《光学》第二讲 折射與司乃耳定律

幾何光學一光之折射 折射與司乃耳定律 折射現象 1光從一物質進人另一物質改變進行方向之現象稱光的折射。因為光自一物質進人他 物質時其速度改變故生折射。 2·實例∶銅幣在水中似乎浮趄·米尺在水中似乎彎曲 人射線 折射定律 1第一定律∶人射線丶折射線及界面的法線’均在同一平面上。 2第二定律:人射角的正弦和折射角的正弦比是一定值。 註∶有某些晶體’其人射線丶折射線和界面的法線,可能不在 折射線 同一平面上°(雙折射現象) SInl 3第二定律又稱為司乃耳定律(Snel'slaw)可寫成 SInI 人射角的正弦和折射闰的正弦比稱為折射率。 三、絕對折射率 光線由真空(大略言之由空氣)進人某種介質所生之折射率’稱為該介質的絕對折射 率。絕對折射率恒大於1,即n≥1 物質 絕對折射率 物質 絕對折射率 空氣1am、0c)10003 甘油 1.47 玻璃 15~19 酒精 1.36 鑽石 242 油酸 1.46 熔融的石英 146 水(20°C) 石英結晶 1.54 四、相對折射率 光線由第一種介質·進人第二種介質之折射率’稱為第二種介質對第一種介質之 sine 相對折射率。即n12=sm 五丶光路之可逆性 設η1與η21表示二種物質間第二介質相對第一介質之折射率’與第一介質對第」 介質之相對折射率。 則 6 n1= sin 6, 61

1 i r 幾何光學 ─ 光之折射 折射與司乃耳定律 一、折射現象： 1.光從一物質進入另一物質改變進行方向之現象稱光的折射。因為光自一物質進入他 物質時其速度改變故生折射。 2.實例：銅幣在水中似乎浮起，米尺在水中似乎彎曲。 入射線 法線 二、折射定律： 1.第一定律：入射線、折射線及界面的法線，均在同一平面上。 2.第二定律：入射角的正弦和折射角的正弦比是一定值。 註：有某些晶體，其入射線、折射線和界面的法線，可能不在 折射線 同一平面上。(雙折射現象) 3.第二定律又稱為司乃耳定律(Snell's law)可寫成 n r i = sin sin 入射角的正弦和折射角的正弦比稱為折射率。 三、絕對折射率： 光線由真空(大略言之由空氣)進入某種介質所生之折射率，稱為該介質的絕對折射 率。絕對折射率恒大於１，即 n≧１。 物 質 絕對折射率 物 質 絕對折射率 空氣(1atm、0 oC) 1.0003 甘 油 1.47 玻 璃 1.5~1.9 酒 精 1.36 鑽 石 2.42 油 酸 1.46 熔融的石英 1.46 水(20oC) 1.33 石英結晶 1.54 四、相對折射率： 光線由第一種介質，進入第二種介質之折射率，稱為第二種介質對第一種介質之 相對折射率。即 2 1 12   sin sin n = 五、光路之可逆性： 設 n12 與 n21 表示二種物質間第二介質相對第一介質之折射率，與第一介質對第二 介質之相對折射率。 則 2 1 12 sin sin   n = 1 2 21 sin sin   n = 故 21 12 1 n n =

六丶相對折射率與絕對折射率的關係 若nm為光由空氣進入介質m之折射率,θm為折射角,则 sin d a=nmin 6m k sin 0 a=nisin 01, sin 6 a=n2sin 0 2 nisin 01=nisin 0 2 而 61n2 即m12 62n1 七、多層平行界面之折射 n2 nisin 01= n2sin 6 2= n3sin 63= n4sin 04 八丶折射率與光速 1.如圖所示,兩平行光線中’A、B為兩對應點 當A已達第二介質時,B仍在第一介質中 B介質1 若Ⅵ及Ⅵ各表兩種介質中光的速度,則經t秒 後,A傳至C,B傳至D。若光在第二介質中 D介个質2 速度較慢’則AC較BD為短,但兩者所需時間 相等。故AC=vtBD=vt SIn r= 得 Sin I BD Vt v1 n, v2 n1 2光在兩種介質中’傳光較速的介質稱光疏介質’較慢者稱光密介質·光疏及光密與 物質之疏密無關 3光由光疏進人光密介質(Ⅵ>v)折射角小於人射角·折射線靠近法線,反之由光密 至光疏介質·折射魚大於人射角’折射線必遠離法線 4.折射率之大小,不但隨兩介質之不同而異,亦隨其光波波長之不同而異。波長較長 頻率較小之紅光對介質之折射率較小’故紅光在介質中之速率較紫光為大 折射率也常影響介質表面反射之光量大小,設介質表面之反射像數為R則 註∶(a)若第一介質為真空’而第二介質為某介質時’則η為某介質相對於真空的折射 率,亦即某介質的絕對折射率n,故n=n12,而在真空中光速最大,常以C表 之,故一介質的絕對折射率 n=C(真空中的光速)(介質中的光速) (b)按(a)之定義’真空的絕對折射率為1;空氣的絕對折射率在一大氣壓及室溫情 形下約為1.0003·幾近於1;故在一般光學計算中即可將在空氣中行進的光速, 看成為光在真空中行進的光速

