北京大学：《电磁学》第五章 电路——谐振电路

UL §10诸振电路 p3985-67、68 ■R、LC串联谐振电路 R 串联电路 矢量图 U=VU2+(U1-U)2=1R2+(oL-) L)UL Z R+(OL 2 U CE Uc U-U OL p=tg g R 2005.5 北京大学物理学院王稼军编

2005.5 北京大学物理学院王稼军编 §10 谐振电路 p398 5-67、68 ◼ R、L、C串联谐振电路 ◼ 串联电路 ◼ 矢量图 2 2 2 2 ) 1 ( ) ( C U UR UL UC I R L  = + − = +  − 2 2 ) 1 ( C R L I U Z  = = +  − R C L tg U U U tg R l C    1 1 1 − = − = − −

谐振 U=VUR +( -U=IR+(OL-) 现象 Z=R 谐振条件 a0=2小时阻抗达到极小 0 Z>R 值,此时电流达到极 大值—谐振现象, c、1 R O ■R、L、C串联电路 振动系统 电源 周期性策动力 电源的频率与系统的固有频率一致时,发生谱振(共 振)相当于速度共振 2005.5 北京大学物理学院王稼军编

2005.5 北京大学物理学院王稼军编 谐振 现象 ◼ R、L、C串联电路 振动系统 ◼ 电源 周期性策动力 ◼ 电源的频率与系统的固有频率一致时，发生谐振（共 振）相当于速度共振 Z R C L Z R C L Z R C L −   −   − = = 0, 1 0, 1 0, 1       2 2 2 2 ) 1 ( ) ( C U UR UL UC I R L  = + − = +  − 0=2f时阻抗达到极小 值，此时电流I达到极 大值 ——谐振现象， 谐 振 条 件

谱振时的特征 谐振频率 满足诸振条件的频率 LC LC 2m√LC 固有频率由电路中的L、C的量值 决定,即由电路本身的性质决定 电感性 ■总电压与总电流的相位关系 电容性 OL 0=g-0C[落后I U超 R U与I同 前I 相位 2005.5 北京大学物理学院王稼军编

2005.5 北京大学物理学院王稼军编 谐振时的特征 ◼ 谐振频率 ◼ 满足谐振条件的频率 LC f LC LC    2 1 , 1 , 1 0 0 2 0 = = = 固有频率由电路中的L、C的量值 决定，即由电路本身的性质决定 ◼ 总电压与总电流的相位关系 R C L tg    1 1 − = − U落后I U超 前I U与I同 相位

谱振时的特征 u L OL ■总阻抗、总电流 R U=U 谐振时总阻抗极小z=RU8=1nR=U I 总电流极大lm=UR 电压分配 RoC 总电压U=U=IR 这是否说明此时电感、电容上没有电压? ■实际上,谐振时,L、C上的电压往往比总电压大几倍到几 十倍 UU Z 品质 UUR OCRR R 0=Q因数 也叫 Q值 2005.5 北京大学物理学院王稼军编

2005.5 北京大学物理学院王稼军编 谐振时的特征 ◼ 总阻抗、总电流 ◼ 谐振时 总阻抗极小Z＝R ◼ 总电流极大Im=U/R ◼ 电压分配 ◼ 总电压U＝UR ＝IR ◼ 这是否说明此时电感、电容上没有电压？ ◼ 实际上，谐振时,L、C上的电压往往比总电压大几倍到几 十倍 L R U UL = I m ZL = 0 R C U UC I m ZC 0 = = UR = I m R =U Q R L R Z R CR Z U U U UC L C L = = = = = = 0 0 1   品质 因数 也叫 Q值

Q值的物理意义 品质因数是衡量谐振电路好坏的参量,其物 理意义是多方面的 储能和耗能和Q值的第一种物理意义 在R、L、C串联电路中,电阻是耗能元件,而电感 和电容是储能元件,在交流电一个周期内 电阻 耗能WR=R27在C、L中Ws 总储能 (1)+Cl(1) 作周 期性 i(t)=lo cos at u=lo cos(at sin ot O 变化 1 12[LcOS ot+ sin d LC LI 不再随时间变化 C 2005.5 北京大学物理学院王稼军编

2005.5 北京大学物理学院王稼军编 Q值的物理意义 ◼ 品质因数是衡量谐振电路好坏的参量，其物 理意义是多方面的 ◼ 储能和耗能和Q值的第一种物理意义 • 在R、L、C串联电路中，电阻是耗能元件，而电感 和电容是储能元件，在交流电一个周期内 WR RI T 2 = ( ) 2 1 ( ) 2 1 2 2 W Li t Cu t S = + C i(t) I cost = 0 电阻 耗能 在C、L中 总储能 t C I t C I uc      ) sin 2 cos( 0 0 = − = sin ] 1 [ cos 2 1 2 2 2 2 0 t C W I L t S   =  + 作周 期性 变化 LC 1  =0 = 2 2 0 2 2 0 2 1 S LI m C I W = LI = =  不再随时间变化

WR与W之比=1==LG 总储能W就是在谱振状态下,稳定地储能在电路中的电、 磁能 ■这能量是在谐振电路开始接通是经历的暂态过程中由外电路 输入给它的 达到稳定后,为了维持稳定的振荡,外电路要不断地输入能 量以补充电阻上的耗能WR W与W之比反映了一个谐振电路储能的效率值高相 W量来说所需付 Q=2丌 出的能量耗散 C R越少。 WRR2T3CRT2 RCOo O值等于谐振电路中储存 1oLQ的能量与每个周期内消耗 2丌ORC2丌R2丌 能量之比的2m倍 2005.5 北京大学物理学院王稼军编

