干涉現象 1.疊加原理( Principle of Superposition) 2.雙狹縫干涉( Double- Slit interference) 3.雙狹縫干涉圖形光強度分佈 4.波的相位加成( Phasor Addition of wave) 5.薄膜干涉( Thin Film Interference 6. Michelson千涉儀( Michelson Interferometer) 疊加原理( Principle of Superposition) 光的本質為電磁波’因而當兩束以上的光疊加在一起時’其總 和光的電磁場振幅等於每束光電磁場振幅的線性相加 E(x,)=∑E(x1)&B(x,1)=∑B(x,1) 考慮兩束頻率相同的光疊加在一起·其總和的電場強度為 E(, t)=Elo sin(ot +a,)+E2o sin(ot +a2)a;=-x,+8 由三角函數關Sin(α+B)= sin a cosB+Sinβcosa cos(a-B)=cosa cosB+sin B sin a 兩束光的電場強度可展開為 Elo sin(ot +a,)=Elo cosa, sin ot+ Elo sin a,cost Ero sin(ot+a)= Ero cosa, sin ot+ Ero sin a,cost
1 1. 疊加原理 (Principle of Superposition) 2. 雙狹縫干涉 (Double-Slit Interference) 4. 波的相位加成 (Phasor Addition of Wave) 5. 薄膜干涉 (Thin Film Interference) 6. Michelson干涉儀 (Michelson Interferometer) 干涉現象 3. 雙狹縫干涉圖形光強度分佈 疊加原理 (Principle of Superposition) 光的本質為電磁波，因而當兩束以上的光疊加在一起時，其總 和光的電磁場振幅等於每束光電磁場振幅的線性相加。 = å = å i i i i E(x,t) E (x,t) ＆ B(x,t) B (x,t) 考慮兩束頻率相同的光疊加在一起，其總和的電場強度為 i kxi i E(x,t) = E10 sin(wt +a1 ) + E20 sin(wt +a2 ) a º - +e 由三角函數關係 a b a b b a a b a b b a cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos sin cos - = + + = + 兩束光的電場強度可展開為 E t E t E t E t E t E t w a a w a w w a a w a w sin( ) cos sin sin cos sin( ) cos sin sin cos 20 1 20 2 20 2 10 1 10 1 10 1 + = + + = +
重新整理後’電場強度可寫為 E(x, t)=(ELo coSa,+E +(Elo sin a+ eo sin a, )cost 方便起見,我們定義 Eo cosa =(Elo cosa,+ Exo cosa,) Eo Sin a=(elo sin a+ ero sin a,) =E=Eo coSa sin ot+ Eo sin a cost= E sin(ot +a) where tan a= Elo sin a, Ero sin a 總和電場強度的大小,可由其平方值求得 E=E102+E202+2E0E20cos(x2-a1) 其相位差為 (kx1+E1)-(kx2+E2) 2 (x1-X2)+ 由此可知,若此二束光彼此不相干,則 I o(E(x,t'= 此時不會有干涉的現象因而在相干的前提下’考慮E1=E2 2 則δ )=n(x1-x2)=kA 其中A為光學路徑差( Optical Path Difference簡寫為OPD), 此時總和的光強會因二束光光學路徑的差異而產生週期性 變化
