个电路满足电流连续性方程,且能够引 进电压的概念,因此,与直流电路中电阻的串、并联 一样,交流串、并联电路中,元件上的交流电压、电 流在任意时刻的瞬时值之间的关系也比较简单。以图 示的两个元件的串、并联电路为例,串联电路中,通 过各元件的电流的瞬时值处处相等,电路两端的电压 瞬时值等于各元件上分压瞬时值之和,有 i(t)=i1(t)=i2(t),l(0)=l1()+l2(); 因此求电路中总电压的瞬时值将归结为求两个同频 简谐量的叠加。设: l1()=U1ocos(Ot+910),u2(t)=U20coS(o+20) 则总电压为 u(t)=u,(0)+u2(t)=Ulo cos(at+1o)+U20 cos(at+2o) 利用三角函数和差化积公式,可得叠加结果仍为同频 简谐量,即
7-5 §3. 元件的串联、并联 矢量图解法 p338 根据交流元件的联结形式不同，也将交流电路区 分为简单交流电路与复杂交流电路。类似于直流电 路，元件最简单的联结方式为串联和并联，而凡是能 够通过运用元件串、并联的计算法将电路化为一个单 回路的交流电路称为简单交流电路；反之，不能将交 流元件的联结方式归并为串、并联的电路，称为复杂 交流电路。 ⚫ 同频交流简谐量的叠加 p394 5-38、40、43 这里讨论的是由 简谐交流电源与集中 元件联结而成的线性 的简单交流电路，在似 稳条件下，整个电路满足电流连续性方程，且能够引 进电压的概念，因此，与直流电路中电阻的串、并联 一样，交流串、并联电路中，元件上的交流电压、电 流在任意时刻的瞬时值之间的关系也比较简单。以图 示的两个元件的串、并联电路为例，串联电路中，通 过各元件的电流的瞬时值处处相等，电路两端的电压 瞬时值等于各元件上分压瞬时值之和,有 ( ) ( ) ( ) 1 2 i t = i t = i t ， ( ) ( ) ( ) 1 2 u t = u t + u t ； 因此求电路中总电压的瞬时值将归结为求两个同频 简谐量的叠加。设： ( ) cos( ) 1 = 10 +10 u t U t ， ( ) cos( ) 2 = 20 + 20 u t U t 则总电压为 ( ) ( ) ( ) cos( ) cos( ) = 1 + 2 = 10 +10 + 20 + 20 u t u t u t U t U t 利用三角函数和差化积公式，可得叠加结果仍为同频 简谐量，即
u(t=Uo cos(at +o) 总电压峰值及其初相位为 C10+C20+2Uu0U20CoS(20-10), Uo sin o +U2o sim 2o Po =tan 10 COS Pro +U os p 可见,两分电压的初相差出现在总电压的峰值表达式 中,电路总电压峰值(或有效值)一般不等于分电压 的峰值(或有效值)之和, ≠U10+U20或U≠U1+ 对于并联电路,各元件两端的电压瞬时值是共同 的,而总电流瞬时值等于各元件上分电流瞬时值之 和,有 l()=1(t)=2(),i(t)=i1(t)+2(t) 同样,电路总电流峰值(或有效值)一般也不等于分 电压的峰值(或有效值)之和,有 10≠10+120或≠l1+l2 如何解决峰值和有效值的叠加问 题? 矢量图解法 两种简便方法 水平轴 复数解法 矢量图解法 7-6
7-6 ( ) cos( ) = 0 + 0 u t U t 总电压峰值及其初相位为 2 cos( ), 10 20 20 10 2 20 2 U0 = U10 +U + U U − 10 10 20 20 1 10 10 20 20 0 cos cos sin sin tan U U U U + + = − 可见，两分电压的初相差出现在总电压的峰值表达式 中，电路总电压峰值（或有效值）一般不等于分电压 的峰值（或有效值）之和， U0 U10 +U20 或 U U1 +U2 对于并联电路,各元件两端的电压瞬时值是共同 的，而总电流瞬时值等于各元件上分电流瞬时值之 和，有 ( ) ( ) ( ) 1 2 u t = u t = u t ， ( ) ( ) ( ) 1 2 i t = i t + i t 同样，电路总电流峰值（或有效值）一般也不等于分 电压的峰值（或有效值）之和，有 0 10 20 I I + I 或 1 2 I I + I 如何解决峰值和有效值的叠加问 题？ 矢量图解法 两种简便方法 复数解法 一．矢量图解法
