光的行進 1. Fermat s principle費馬定律 反射定律 3.折射定律 4.色散( Dispersion) 全反射 fermat s principle費馬定律 大約在兩千年前的埃及時代,亞歷山大人Hero於探討光反 射現象時提出下列的敘迹 The path taken by a light in going from some point S to a point P via a reflecting surface was the shortest possible one. 此定律後來發展為所知的變分法則( variational principle)。 西元1657年 Fermat提出最小作用法則 Principle ofleast Time 同時解釋光的反射與折射現象 Fermat重新詮釋Hero的敘 薤為 The actual path between two points taken by a beam oflight is the one that is traversed in the least time
1 光的行進 1. Fermat’s Principle 費馬定律 2. 反射定律 3. 折射定律 4. 色散 (Dispersion) 5. 全反射 Fermat’s Principle 費馬定律 大約在兩千年前的埃及時代，亞歷山大人Hero於探討光反 射現象時提出下列的敘述 The path taken by a light in going from some point S to a point P via a reflecting surface was the shortest possible one. 此定律後來發展為所知的變分法則(variational principle)。 西元1657年Fermat提出最小作用法則Principle of Least Time 同時解釋光的反射與折射現象。Fermat重新詮釋Hero的敘 述為 The actual path between two points taken by a beam of light is the one that is traversed in the least time
反射現象 考慮一束光由點S出發,於平面上 的B點反射到達P點°由於光皆在 同一介質中行進’故其行進速度 皆為ν。由S經B到達P點所花的時 間可寫為 SB,B_+x2,h+(1-x)2 t= Ferma指出此路徑應為最短時間,故有 (-x) 0→ =0→sin=sn0 h+ S 折射現象 考慮一束光由點S出發,通過平面 上的B黠到達界面另一端的P點 令光在S端介質中行進速度為v 在P端介質中速度為v2。則由S經 x9bB到撞P點所花的時时可寫為 sB BP +(-x) rema指出此路徑應為最短時間,故有 d 0→ 0 dx V2 →n1Sin6=n2 sin e n≡c/v1n1≡c/v2
2 反射現象 S P P` x qi qr l hs hp B 考慮一束光由點S出發，於平面上 的B點反射到達P點。由於光皆在 同一介質中行進，故其行進速度 皆為v。由S經B到達P點所花的時 間可寫為 v h l x v h x v BP v SB t S P 2 2 2 2 + ( - ) + + = + = Fermat指出此路徑應為最短時間，故有 i r S hP l x l x h x x dx dt 0 sinq sinq ( ) ( ) 0 2 2 2 2 = Þ = + - - - + = Þ 折射現象 考慮一束光由點S出發，通過平面 上的B點到達界面另一端的P點。 令光在S端介質中行進速度為v1 ， 在P端介質中速度為v2 。則由S經 B到達P點所花的時間可寫為 2 2 2 1 2 2 1 2 ( ) v h l x v h x v BP v SB t S P + - + + = + = Fermat指出此路徑應為最短時間，故有 1 2 2 2 2 2 2 1 sin sin / / 0 ( ) ( ) 0 n n n c v n c v v h l x l x v h x x dx dt i i t t i t S P Þ = º º = + - - - + = Þ q q hs hp S P x qi qt l B