2 六、相對折射率與絕對折射率的關係： 若 nm 為光由空氣進入介質 m 之折射率，θm 為折射角，則 sinθa＝nmsinθm 因 sinθa＝n1sinθ1 ； sinθa＝n2sinθ2 ∴n1sinθ1＝n2sinθ2 而 1 2 2 1 12 sin sin n n n = =   ；即 1 2 12 n n n = 七、多層平行界面之折射： n1 n2 n3 n1sinθ1= n2sinθ2= n3sinθ3= n4sinθ4 n4 八、折射率與光速： 1.如圖所示，兩平行光線中，A、B 為兩對應點 ，當 A 已達第二介質時，B 仍在第一介質中。 i B 介質 1 若 v1 及 v2 各表兩種介質中光的速度，則經 t 秒 n1 後，A 傳至 C，B 傳至 D。若光在第二介質中 n2 A D 介質 2 速度較慢，則 AC 較 BD 為短，但兩者所需時間 r C 相等。故 AC＝v2t BD＝v1t 而 AD AC r AD BD sin i = sin = 得 12 1 2 2 1 2 1 sin sin n n n v v v t v t AC BD r i = = = = = 2.光在兩種介質中，傳光較速的介質稱光疏介質，較慢者稱光密介質，光疏及光密與 物質之疏密無關。 3.光由光疏進入光密介質(v1＞v2)折射角小於入射角，折射線靠近法線，反之由光密 至光疏介質，折射角大於入射角，折射線必遠離法線。 4.折射率之大小，不但隨兩介質之不同而異，亦隨其光波波長之不同而異。波長較長 頻率較小之紅光對介質之折射率較小，故紅光在介質中之速率較紫光為大。 折射率也常影響介質表面反射之光量大小，設介質表面之反射係數為Ｒ則 註：(a)若第一介質為真空，而第二介質為某介質時，則 n12 為某介質相對於真空的折射 率，亦即某介質的絕對折射率 n，故 n＝n12，而在真空中光速最大，常以 C 表 之，故一介質的絕對折射率 n=C(真空中的光速)/v(介質中的光速) (b)按(a)之定義，真空的絕對折射率為 1；空氣的絕對折射率在一大氣壓及室溫情 形下約為 1.0003，幾近於 1；故在一般光學計算中即可將在空氣中行進的光速， 看成為光在真空中行進的光速

全反射 全反射 光自光密介質(n2)進人光疏介質(n1)畤’折射線n1 偏離法線’即θ2>θ1,如圖故當人射角增加 到某一角度時(θc),折射角為90°,人射角再 增加’光線不再折射而全部反射 法線 臨界角 n2 折射線 光自光密介質進人光疏介質時’當折射角為90時 n1 之人射角稱為臨界角,如圖之θc。 ed 由公式 nisin e1= nisin e2 人射線 反射線 nsin6c=n2sn90° 0=sin n2 = SIn n H1 全反射之條件 1.光由光密介質進入光疏介質。 2.人射角大於臨界角。 四、討論: 1.通常說明某介質的臨界角’指對真空而言。因已之物質的臨界角以鑽石為最小 最易於全反射,故成燦爛發光。 2折射率為n的介質臨界角為6c=sm1 3.事實上,當光自一介質射至另一個介質時,有一部份透過,有一部份光反射,這兩 部份光的強度則和介質性質及入射角大小都有關像·所以全反射現象並不是突然發 生的·在玻璃對空氣的界面’當人射闰增大時·反射光的強度増加·而折射光的強 度減少’在人射角超過臨界角後’所有的人射光線全部反射而回,不生折射。 4.「光纖管」為全反射現象的一個極重要的應用,係一透明細絲管其與外圍界質的相 對折射率大於1·光從一端射人,在管的內面經連續多幾乎不損其強度的全反射 由管的他端射岀如醫學診斷的各種內視鏡及光纖通訊等 5.海市蜃樓( Mirage)的原因 (1)海邊奇景(正立虛像於空中) 因海水比熱很大’日間受太陽照射,溫度不易改變,致使愈近海面的空氣溫度愈 低·密度愈大’折射率愈大,故下層空氟為光密介質而上層空氣為光疏介質,使 得遠方低處射來的光線經層層空氟的連續折射’一在地由光密介質進人光疏介質 而偏離法線’至人射角大於臨界魚後終於產生全反射而向下彎曲 (2沙漠幻影(倒立虛像於原物下方) 沙漠地帶’因沙之比熱小·日間受太陽照射溫度易升高’致使地面附近之空氣溫 度較上空高·密度丶折射率遂較高玍小’故當遠方高處之物體射出之光線接近地 面時(相當於由光密介質射向光疏介質)·其行經路徑類似(1)之原理·經多次折射 及一次全反射之作用而向上彎曲