用旋转矢量U在x轴上的分 量代替简谐量 总电压为 水平非 l()=l1()+l2( =U10C0(Ot+10)+U20Cos(ot+020 U0+U20+2U1U2cos(20-g0) Po=tan-lU sin 0,0 +U 20 Sin 20 Ulo cos 1o +U 20 cos (一)串联电路 R、C串联 米电流: 米电压: i(1)=i2(t)=i(t) l()=l1(t)+l2(t) R *矢量长度:可以对应峰 值,也可以对应有效值, 有效值与峰值的关系为 *画图:依据R、L、C上电 压与电流的相位关系 了 *计算
7-7 用旋转矢量U在x轴上的分 量代替简谐量 总电压为 cos( ) cos( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 2 0 2 0 1 2 = + + + = + U t U t u t u t u t 2 cos( ), 10 20 20 10 2 20 2 U0 = U10 +U + U U − 10 10 20 20 1 10 10 20 20 0 cos cos sin sin tan U U U U + + = − （一）串联电路 1． R、C 串联 *电流： *电压： i(t) i (t) i (t) = R = c u(t) u (t) u (t) = R + c ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ R c I = I = I U =UR +Uc *矢量长度：可以对应峰 值，也可以对应有效值， 有效值与峰值的关系为 2 2 0 0 I I U U = = *画图：依据 R、L、C 上电 压与电流的相位关系 *计算
UER.U=Z OC R R OCR U +U2=1√R2+Z2=l,|R U R p=tan -/C tan OCR 表明: U≠ U+U R 2)分电压有效值的分配与各元件的阻抗成正比。 2.R、L串联(自学) i( l2() Ip=Il=I b)矢量图 a)RL串联电路 *计算 UP=IR, U,=IZ, =IoL, U ie U=√2+U2=√R2+z2=lVR2+(o) U Z =1R2+(oL p=tan tan R (二)并联电路
7-8 Z CR Z U U C I U IR U IZ R c R c R c c 1 = , = = , = = 2 2 2 2 2 2 1 = + = + = + C U UC UR I R ZC I R 2 2 1 = = + C R I U Z U CR U R C 1 tan tan −1 −1 = = 表明： 1） U UR +Uc ； 2）分电压有效值的分配与各元件的阻抗成正比。 2. R、L 串联(自学) *计算 R L Z Z U U U IR U IZ I L R L R L R L L = , = = , = = ( ) 2 2 2 2 2 2 U = UL + UR = I R + ZL = I R + L ( ) 2 2 R L I U Z = = + ， R L U U R L 1 1 tan tan − − = = （二）并联电路
R、C并联 电流i(1)=i2(1)+()*电压:l(1)=l2(1)=l() UoC R 1_z icr) = OCR C √a+l2=U1(o)+ R (a)RC并联电路 tan(OCR (C)2+ R 表明: L=Lc气 Ⅰ≠In+ b)矢量图 R 2)分电流有效值的分配与各元件的阻抗成反比。 2.R、L并联(自学) R R OL R L =√12+12=U R OL Z ROC R tan tan 例题:已知ZL=Zc=R,求下列矢量之间的相位差
7-9 1.R、C 并联 *电流 i(t) i (t) i (t) = R + c *电压： u(t) u (t) u (t) = R = c ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ R c I = I + I U =UR =Uc CR Z Z I I U C Z U I R U I C R R c c R c = = = , = = 2 2 2 2 1 ( ) R I = I C + I R = U C + , tan ( ) 1 ( ) 1 1 2 2 CR R C I U Z − = − + = = 表明： 1） R c I I + I ； 2）分电流有效值的分配与各元件的阻抗成反比。 2. R、L 并联（自学） L R Z Z I I L U I R U I R L R L R L = , = , = = 2 2 2 2 1 1 = + = + R L I I L I R U 2 2 1 1 1 + = = R C I U Z L R U U R L 1 1 tan tan − − = = 例题:已知 ZL = ZC = R ,求下列矢量之间的相位差