2 重新整理後，電場強度可寫為 E E t E x t E E t a a w a a w ( sin sin )cos ( , ) ( cos cos )sin 10 1 20 2 10 1 20 2 + + = + 10 1 20 2 10 1 20 2 0 0 0 10 1 20 2 0 10 1 20 2 cos cos sin sin tan cos sin sin cos sin( ) sin ( sin sin ) cos ( cos cos ) a a a a a a w a w w a a a a a a a E E E E where E E t E t E t E E E E E E o + + = Þ = + = + º + º + 方便起見，我們定義 2 cos( ) 10 20 2 1 2 20 2 10 2 E0 = E + E + E E a -a 總和電場強度的大小，可由其平方值求得 其相位差為 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 e e l p d a a e e = - + - º - = + - + x x kx kx 由此可知，若此二束光彼此不相干，則 = - = 1 - 2 = 0L 0 1 2 ( ) 2 ( ) 2 x x n x x k l p l p d 其中L為光學路徑差（Optical Path Difference簡寫為OPD）， 此時總和的光強會因二束光光學路徑的差異而產生週期性 變化。 2 20 2 10 2 cos 0 I E(x,t) E E time time d = Þ µ = + 此時不會有干涉的現象。因而在相干的前提下，考慮 1 2 e = e 則
雙狹縫干涉( Double- Slit interference) l801年 Thomas young利用如下圖所示的裝置進行實驗,他首次 發現投射於顯示幕上的光呈現平行的條紋圖樣( (fringe pattern) x First barrier Second barrier 目 Young所觀測到的現象可以同調ω1=2,气2)的兩道光源於顯示 幕上的疊加來解釋(如下圖所示) =dsin已 Source 其光學路徑差A為=m(2-F)= nd sin 考慮此二光源的強度一樣(E10=E20),則投射於顯示幕上光強度為 Eo=2E +2E coS(KA) E1o=E20 =Eo
3 雙狹縫干涉 (Double-Slit Interference) 1801年Thomas Young利用如下圖所示的裝置進行實驗，他首次 發現投射於顯示幕上的光呈現平行的條紋圖樣(fringe pattern)。 Young所觀測到的現象可以同調(w1=w2 ,e1=e2 )的兩道光源於顯示 幕上的疊加來解釋（如下圖所示）。 其光學路徑差L為 ( ) sinq 2 1 L = n r - r = nd 考慮此二光源的強度一樣(E10=E20)，則投射於顯示幕上光強度為 0 10 20 0 2 0 2 0 2 0 I µ E = 2E + 2E cos(k L) E = E º E
當OPD等於光源波長的整數倍m時 A=m2→6A=元 m0=2m I=41 此時投射於顯示幕上的光強度為極大值’形成一明亮的條紋 此為建設性干涉( constructive interference)時的條件 當OPD等於光源波長的整數倍m再加上12個波長時 A=(m+)2→kA=(m+1)1=(2m+1)m I=0 此時投射於顯示幕上的光強度為極小值’形成一灰暗的條紋 此為破壞性干涉( destructiⅳ ve interference)畤的條件。 考慮狹縫到顯示幕的距離為L∵ν為顯示幕上與對稱中心位置的 距離。在L>與Φ∽λ的情況下·我們可寫出明暗條紋的位置 y= Ltan e≈L0when6<< & λL ∴ bright dark m+ 例題∶某雙狹縫到顯示幕的距離為1.2m,雙狹縫間距為0.03 mm。若顯示幕上干涉圖形中第二級亮紋(m=2 second order fringe)與對稱中心位置的距離為4.5cm,問此光的波長為? λL 由上面所得條件可求出M8々 →2=2d=(4.×10m)X30×10°m)=56×10m mL 2(1.2m)
4 當OPD等於光源波長的整數倍 m 時 0 0 0 0 0 4 2 2 I I m k m m Þ = L = Þ L = = l p l p l 當OPD等於光源波長的整數倍 m再加上1/2個波長時 0 ( ) (2 1) 2 ( ) 2 0 1 0 2 0 0 1 Þ = L = + Þ L = + = + I m k m l m p l p l 此時投射於顯示幕上的光強度為極大值，形成一明亮的條紋， 此為建設性干涉(constructive interference)時的條件。 此時投射於顯示幕上的光強度為極小值，形成一灰暗的條紋， 此為破壞性干涉(destructive interference)時的條件。 