3 θ2 θ1 全反射 一、全反射： n2 光自光密介質(n2)進入光疏介質(n1)時，折射線 n1 偏離法線，即θ2＞θ1，如圖。故當入射角增加 到某一角度時(θC)，折射角為 90o ，入射角再 增加，光線不再折射而全部反射。 法線 二、臨界角： n2 折射線 光自光密介質進入光疏介質時，當折射角為 90o 時 n1 之入射角稱為臨界角，如圖之θC。 θC 由公式 n1sinθ1＝n2sinθ2 入射線 反射線 n1sinθC＝n2sin90o ∴ 12 1 1 1 2 sin sin n n n c − −  = = 三、全反射之條件： 1.光由光密介質進入光疏介質。 2.入射角大於臨界角。 四、討論： 1.通常說明某介質的臨界角，係指對真空而言。因已之物質的臨界角以鑽石為最小， 最易於全反射，故成燦爛發光。 2.折射率為 n 的介質臨界角為 θC＝sin -1 n 1 3.事實上，當光自一介質射至另一個介質時，有一部份透過，有一部份光反射，這兩 部份光的強度則和介質性質及入射角大小都有關係，所以全反射現象並不是突然發 生的，在玻璃對空氣的界面，當入射角增大時，反射光的強度增加，而折射光的強 度減少，在入射角超過臨界角後，所有的入射光線全部反射而回，不生折射。 4.「光纖管」為全反射現象的一個極重要的應用，係一透明細絲管，其與外圍界質的相 對折射率大於 1，光從一端射入，在管的內面經連續多次幾乎不損其強度的全反射， 由管的他端射出。如醫學診斷的各種內視鏡及光纖通訊等。 5.海市蜃樓(Mirage)的原因： (1)海邊奇景(正立虛像於空中)： 因海水比熱很大，日間受太陽照射，溫度不易改變，致使愈近海面的空氣溫度愈 低，密度愈大，折射率愈大，故下層空氣為光密介質而上層空氣為光疏介質，使 得遠方低處射來的光線經層層空氣的連續折射，一在地由光密介質進入光疏介質 而偏離法線，至入射角大於臨界角後終於產生全反射而向下彎曲。 (2)沙漠幻影(倒立虛像於原物下方)： 沙漠地帶，因沙之比熱小，日間受太陽照射溫度易升高，致使地面附近之空氣溫 度較上空高，密度、折射率遂較高空小，故當遠方高處之物體射出之光線接近地 面時(相當於由光密介質射向光疏介質)，其行經路徑類似 (1)之原理，經多次折射 及一次全反射之作用而向上彎曲

兩介質的平界面之折射成像 物體由第一介質中發出光經平界面產生折射現象 n2 而由第二介質中觀察第一介質之位置已經改變。 n1 所見者為虛像,如圖。A物成虛像於B·AO為 B 實深(p·物距),BO為視深(q’像距)。當:θ1 與θ2很小時,則 snb_OC/ACBC、BO_q n1 sin 82 OC /BC AC A0 p 即q(硯深)=-p(實深川12(光線由介質1進入介質2,觀測者在介質2。 1.若由光疏介質中觀看光密介質中景物時n11·像之視深較滐·q> 三、若有m層折射率不同之介質,其厚度分別為d1丶d2…dm而對應介質折射率為n1 n2…nm°則最底層物體之視深D為∶(觀測者所在介質之折射率為nx) D=dinx +d2n2x +.+dmnmx=edin 四丶由光疏介質看光密介質之光點’愈離法線方向觀察視深愈淺。 五丶視深隨光之顏色不同而變因各色光之折射率不同,紅光最小紫光最大,故在光疏 介質中觀測光密介質之視深’紫光最小’紅光最大’即紫光浮升較高·紅光浮升較 低 光經過平行板的折射 平行玻璃板的偏向位移 厚為d的平行透光板·光線自一面斜射而人,而由他面射出(如圖)·經兩折射,射 出光線與射入光線平行,但側移一距離D D=ABsin( 0i-Br) sin bicos br-cos eisin er cos Br 設n為透明板之折射率, 由 sin e i/sin er=n,故 cose D=dsin 0i(1 B

