§8交流电路的口复数基本知识 复数解法 ■交流电的复数表示法 p3965-50、51、53·复数的实部是简谐量 a- ej(t+)=Acos(ot+p)+jAsin(at+) a,(t)=A cos(at +)>A=Ae j(at+) a2(t)=A2coa+2))42=4e(c+) a()=a1(t)+a2(1)<>A=A1+A2 =Aco(m+)<→A=Ae(oy+) 2005.5 北京大学物理学院王稼军编
2005.5 北京大学物理学院王稼军编 §8交流电路的 复数解法 p396 5-50、51、53 ◼ 复数基本知识 ◼ 交流电的复数表示法 ◼ 复数的实部是简谐量 cos( ) sin( ) ~ ( ) + + + + = = A t j A t j t A Ae ~ ( ) ( ) cos( ) 1 1 1 1 1 1 + = + ⎯→ = j t a t A t A Ae ~ ( ) ( ) cos( ) 2 2 2 2 2 2 + = + ⎯→ = j t a t A t A A e ~ ( ) cos( ) ~ ~ ~ ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 + = + ⎯→ = = + ⎯→ = + j t A t A A a t a t a t A A A e
简谱量的微商和积分 da(t) da d /Aej(ot+o)=joAej(ot+P)=joA ∫a0M手eom vo dey(ot+p 70 利用复数法,可以把微商、积分运算 简化成代数运算 2005.5 北京大学物理学院王稼军编
2005.5 北京大学物理学院王稼军编 简谐量的微商和积分 ◼ 利用复数法，可以把微商、积分运算 简化成代数运算 j A j t j A j t A dt d dt dA dt da t e e ( ) ( ) ~ ~ ( ) = [ ] = = + + ⎯→ A j j t A j dt j t a t dt Adt A e e 1 ( ) 1 ~ ~ ( ) ( ) = + = + ⎯→ =
交流电的复数表示 ■复电压(1)=U0s(o+9)→0=Ue j(t+) 复电流() ()=1cos(om+g)<→=1e/(m+) ■复阻抗 =94-9 U IoJ(at+qu (1-0 e/(O+ 幅角 ■复导纳Y= e/p=re j9差 个负 号 2005.5 北京大学物理学院王稼军编
2005.5 北京大学物理学院王稼军编 交流电的复数表示 ◼ 复电压 ◼ 复电流 ~ ( ) ( ) cos( ) 0 0 u j t u t U t u U U e + = + ⎯→ = ~ ( ) ( ) cos( ) i i i i i j t i t I t I I e + = + ⎯→ = ◼ 复阻抗 j Z u i j I U j t I j t U I U Z e e e e i u = − = + + = = ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ 0 0 0 0 0 0 I U =u −i j Y j Z Z Y e e − = − = = 1 ~ ~ 1 ◼ 复导纳 幅角 差一 个负 号
好处z 复数形式的欧姆定律 e 将Z、φ用一个复阻抗来代 替 ■元件阻抗 相位差复阻抗复导纳 C JOc ac nfc f 2 RR与/无关0 R R LL=2L∝f+ JOL O 2005.5 北京大学物理学院王稼军编
2005.5 北京大学物理学院王稼军编 好处 ◼ 元件 阻抗 相位差 复阻抗 复导纳 j Ze I U Z = ~ = ~ ~ 复数形式的欧姆定律； 将Z、φ用一个复阻抗来代 替 j c c f c f j c C 1 2 1 2 1 1 = − j L L L f L f j L 1 2 = 2 + R R R f R 1 与 无关 0
交流串、并联电路的复数解法 用复数法计算简单电路时,电路的电压、电 流关系与直流电路一样 ■串联电路0=0+0=72+72=72 2=2+2 ■并联电路7=7+7=0+ Y=y+y 2005.5 北京大学物理学院王稼军编
2005.5 北京大学物理学院王稼军编 交流串、并联电路的复数解法 ◼ 用复数法计算简单电路时，电路的电压、电 流关系与直流电路一样 ◼ 串联电路 1 2 1 2 1 2 1 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~ , ~ ~ ~ Z Z Z U U U IZ IZ IZ I I I = + = + = + = = = 1 2 1 2 1 2 1 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ , ~ ~ ~ Y Y Y Z U Z U Z U I I I U U U = + = + = + = = = ◼ 并联电路