考慮狹縫到顯示幕的距離為L，y為顯示幕上與對稱中心位置的 距離。在L>>d與d>>l的情況下，我們可寫出明暗條紋的位置 y = Ltanq » Lq when q＜＜1 ( ) 2 1 \ = = m + d L m y d L ybright dark l l ＆ 例題：某雙狹縫到顯示幕的距離為1.2m，雙狹縫間距為0.03 mm。若顯示幕上干涉圖形中第二級亮紋(m=2 second order fringe)與對稱中心位置的距離為4.5cm，問此光的波長為？ 由上面所得條件可求出 m m m m mL y d 7 2 5 2 5.6 10 2(1.2 ) (4.5 10 )(3.0 10 ) - - - = ´ ´ ´ Þ l = = m d L ybright l =
雙狹縫干涉圖形光強度分佈 除了可寫出雙狹縫干涉明暗條紋的位置外·我們可進一步的描 薤干涉條紋光強度於空間的分佈狀況。在前遽條件下於顯示幕 上的光強可表示為 I o E?=2E+2E cos(kA)=4E(1+ Cos(A) b= cos max 由幾何上的關像’兩狹縫光束至顯示幕上的光成差可改寫為 nd sin e I=I cos( max Ⅰcos2 e dsin B 波的相位加成( Phasor Addition of wave) 由干涉條紋光強度的分佈狀況’其電場強度的關倧可寫為 = 1 cOs(-)→E0=2E0cos 此結果可用圖示表達如右圖所 示(圖中的Φ定義與講義中δ 的一樣)。由於此結果對任意 相位差都成立,故對兩同調 ( coherent的光源之干涉結果可 以如下圖般,以圖示的表達方 式來描進
5 雙狹縫干涉圖形光強度分佈 ) 2 cos ( 2 1 cos( ) 2 2 cos( ) 4 2 0 max 2 0 0 0 2 0 2 0 2 0 L Þ = ÷ ø ö ç è æ + L µ = + L = k I I k I E E E k E cos ( ) ) sin cos ( 2 max 2 max y L d I d I I l p l p q = = 除了可寫出雙狹縫干涉明暗條紋的位置外，我們可進一步的描 述干涉條紋光強度於空間的分佈狀況。在前述條件下於顯示幕 上的光強可表示為 由幾何上的關係，兩狹縫光束至顯示幕上的光成差可改寫為 波的相位加成 (Phasor Addition of Wave) ) 2 ) 2 cos( 2 cos ( 0 0 2 0 max d E Ei k I I Þ = L = 由干涉條紋光強度的分佈狀況，其電場強度的關係可寫為 此結果可用圖示表達如右圖所 示（圖中的F定義與講義中d 的一樣）。由於此結果對任意 相位差都成立，故對兩同調 (coherent)的光源之干涉結果可 以如下圖般，以圖示的表達方 式來描述
下面圖中顯示’當相位差為零時為最大值總和電場的強度隨 相位差的增加而逐漸減小’直至相位差為180度時為最小值 當相位差繼續増加電場的強度轉而變大’直至相位差為360度 時回到最大值。而後重複此現象成為一週期性變仳模式 9 6=A/8 .ral 270° E ( =18P =3/4 利用此 phasor diagram的技巧·我們可以描繪出多狹縫干涉的結 果。以三狹縫為例,我們考慮三個 coherent且強度一樣的光源 此三個光源到顯示幕上任意一點P的電場強度可寫為 E= Eo sin ot E2= Eosin(ot+a) E3= Eo sin(ot+ 2p) 類似於雙狹縫 phasor diagram的結果·三狹縫到顯示幕上任意 點P的電場強度為 En:2E Eg-k Ee-3I
6 下面圖中顯示，當相位差為零時為最大值。總和電場的強度隨 相位差的增加而逐漸減小，直至相位差為180度時為最小值。 當相位差繼續增加電場的強度轉而變大，直至相位差為360度 時回到最大值。而後重複此現象成為一週期性變化模式。 利用此phasor diagram的技巧，我們可以描繪出多狹縫干涉的結 果。以三狹縫為例，我們考慮三個coherent且強度一樣的光源， 此三個光源到顯示幕上任意一點P的電場強度可寫為 sin sin( ) sin( 2 ) E1 = E0 wt E2 = E0 wt + F E3 = E0 wt + F 類似於雙狹縫phasor diagram的結果，三狹縫到顯示幕上任意一 點P的電場強度為