4 θi A B θ2 θ1 θr D 兩介質的平界面之折射成像 一、物體由第一介質中發出光經平界面產生折射現象 n2 O 而由第二介質中觀察第一介質之位置已經改變。 n1 C 所見者為虛像，如圖。A 物成虛像於 B，AO 為 B 實深(p，物距)，BO 為視深(q，像距)。當：θ1 與θ2 很小時，則 A p q AO BO AC BC OC BC OC AC n = = =  = / / sin sin 2 1 12   即 12 q(視深) = −p(實深)n (光線由介質 1 進入介質 2，觀測者在介質 2。) 二、1.若由光疏介質中觀看光密介質中景物時 n121，像之視深較深，q>p。 三、若有 m 層折射率不同之介質，其厚度分別為 d1、d2…dm 而對應介質折射率為 n1、 n2…nm。則最底層物體之視深 D 為：(觀測者所在介質之折射率為 nx) D = d n x + d n x + + dmnmx = dinix ... 1 1 2 2 四、由光疏介質看光密介質之光點，愈離法線方向觀察視深愈淺。 五、視深隨光之顏色不同而變，因各色光之折射率不同，紅光最小紫光最大，故在光疏 介質中觀測光密介質之視深，紫光最小，紅光最大，即紫光浮升較高，紅光浮升較 低。 光經過平行板的折射 平行玻璃板的偏向位移： 厚為 d 的平行透光板，光線自一面斜射而入，而由他面射出(如圖)，經兩次折射，射 出光線與射入光線平行，但側移一距離 D。 r i r i r i r d D AB        cos sin cos cos sin sin( ) − = = − 設 n 為透明板之折射率， 由 sinθi/sinθr＝n，故 n d ) sin cos sin (1 2 2 i i i n D d    − = −

三棱鏡的折射及偏向角 三稜鏡之折射 1.三稜鏡是改變光的進行方向之儀器。 2偏向角∶人射光線與出射光線之夾角稱為偏向角以δ表之。由圖可知氵 ∠2=r-B a+B=180°-∠3=∠A 故:d=∠1+∠2=i+r-(a+B) (A為頂角) F 最小偏向角 1最小偏向闰∶由理論或實驗可證明左右對稱的情況下·偏向角為最小即 i=r,a=B時δm為最小 2偏向角之大小隨頂角’人射於第一面光線的方向,及稜鏡的折射率而定折射率隨 不同顏色的光而有不同的數值 色散現象 色散 1.平行之日光光束·經三稜鏡折射後’因對玻璃折射率不同而分散成紅丶橙丶黃丶綠 藍丶紫等六色光譜的現象稱光之色散。由上薤討論偏向角δ之大小與折射率有關 紅光經稜鏡’偏向最小其折射率亦小’紫光最大,折射率亦大 2.如玻璃的折射率n為光波長λ的函數,且有如下關像 n(紫光)>n(藍色)>…>n(黃色)>n(紅色) 則偏向角δ的關為:δ(紫)>δ(藍)>…>δ(黃)>δ(紅) 白光 紅橙黃綠藍靛紫 A

5 2 β α r 紅 橙 黃 綠 藍 靛 紫 3 三稜鏡的折射及偏向角 一、三稜鏡之折射： 1.三稜鏡是改變光的進行方向之儀器。 2.偏向角：入射光線與出射光線之夾角稱為偏向角以δ表之。由圖可知： ∠1＝ｉ－α，∠2＝ｒ－β α＋β＝180o－∠3＝∠A 故： δ＝∠1＋∠2＝ｉ＋ｒ－(α＋β) ＝ｉ＋ｒ－A (A 為頂角) A E D 1 i F F B C 二、最小偏向角： 1.最小偏向角：由理論或實驗可證明左右對稱的情況下，偏向角為最小，即 ｉ＝ｒ，α＝β時δm 為最小。 2.偏向角之大小隨頂角，入射於第一面光線的方向，及稜鏡的折射率而定。折射率隨 不同顏色的光而有不同的數值。 色散現象 一、色散： 1.平行之日光光束，經三稜鏡折射後，因對玻璃折射率不同而分散成紅、橙、黃、綠、 藍、紫等六色光譜的現象稱光之色散。由上述討論偏向角δ之大小與折射率有關， 紅光經稜鏡，偏向最小其折射率亦小，紫光最大，折射率亦大。 2.如玻璃的折射率 n 為光波長λ的函數，且有如下關係 n(紫光)＞n(藍色)＞…＞n(黃色)＞n(紅色) 則偏向角δ的關係為： δ(紫)＞δ(藍)＞…＞δ(黃)＞δ(紅) B δ 白光 n A C