2005.5 北京大学物理学院王稼军编 WR与WS之比 ◼ 总储能WS就是在谐振状态下，稳定地储能在电路中的电、 磁能 ◼ 这能量是在谐振电路开始接通是经历的暂态过程中由外电路 输入给它的 ◼ 达到稳定后，为了维持稳定的振荡，外电路要不断地输入能 量以补充电阻上的耗能WR ◼ WR与WS之比反映了一个谐振电路储能的效率 2 2 0 2 2 0 2 1 S LIm C I W = LI = =           2 2 1 1 2 1 2 1 1 0 0 0 2 0 2 2 0 2 Q R L RC RI T CRT RC C I W W R S = = = = = = R S W W Q = 2 Q值等于谐振电路中储存 的能量与每个周期内消耗 能量之比的2π倍 Q 值 高 —— 相 对于储存的能 量来说所需付 出的能量耗散 越少

频率的选择性和Q值的第二种物理意义 如图,Q值越大, 谐振峰越尖锐,电 100% 路的频率选择性能 越好 通频带宽度:I的 70%处频率之间的 宽度△f训/2 设:f1、f对应的电流和阻抗为1、I2,Z1、Z2 1 U ■证明O=01=l2 √2R 2√2R 2nf Z=R1+( R OCR=R/+/ooLYo Oo a0=2nfo oL 1 R 2005.5 北京大学物理学院王稼军编 O=00L R

2005.5 北京大学物理学院王稼军编 频率的选择性和Q值的第二种物理意义 ◼ 如图，Q值越大， 谐振峰越尖锐，电 路的频率选择性能 越好 ◼ 通频带宽度：Im的 70％处频率之间的 宽度 △f=|f1 -f 2 | f f Q  = ◼ 证明 0 1 2 1 2 Z1 Z2 设：f 、f 对应的电流和阻抗为I 、I ， 、 R I U I I m 2 1 2 1 = 2 = = R I U I U Z Z 2 1 2 1 = 2 = = = 2 0 0 2 2 0 ) 1 1 1 (          −      = + − = +        R L R R cR L Z R  = 2f 0 2 0  = f R L Q 0 =

L z=R,1+0 →Z=R,|1+ R (分 Z1=R1+0f 2 2R→ 0 0|=1或22f同样 O 0 Q处犂f2-n2f2f0 两式相加,消去因子G+),得2-。= ■Q值越大,Δ小,谐振峰越尖锐,频率选择性能也 越好—Q值的第二种物理意义。 ■Q值越高,△小电路的选择性能越好 2005.5 北京大学物理学院王稼军编

2005.5 北京大学物理学院王稼军编 ◼ 两式相加，消去因子(f1+f2 )，得           −      = + 2 0 0 2 0 1      R L z R 2 0 0 2 1         = + − f f f f Z R Q R f f f f Z R 1 Q 2 2 0 0 2 1 =         = + − 1 2 0 0 2 =          − f f f f Q Q f f f f f f f f Q 2 1 0 1 2 0 0 0 =1, − =         − 或 Q f f f f 2 2 0 0 2 同样 2 − = 处理 f Q f f − f = =  0 2 1 ◼Q值越大，f越小，谐振峰越尖锐，频率选择性能也 越好——Q值的第二种物理意义。 ◼ Q值越高，△f越小电路的选择性能越好

电压分配和Q值的 C 第三种物理意义 U ■Q值标志了谐振电路中电感、或电容上电压 与总电压的比值 ■Q值越大,电感和电容上的电压与总电压之 比越大 例如:一谐振电路的Q=100, 若测得U=5V,则U=UC=5007 2005.5 北京大学物理学院王稼军编

2005.5 北京大学物理学院王稼军编 电压分配和Q值的 第三种物理意义 ◼ Q值标志了谐振电路中电感、或电容上电压 与总电压的比值 ◼ Q值越大，电感和电容上的电压与总电压之 比越大 ◼ 例如：一谐振电路的Q＝100， 若测得U＝5V,则UL ＝UC ＝500V U U U U Q C L = =

并联谐振 值均与o有关 在某个特定的 ■电路计算结果 频率下,Z,φ 也达到极值 (1-0C)+(0C0=yL-0k2+(0)31 R2+(oD)2 R ■谱振条件和频率q=0→ OL-OCIR+(O)=0 a也是 解,但 R 属于低 2/fo LC L 频,不 可能发 R 生诸振 2丌VLC(L 小时=1 R很 cIvic 2005.5 北京大学物理学院王稼军编

2005.5 北京大学物理学院王稼军编 并联谐振 ◼ 电路计算结果 2 2 2 2 2 (1 ) ( ) ( ) LC CR R L Z    − + + = R L C R L tg [ ( ) ] 2 2 1    − + = − 值均与 有关 在某个特定的 频率f 0下，Z, 也达到极值 ◼ 谐振条件和频率  = 0  [ ( ) ] 0 2 2 L −C R + L = 0 2 0 2 1 f L R LC   =       = − 2 0 1 2 1       = − L R LC f  R很 小时 LC f 1 2 1 0  = 0也是 解，但 属于低 频，不 可能发 生谐振