光學路徑 由此折射現象推廣’考慮光通過折射像數為n产c介質的 空問距離為S;’其總共所花的時間為 V, v 兩邊皆乘以光於真空中速度c則得 ∑S=∑nS 因而nS等效於光於真空行進的距離 我們稱之為光學路徑長度 Optical Path length 光為電磁場波動’其電場與磁場可表示為 E=E max cos(kx-at) B=Bmax cos(kx-at) 而其傳播速度為ν=o/k=c/n=O。/kn 由馬克斯威爾方程可得知’當光通過不同介質時,其行 進速度雖然不同’但是其振動頻率卻保持不便。 2丌 2丌 O=0→k kn λ=/n 電磁場的波函數形式可因此而改寫為 E=Emax cos(k nx-or) B=Bmax cos(k nx-or) 此結果顯示’光於不同介質中傳播時的等效距離為n
3 光學路徑 由此折射現象推廣，考慮光通過折射係數為ni=c/vi介質的 空間距離為Si ，其總共所花的時間為 å= = + + ×× ×+ = m i i i m m v S v S v S v S t 2 1 2 1 1 S1 S2 S3 Sm 兩邊皆乘以光於真空中速度c則得 i m i i i m i i i S n S v c ct å å = = = = 1 1 因而nS等效於光於真空行進的距離， 我們稱之為光學路徑長度 Optical Path Length 光為電磁場波動，其電場與磁場可表示為 cos( ) cos( ) max max E = E kx -wt B = B kx -wt 而其傳播速度為 v =w / k = c / n =wo / kon 由馬克斯威爾方程可得知，當光通過不同介質時，其行 進速度雖然不同，但是其振動頻率卻保持不便。 n n k k n o o o o / / 2 2 l l l p l p Qw = w Þ = = = Þ = 電磁場的波函數形式可因此而改寫為 cos( ) cos( ) max max E E k nx t B B k nx t = o -w = o -w 此結果顯示，光於不同介質中傳播時的等效距離為nx
反射定律 由 Fermat法則推知’光於任一表面反射時需滿足人射角等 於反射角的條件θ=θ。唯此角度乃以垂直法線為參考。 因而若反射面為一光滑面’若反射面為一粗糙面,則 則此平面上的法線方向皆此平面上的法線方向不 樣,故所有的反射光皆樣,致使反射光四處亂射, 平行’我們稱之為鏡面反我們稱之為散射 Diffuse E(Specular Reflection) Reflection) 反射的例子與應用 55° M 120°
4 反射定律 由Fermat法則推知，光於任一表面反射時需滿足入射角等 於反射角的條件qI = qr 。唯此角度乃以垂直法線為參考。 因而若反射面為一光滑面， 則此平面上的法線方向皆 一樣，故所有的反射光皆 平行，我們稱之為鏡面反 射(Specular Reflection) 若反射面為一粗糙面，則 此平面上的法線方向不一 樣，致使反射光四處亂射， 我們稱之為散射(Diffuse Reflection) 反射的例子與應用
折射定律 由 Fermat法則推知,光通過不同介質界面時需滿足 n sine=n sin e 此為折射定律,或稱 Snell's lam 例題:一波長為550mm的光,以四十度的入射角進入一透 明介質中。若量得其折射角為二十六度’求其折射像數 由折射定律nsin1=n;sin1→n1 =147 in e 例題:一波長為589nm的光,以三十度的入射角進入一折 射侥數為1.52的透明介質中。求其折射角 sin e=n, sin e-1.00.sin 300 0.329 n 1.52 0.329=19.2°
5 折射定律 由Fermat法則推知，光通過不同介質界面時需滿足 ni qi nt qt sin = sin 此為折射定律，或稱 Snell’s Law 例題：一波長為550nm的光，以四十度的入射角進入一透 明介質中。若量得其折射角為二十六度，求其折射係數。 由折射定律 1.47 sin sin sin = sin Þ = = t i i i i t t t n n n n q q q q 例題：一波長為589nm的光，以三十度的入射角進入一折 射係數為1.52的透明介質中。求其折射角。 o t o t i i t n n sin 0.329 19.2 0.329 1.52 sin 1.00 sin 30 sin 1 \ = = = × = = - q q q