3折射率隨波長而不同·紅光波長最大’在玻璃中速度最快,偏向角最小·折射率最 小;紫光恰相反 4.色散度乃視折射率n和波長λ的函數關係而定。如下所示n一λ圖,若圖線為一水 平直線’即折射率與波長無關,則折射光將無色散。而n-λ圖中在可見光的範圍, 因η之值隨光波長的增加而遞減’其變率隨不同物質的性質而定’故有色散現象 不同物質之色散度亦不同 5鑽石的折射率n值·對不冋波長有較大的改變度如η-λ圖所示,故鑽石的色散作 用遠大於玻璃;它將人射的白光經折射後分散,產生光彩。 24354 2.4100 鑽石 2.0 冕玻璃 1.000279 10 空氣 0.5 35004000450050005500600065007000 λ(埃) 紫藍 黃紅 折射率n與光波長λ之關係圖 虹與霓 1原因∶陽光經浮游空中之小水滴(雲)射,折射及色散之綜合作用而產生 2虹∶陽光射入水滴’經兩次折射一次反射後產生色散,紫光偏向約為140°,紅光 偏向約為138°。故射出時紫光與日光方向成40°,紅光成420·故虹之紫色在 內,紅色在外。 3霓∶陽光射人水滴,經兩次折射兩次反射後·產生色散’紅光與日光成51°,紫光 與日光成540,故霓之紅色在內,紫色在外 註∶1霓虹同時岀現時·虹在內④40°紫~42°紅)顔色較濃·霓在外⑤51°紅~54紫)顏色 較淡 2.每人所見之虹之仰角相同,但因形成虹或霓的水滴都非常小,其直徑通常均在毫 米以下,故來自一個水滴的虹光只有一種顏色,即每人所見各種顏色,並非由同 水滴色散的結果·而像由許多水滴對人射的陽光色散後的集體現象 3對同一水滴’觀察者的位置若略加變動,則見到的虹光顏色應當不同·故各人所 見的虹並非同一條 4.虹所以成圓弧之原因為∶以眼為頂點’則和水平線成42°夾角之直線繞水平線為 軸作一圓錐’經面上之任何水滴射入人眼之光均為紅光,由人眼望去這些水滴排 列在一圓周上而成一紅色圈,同理可說明其他色圈,如下圖(b)所示

6 2.5- 2.0- 1.5- 1.0- 0.5- 0.0 3.折射率隨波長而不同，紅光波長最大，在玻璃中速度最快，偏向角最小，折射率最 小；紫光恰相反。 4.色散度乃視折射率 n 和波長λ的函數關係而定。如下所示 n－λ圖，若圖線為一水 平直線，即折射率與波長無關，則折射光將無色散。而 n－λ圖中在可見光的範圍， 因 n 之值隨光波長的增加而遞減，其變率隨不同物質的性質而定，故有色散現象， 不同物質之色散度亦不同。 5.鑽石的折射率ｎ值，對不同波長有較大的改變度如 n－λ圖所示，故鑽石的色散作 用遠大於玻璃；它將入射的白光經折射後分散，產生光彩。 n 2.4354 2.4100 鑽石 1.517 1.509 冕玻璃 1.000279 1.000276 空氣 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 λ(埃) 紫 藍 黃 紅 折射率 n 與光波長λ之關係圖 二、虹與霓： 1.原因：陽光經浮游空中之小水滴(雲)反射，折射及色散之綜合作用而產生。 2.虹：陽光射入水滴，經兩次折射一次反射後產生色散，紫光偏向約為 140o，紅光 偏向約為 138o。故射出時紫光與日光方向成 40o，紅光成 42o，故虹之紫色在 內，紅色在外。 3.霓：陽光射入水滴，經兩次折射兩次反射後，產生色散，紅光與日光成 51o，紫光 與日光成 54o，故霓之紅色在內，紫色在外。 註：1.霓虹同時出現時，虹在內(40o 紫～42o 紅)顏色較濃，霓在外(51o 紅～54o 紫)顏色 較淡。 2.每人所見之虹之仰角相同，但因形成虹或霓的水滴都非常小，其直徑通常均在毫 米以下，故來自一個水滴的虹光只有一種顏色，即每人所見各種顏色，並非由同 一水滴色散的結果，而係由許多水滴對入射的陽光色散後的集體現象。 3.對同一水滴，觀察者的位置若略加變動，則見到的虹光顏色應當不同，故各人所 見的虹並非同一條。 4.虹所以成圓弧之原因為：以眼為頂點，則和水平線成 42o 夾角之直線繞水平線為 軸作一圓錐，經面上之任何水滴射入人眼之光均為紅光，由人眼望去這些水滴排 列在一圓周上而成一紅色圈，同理可說明其他色圈，如下圖(b)所示