例题:求R、L、C串并联 L 电路的总阻抗和相位差 R 电路的复阻抗ZA2R=2+2R=R+ ■再算总电路复 Y=yn+ +jac R+JOL 导纳Y 1-OLC +JOCR R+iOL ■复阻抗 Z R+JOL 1-0flC+ joCR 2005.5 北京大学物理学院王稼军编
2005.5 北京大学物理学院王稼军编 R j L LC j C R j C R j L Y YLR YC + − + = + + = + = 2 1 ~ ~ ~ 1 例题：求R、L、C串并联 电路的总阻抗和相位差 ◼ 先算L 、R 串联 电路的复阻抗ZLR ZLR = ZL + ZR = R + jL ~ ~ ~ ◼ 再算总电路复 导纳Y LC j CR R j L Z − + + = 2 1 ◼ 复阻抗 ~
求阻抗和幅角 利用复数运算规则 R+ JOL e J91 (q1-2) 1-O'LC + JocR Z, e 模幅角 R+jOL R+(OL 1-02LC+jOCR V(-o LC)'(aCR) OL- QCR 2 tg R g 1-0LC ■用三角恒等式gx-gy=t x-y OCR 1+ O 9=g1-R,1-o1C=1-OC[R2+(omL) OL CR R 1+ R1-0LC 2005.5 北京大学物理学院王稼军编
2005.5 北京大学物理学院王稼军编 R L C R L tg LC CR R L LC CR R L tg [ ( ) ] 1 1 1 2 2 1 2 2 1 − + = − + − − = − − 求阻抗和幅角 ◼ 用三角恒等式 ( ) 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ~ ~ 1 ~ − = = = − + + = j j j e Z Z Z e Z e Z Z LC j C R R j L Z 利用复数运算规则 2 2 2 2 2 2 (1 ) ( ) ( ) 1 ~ LC CR R L LC j CR R j L Z Z − + + = − + + = = 模 LC CR t g R L t g 2 1 1 1 2 1 − = − = − − − 幅 角 xy x y tg x tg y tg + − − = − − − 1 1 1 1
串、并联电路的应用 2,=i0,2c/C 都与频率有关 O定时z1=oL 有确定值 iac 改变时Z=joL,zc iC随着变化 交流元件的这种特性—“频率响应” ■有许多重要的应用 2005.5 北京大学物理学院王稼军编
2005.5 北京大学物理学院王稼军编 串、并联电路的应用 ◼ 交流元件的这种特性——“频率响应” ◼ 有许多重要的应用 j C ZL j L ZC ~ 1 , ~ = = 都与频率有关 一定时 有确定值 j C ZL j L ZC ~ 1 , ~ = = 改变时 随着变化 j C ZL j L ZC ~ 1 , ~ = =
滤波电路 能使某些频率的交流讯号顺利通过,而将 另外一些频率的交流讯号阻挡住的电路 ■低通滤波电路:将高频流讯号阻挡住 高通滤波电路:能使高频讯号顺利通过, 而将低频流讯号阻挡住的电路 在无线电、多路载波通讯等技术领域中广 泛地使用着各种类型的滤波电路 2005.5 北京大学物理学院王稼军编
2005.5 北京大学物理学院王稼军编 滤波电路 ◼ 能使某些频率的交流讯号顺利通过，而将 另外一些频率的交流讯号阻挡住的电路 ◼ 低通滤波电路：将高频流讯号阻挡住 ◼ 高通滤波电路：能使高频讯号顺利通过， 而将低频流讯号阻挡住的电路 ◼ 在无线电、多路载波通讯等技术领域中广 泛地使用着各种类型的滤波电路
单级的RC低通滤波电路 利用电容具有隔直流、通交流,高频短路,直流开 路的频率特性,由电容和电阻组合而成 ■实际上是一个分压电路。以电容两端作为输出端, 则该电路的输出复电压与输入复电压之比为 R 各 输出 jaC 种的 TC+ U 出 输入R+ 1+ joRC OC 模 输出 0()=-tan(oR)/幅 角 输入√1+(oRC 2 都是o的函数 2005.5 北京大学物理学院王稼军编
2005.5 北京大学物理学院王稼军编 单级的RC低通滤波电路 ◼ 利用电容具有隔直流、通交流，高频短路，直流开 路的频率特性，由电容和电阻组合而成 ◼ 实际上是一个分压电路。以电容两端作为输出端， 则该电路的输出复电压与输入复电压之比为 j RC j C R j C U U + = + = 1 1 1 1 ~ ~ 输入 输出 2 1 ( ) 1 ~ ~ U RC U + = 输入 输出 ( ) tan ( ) 1 RC − = − 模 幅 角 都是的函数