例題:一般 CD player的雷射讀頭波長為780nm。若CD表 的透明保護層折射侥數為1.55’求雷射光於此透明保護 層中的速度與波長。 c30×10m/s 194×108m/s 1.55 780mm =503nm n1.55 例題:光通過一兩面 平行介質的行進方向 不變。 色散 物質的折射係數為電磁波頻率的函 數(如左圖所示),因而不同顏色 的光於介質中的行進速度不一樣 own glass此效應可於光通過不同折射徐數界 面時’因折射徐數隨頻率而改變 使得不同顏色的光以不一樣的折射 crylIc 闰偏而離觀察到。此不同顏色因折 射數變異而產生偏離(分離)的 Fused quart/ 現象被稱為色散( Dispersion)
6 例題：一般CD player的雷射讀頭波長為780nm。若CD表 面的透明保護層折射係數為1.55，求雷射光於此透明保護 層中的速度與波長。 nm nm n m s m s n c v o 503 1.55 780 1.94 10 / 1.55 3.0 10 / 8 8 = = = = ´ ´ = = l l 例題：光通過一兩面 平行介質的行進方向 不變。 色散 物質的折射係數為電磁波頻率的函 數（如左圖所示），因而不同顏色 的光於介質中的行進速度不一樣。 此效應可於光通過不同折射係數界 面時，因折射係數隨頻率而改變， 使得不同顏色的光以不一樣的折射 角偏而離觀察到。此不同顏色因折 射係數變異而產生偏離（分離）的 現象被稱為色散(Dispersion)
Sunlight 太陽光看起來雖為白色,然而其光 譜卻包含了整個可見光的範圍。因 而當它經過水滴產生折射時,不同 的譜線因偏折而分離。 例題∶單色光通過稜鏡時所產生的最小偏移角為當人射角 等於出射闰時(如圖所示),若稜鏡的頂角為Φ,則由幾 何的關侥與折射定律可得 Φδ e1=62+ 22 sin 8, =nsin 8, Φ+δ sin( Φ+δ sIn(
7 彩虹 太陽光看起來雖為白色，然而其光 譜卻包含了整個可見光的範圍。因 而當它經過水滴產生折射時，不同 的譜線因偏折而分離。 例題：單色光通過稜鏡時所產生的最小偏移角為當入射角 等於出射角時（如圖所示），若稜鏡的頂角為F，則由幾 何的關係與折射定律可得 2 2 min 1 2 d q q a + F = + = ) 2 sin( sin sin min 1 2 d q q F + = = n 2 sin ) 2 sin( min F F + \ = d n
全反射 Total Internal reflection) 當光由折射徐數較大的介質1進人折射徐數較小的介質2 時,由折射定律得知 nsin61=n2sn2→sin1 n2 a2 當光進人介質2時可能產生的最大偏折角為90度’此時人 射角為 6 →61=b=sin - sin 我們稱此角度為臨界角 critical angle)。由上式可知,當入 射角大於臨界角時’所產生的偏折大於90度·亦即光不 可能進人介質2內部,而完全反射回介質1中。這為所調 的全反射現象。 例題(一)水的折射像數為1.33,問其臨界角為何? 由前面式子可知臨界角為 SIn =48.8 1.33 (二)利用此結果預測當水中的 魚分别以400488與60看水外 世界會是什麽樣的狀況?
8 全反射(Total Internal Reflection) 當光由折射係數較大的介質1進入折射係數較小的介質2 時，由折射定律得知 2 1 2 1 1 2 2 1 sinq sinq sinq sinq n n n = n Þ = 當光進入介質2 時可能產生的最大偏折角為90度，此時入 射角為 1 1 2 1 1 2 1 2 1 sin 2 sin sin n n n n n n c - = = Þq = q = p q 我們稱此角度為臨界角(critical angle)。由上式可知，當入 射角大於臨界角時，所產生的偏折大於 90度，亦即光不 可能進入介質2 內部，而完全反射回介質1中。這為所謂 的全反射現象。 例題（一）水的折射係數為1.33，問其臨界角為何？ 由前面式子可知臨界角為 o c n n 48.8 1.33 1 sin sin 1 1 1 2 = = = - - q （二）利用此結果預測當水中的 魚分別以40o、48.8o與60o看水外 世界會是什麼樣的狀況？