5虹之色圈的圓心即圖(b)中的O點]可看成是陽光照射到觀察者[圖(b)中的P點]在 觀察者另一方所形成的影子·因此當太陽對P點的仰角越大·則O點愈低’觀察 者所能看到的虹也就越少’此即人在地面所見者大約為半圓形的原因;而當太陽 仰角大於42°時’則地面上的觀察者即無法看到虹;相反的’如觀察者位置越高 所看到的虹越多,飛機上的乘客有時可看到全圓的虹’原因即在此。 球面透鏡 球面透鏡的成像 透鏡的意義∶利用折射作用以達到控制光線與引導光線目的之儀器。 透鏡的聚光原理∶光線透過不冋厚度的玻璃塊時’光會向厚的方向偏折 三丶透鏡的種類 1柱面透鏡∶由兩柱面相交而成’能將平行光線折射後’會聚成一直線。 2球面透鏡∶由兩球面相交而成’能將平行光線折射後’會聚成一點 (a)凸透鏡( onvex Lens)中心部分之厚度比周緣為厚。 (b)凹透鏡( Concave Lens)—中心部分之厚度比周緣為薄 雙凸 平凸 凹凸 雙 平凹 凸凹 (a)凸透鏡 (b)凹透鏡 四、透鏡各部份名稱 1.主軸(Axis):聯結兩個球面曲率中心的連線 2.主焦點F( Principal Foωus)—平行於透鏡軸的人射光柱經透鏡折射後焦聚或延長 交於軸上的一點 3光心(或鏡心)∶光線透過之後不生偏向之點。 4.焦平面:當一組平行光線射人透鏡’並不與主軸平行時’光經透鏡折射’亦會聚於 點’此等交會點所組成之面,稱為焦點面 ※焦平面與主軸垂直,其與主軸之交點即為主焦點 5孔徑∶透鏡面之直徑(鏡高)。 6:曲率半徑r( Radius of curvature):透鏡面至球心C的距離。 ※透鏡兩面的曲率半徑不一定相等。 7焦距f( Focal Distance):從透鏡的中心到主焦點的距離。 ※如果透鏡的厚度與其焦距比較算是很薄時·則不管光線是從透鏡的那一面人射 其焦距常是相等 五丶薄透鏡(吼孔徑角極小的透鏡一→減少像差)的成像公式 設薄透鏡之兩球面的曲率半徑分別為η與·折射率為η·而透鏡周圍介質之折 射率為η1·則一物體置於η介質中經遹鏡折射成像’可視為由兩個球界面折射成 像之組合