在此三狹縫的例子’我們可發覺當相位差為120度及240度時 電場強度為零’而當相位差為l8度時有一較小的亮紋(局部 極大值)。其光強度分佈如下面圖片所示 P Secondary maximum AAAAA N=10 薄膜干涉( Thin film interference 考慮光進人一薄膜系統如下面圖片所示,由於光行經每一界面 時’皆會被分成反射與折射兩道光。所以無論是考慮透射或反 射,兩個界面的貢獻皆應計算在內。這情況相當於每一界面等 效於一光源·所以無論是總反射或透射光會有類似於雙狹縫干 涉的現象 No phase chunge 建設性干涉的條件:以反射光為例, 只要兩束光的相位差為2π的整數倍即 為建設性的加成。值得一提的是 光由折射像數小到較大的界面反射時 其相位會改變π,故以垂直人射為例, 建設性干涉發生在其OPD為 OPD=2nt=(m+)λm=0, 破壞性干涉的條件發生在 OPD=2nt=mλm=0,1,2
7 在此三狹縫的例子，我們可發覺當相位差為120度及240度時， 電場強度為零，而當相位差為180度時有一較小的亮紋（局部 極大值）。其光強度分佈如下面圖片所示 薄膜干涉 (Thin Film Interference) 考慮光進入一薄膜系統如下面圖片所示，由於光行經每一界面 時，皆會被分成反射與折射兩道光。所以無論是考慮透射或反 射，兩個界面的貢獻皆應計算在內。這情況相當於每一界面等 效於一光源，所以無論是總反射或透射光會有類似於雙狹縫干 涉的現象。 建設性干涉的條件：以反射光為例， 只要兩束光的相位差為2p的整數倍即 為建設性的加成。值得一提的是，當 光由折射係數小到較大的界面反射時 其相位會改變p ，故以垂直入射為例， 建設性干涉發生在其OPD為 2 ( ) 0,1,2,... 2 1 OPD = nt = m + l m = 破壞性干涉的條件發生在 OPD = 2nt = ml m = 0,1,2
牛頓環( Newton’ s Rings) 當光進人一如下面圖片所示的系統·由於此二物體之間的間隙 隨著距離中心接觸點位置變化而改變’所以考慮反射光時·其 OPD隨r增加而增加’所以會觀測到同心圓圖案的干涉現象。 t=R-√R2-r2≈p2/2R 由前斌破壞性干涉的條件’暗 紋應發生在 2nt=m→r≈√mR/n 例題∶許多光學或光電器材如鏡片眼鏡與太陽能電池等,皆 希篁能降低反射光的強度’以增加透射光的效率。未達到此目 的,可以經由在這些元件表層鍍上一層(或多層)膜來達到此 目的。以太陽能電沘為例,通常會在Sn=3.5)表面鍍上一層SiO (n-=145)的薄膜以増加太陽光的射量。若此鍍膜的目的在 使可見光光譜的中心線波長為550nm的光反射為最小’問其鍍 膜最小的厚度應約為多少? 計算此題時得注意到·此鍍膜的兩個反射界面皆是由折射倧數 小到大的反射,故其相位差幾需考慮OPD即可。所以反射光為 最小時為 OPD=2nt=(m+)λm=0,1,2, 故其鍍膜厚度最小應為 2n=(0+→t=2 550nm =94.8nm 4n4×1.45
8 牛頓環(Newton’s Rings) 當光進入一如下面圖片所示的系統，由於此二物體之間的間隙 隨著距離中心接觸點位置變化而改變，所以考慮反射光時，其 OPD隨r的增加而增加， 所以會觀測到同心圓圖案的干涉現象。 t R R r r / 2R 2 2 2 Q = - - » 由前述破壞性干涉的條件，暗 紋應發生在 2nt = ml Þ r » mRl / n 例題：許多光學或光電器材如鏡片，眼鏡與太陽能電池等，皆 希望能降低反射光的強度，以增加透射光的效率。未達到此目 的，可以經由在這些元件表層鍍上一層（或多層）膜來達到此 目的。以太陽能電池為例，通常會在Si(n=3.5)表面鍍上一層SiO (n=1.45)的薄膜以增加太陽光的入射量。若此鍍膜的目的在於 使可見光光譜的中心線波長為550nm的光反射為最小，問其鍍 膜最小的厚度應約為多少？ 計算此題時得注意到，此鍍膜的兩個反射界面皆是由折射係數 小到大的反射，故其相位差幾需考慮OPD即可。所以反射光為 最小時為 2 ( ) 0,1,2,... 2 1 OPD = nt = m + l m = 故其鍍膜厚度最小應為 nm nm n nt t 94.8 4 1.45 550 4 2 (0 ) 2 1 = ´ = + Þ = = l l
Michelson干涉儀( Michelson interferometer) M Er, Adjustable mirror Image of M Light source Be Telescope
9 Michelson干涉儀 (Michelson Interferometer)