)U与I 2)I。与IR 3)UR与U 4)U与I (a)RC并联再与L串联 解:题目给出了Z=Z=R 画矢量图要严格按比例画 kRc气 米选基准线 般可选电路中最小单元 中的电阻上的电压或电流 对应的矢量最小单元是R IR C并联,可以Ⅰ为基准线 b)矢量图 根据条件估计矢量长度, 并作图 +l2=√2 tan 1 L与最小单元串联,l=I,UL=1Z=√2l2R=√2U 所以 U=Uk+U,U‖lc U2=02-U2=(V2UR)2-U2=U2 结论
7-10 1) Uc与 IR 2) Ic 与 IR 3) UR与 UL 4) U 与 I 解：题目给出了 ZL = ZC = R *画矢量图要严格按比例画 *选基准线： 一般可选电路中最小单元 中的电阻上的电压或电流 对应的矢量最小单元是 R、 C 并联，可以 R I 为基准线 *根据条件估计矢量长度， 并作图 c R C R R C I I Z Z I I = = 1 = ， C R R I I I 2I 2 2 = + = , 4 tan 1 1 1 = = = − R c I I ， L 与最小单元串联， I I L = ， L L R R UR U = IZ = 2I = 2 所以 U = UR +UL , U || I C 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) U =UL −UC = UR −UR =UR 结论：
)U与I同相位Ao=0;2)I超前I△o= 3)UR落后于U△o 4)U超前I 4=2 ●小结: 对于由元件串并联构成的简单交流电路,根据 元件的特征和串联、并联的性质,利用矢量表示简 谐量、矢量和表示同频简谐量之和的方法,可以画 出该电路全部电流以及电压(简谐量)的矢量图。 矢量大小 代表相应电压电流的大小 矢量夹角 两相应简诸量的相位差 (无论电压还是电流 矢量图集中了串并联电路的全部重要信息,并把其 间的关系表示成几何关系 目了然,十分直观。 2.对于单纯的串联或单纯并联电路,各矢量之间 的关系不是超前x/2,就 1n==h 是落后x/2,或者同相位, U 因此图上旋转矢量构成的 几何图形是直角三角形, 利用勾股弦定律易于求解 A以=D 电路;只有在既并又串的 电路中,矢量图才会出现斜三角形,此时需要用余 弦定理来计算,比较麻烦。例如上述例题中,如果 未给出条件Z1=Zc=R,那么就无法估计各矢量的 长度,从相应的矢量图可以看到,只能定性地画出 各简谐量对应的矢量长度,给出了各矢量的几何关 系。显然该矢量图能定性地、直观地反映出了各量 之间的相位关系,但计算比较麻烦。更复杂的串、 并联电路,比如有多个串、并联单元组合起来的电 7-11
7-11 1）Uc与 IR 同相位 = 0 ；2) Ic 超前 IR 2 = ； 3) UR落后于 UL 4 3 = − ；4) U 超前 I 4 = 。 ⚫ 小结： 1． 对于由元件串并联构成的简单交流电路，根据 元件的特征和串联、并联的性质，利用矢量表示简 谐量、矢量和表示同频简谐量之和的方法，可以画 出该电路全部电流以及电压（简谐量）的矢量图。 矢量大小 —— 代表相应电压电流的大小 矢量夹角 —— 两相应简谐量的相位差 （无论电压还是电流） 矢量图集中了串并联电路的全部重要信息，并把其 间的关系表示成几何关系—— 一目了然，十分直观。 2． 对于单纯的串联或单纯并联电路，各矢量之间 的关系不是超前 2 ，就 是落后 2 ，或者同相位， 因此图上旋转矢量构成的 几何图形是直角三角形， 利用勾股弦定律易于求解 电路；只有在既并又串的 电路中，矢量图才会出现斜三角形，此时需要用余 弦定理来计算，比较麻烦。例如上述例题中，如果 未给出条件 ZL = ZC = R ，那么就无法估计各矢量的 长度，从相应的矢量图可以看到，只能定性地画出 各简谐量对应的矢量长度，给出了各矢量的几何关 系。显然该矢量图能定性地、直观地反映出了各量 之间的相位关系，但计算比较麻烦。更复杂的串、 并联电路，比如有多个串、并联单元组合起来的电
路,计算起来更为烦琐。在下一节中,我们将介绍 简单交流电路的复数解法,用复数解法求解这类问 题更为简单。 7-12
7-12 路，计算起来更为烦琐。在下一节中，我们将介绍 简单交流电路的复数解法，用复数解法求解这类问 题更为简单