7 5.虹之色圈的圓心[即圖(b)中的 O 點]可看成是陽光照射到觀察者[圖(b)中的 P 點]在 觀察者另一方所形成的影子，因此當太陽對 P 點的仰角越大，則 O 點愈低，觀察 者所能看到的虹也就越少，此即人在地面所見者大約為半圓形的原因；而當太陽 仰角大於 42o 時，則地面上的觀察者即無法看到虹；相反的，如觀察者位置越高， 所看到的虹越多，飛機上的乘客有時可看到全圓的虹，原因即在此。 球面透鏡 球面透鏡的成像 一、透鏡的意義：利用折射作用以達到控制光線與引導光線目的之儀器。 二、透鏡的聚光原理：光線透過不同厚度的玻璃塊時，光會向厚的方向偏折。 三、透鏡的種類： 1.柱面透鏡：由兩柱面相交而成，能將平行光線折射後，會聚成一直線。 2.球面透鏡：由兩球面相交而成，能將平行光線折射後，會聚成一點。 (a)凸透鏡(Convex Lens)──中心部分之厚度比周緣為厚。 (b)凹透鏡(Concave Lens)──中心部分之厚度比周緣為薄。 雙凸 平凸 凹凸 雙凹 平凹 凸凹 (a)凸透鏡 (b)凹透鏡 四、透鏡各部份名稱： 1.主軸(Axis)：聯結兩個球面曲率中心的連線。 2.主焦點 F(Principal Focus)──平行於透鏡軸的入射光柱經透鏡折射後焦聚或延長 交於軸上的一點。 3.光心(或鏡心)：光線透過之後不生偏向之點。 4.焦平面：當一組平行光線射入透鏡，並不與主軸平行時，光經透鏡折射，亦會聚於 一點，此等交會點所組成之面，稱為焦點面。 ※焦平面與主軸垂直，其與主軸之交點即為主焦點。 5.孔徑：透鏡面之直徑(鏡高)。 6.曲率半徑 r(Radius of Curvature)：透鏡面至球心 C 的距離。 ※透鏡兩面的曲率半徑不一定相等。 7.焦距 f(Focal Distance)：從透鏡的中心到主焦點的距離。 ※如果透鏡的厚度與其焦距比較算是很薄時，則不管光線是從透鏡的那一面入射， 其焦距常是相等。 五、薄透鏡(孔徑角極小的透鏡─→減少像差)的成像公式： 設薄透鏡之兩球面的曲率半徑分別為 r1 與 r2，折射率為 n2，而透鏡周圍介質之折 射率為 n1，則一物體置於 n1 介質中經透鏡折射成像，可視為由兩個球界面折射成 像之組合

1.造鏡者公式( Lens makers formula) =(n12-1) (1)曲率半徑r之值:當球面外凸者「為正,內凹者為負,平者為∞ (2】對凸透鏡而言:(1+1)>0,且對凹透鏡而言:(1+1)1)周圍介質為空氣(η1=1)膊·則因η12>1·故凸透鏡的焦距 f>0’為會聚透鏡;凹透鏡的焦距f1·即透鏡四周介質為光疏介質(η1η2)時’則凸透鏡為發散透鏡;凹透鏡為 會聚透鏡。 2,薄透鏡的焦距f可由下二法之一定義之 ()為像距無限遠時的物距’即q∞時的ρ=f。此時物體在主軸上的位置’稱為 第一交點F1(亦稱物焦點),見圖 (2)f為物距無限大時的像距·即ρ→∞時的q=f。此時物體在主軸上的位置稱為第 焦點F2(亦稱像焦點),見圖。 3成像公式 (1)牛頓式:SoS;=f2 D (2)高斯式:1=1+1 物焦距So:物至物焦點之距離 Hi 像焦距Si:像至像焦點之距離 物長:H 像長:Hi 物距p:物至鏡頂之距離 像距q∶像至鏡頂之距離 横向放大率:m==S=f=S+/=旦 4符號法則 (1)焦距f∶由造鏡者公式決定丶會聚鏡為正’發散鏡為負。 2物距p:鏡前實物取正’鏡後虛物取負。 (3)像距q∶鏡後實像取正·鏡前虛像取負 六丶薄透鏡的組合(Thin- lens Combination) 焦距分別為f的兩薄透鏡L1與L2·同軸而立’一物置於L1前主軸上,距L1為 P1,兩鏡相距d。 1物體經第一透鏡所成之像可視為第二透鏡的物體·再對第二透鏡成像。 (1)若第一透鏡所成之像為實像(像距q1>0)·則

8 A F1 O Ho F2 A' Hi E B' 1.造鏡者公式(Lens Maker's Formula)： ) 1 1 ( 1)( 1 1 2 12 r r n f = − + (1)曲率半徑 r 之值：當球面外凸者 r 為正，內凹者為負，平者為∞。 (2)對凸透鏡而言： ) 1 1 ( 1 2 r r + ＞０，且對凹透鏡而言： ) 1 1 ( 1 2 r r + ＜０ (A)當透鏡(n2＞１)周圍介質為空氣(n1＝１)時，則因 n12＞１，故凸透鏡的焦距 f＞０，為會聚透鏡；凹透鏡的焦距 f＜０，為發散透鏡。 (B)當 n12＞１，即透鏡四周介質為光疏介質(n1＜n2)時，則凸透鏡仍然為會聚透鏡， 而凹透鏡則為發散透鏡。 (C)當 n12＜１，及透鏡周圍為光密介質(n1＞n2)時，則凸透鏡為發散透鏡；凹透鏡為 會聚透鏡。 2.薄透鏡的焦距 f 可由下述二法之一定義之： (1)f 為像距無限遠時的物距，即 q→∞時的 p＝f。此時物體在主軸上的位置，稱為 第一交點 F1(亦稱物焦點)，見圖。 (2)f 為物距無限大時的像距，即 p→∞時的 q＝f。此時物體在主軸上的位置稱為第 二焦點Ｆ２(亦稱像焦點)，見圖。 3.成像公式： (1)牛頓式：SoSi＝f 2 B p D q (2)高斯式： f p q 1 1 1 = + 物焦距 So：物至物焦點之距離 像焦距 Si：像至像焦點之距離 物長：Ho So f f Si 像長：H i 物距ｐ：物至鏡頂之距離 像距ｑ：像至鏡頂之距離 (3)橫向放大率： p q f S S f S f f S H H m o i o i o i = + + = = = = 4.符號法則： (1)焦距 f：由造鏡者公式決定、會聚鏡為正，發散鏡為負。 (2)物距 p：鏡前實物取正，鏡後虛物取負。 (3)像距 q：鏡後實像取正，鏡前虛像取負。 六、薄透鏡的組合(Thin－lens Combination)： 焦距分別為 f1，f2 的兩薄透鏡 L1 與 L2，同軸而立，一物置於 L1 前主軸上，距 L1 為 P1，兩鏡相距 d。 1.物體經第一透鏡所成之像可視為第二透鏡的物體，再對第二透鏡成像。 (1)若第一透鏡所成之像為實像(像距 q1＞0)，則

(A)位在第二透鏡前’可視為實物’其物距p2取正(2=d-q1>0) (B)位在第二透鏡後’可視為虛物·其物距p2取負(2=d-q10)。 2成像位置 第一次成像 求出像距 Pi q1 第二成像:2+=五=a-9+9=→求出像距 3放大率:m=mxm2=里x2 PI p2 【注意】組合透鏡或面鏡’其像的性質討論如下 1.像的虛實由最後像距q2的符號決定 (1)q2>0為實像 (2)q20為正立(2)m<0為倒立。 作園法 成像作圖∶由以下三條光線任選兩條便可決定像的位置 1.凸透鏡∶圖(A)所示。 1)平行主軸人射光線’經透鏡折射後必通過異側焦點(像焦點) 2)通過光心之人射光線,經透鏡折射後其方向不變(即側位移=0) (3)通過焦點(物焦點)之人射線·經透鏡折射後’其折射線必平行主軸 2凹透鏡:圖(B)所示 (1)平行主軸廴射光線·經透鏡折射後·似由同側虛焦點(像焦點)射出 (2)通過光心之人射光線’經透鏡折射後其方向不變(即側位移=0 (3)射冋鏡後焦點(物焦點)之廴射線·經透鏡折射後·其折射線必平行主軸 【注】利用薄透鏡成像,通常以!表薄凸透鏡,而以〔表薄凹透鏡。 2) (圖A (圖B)

9 (3) F2 A' B' (A)位在第二透鏡前，可視為實物，其物距 p2 取正(p2＝d－q1＞0)。 (B)位在第二透鏡後，可視為虛物，其物距 p2 取負(p2＝d－q1＜0)。 (2)若第一透鏡所成之像為虛像(像距 q1＜0)，則恆位於第二透鏡前，可視為實物， 其物距 p2 取正(p2＝d－q1＞0)。 2.成像位置： 第一次成像： 1 1 1 1 1 1 1 q p q f + =  求出像距 。 第二次成像： 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 q p q f d q q f + =  求出像距 − + =  。 3.放大率： 2 2 1 1 1 2 p q p q m = m  m =  【注意】組合透鏡或面鏡，其像的性質討論如下： 1.像的虛實由最後像距 q2 的符號決定： (1)q2＞0 為實像 (2)q2＜0 為虛像。 2.像的正立或倒立，由組合透鏡的放大率乘積的符號來決定： m＝m1×m2 → (1)m＞0 為正立 (2)m＜0 為倒立。 作圖法 一、成像作圖：由以下三條光線任選兩條便可決定像的位置。 1.凸透鏡：圖(A)所示。 (1)平行主軸入射光線，經透鏡折射後必通過異側焦點(像焦點)。 (2)通過光心之入射光線，經透鏡折射後其方向不變(即側位移＝0) (3)通過焦點(物焦點)之入射線，經透鏡折射後，其折射線必平行主軸。 2.凹透鏡：圖(B)所示。 (1)平行主軸入射光線，經透鏡折射後，似由同側虛焦點(像焦點)射出。 (2)通過光心之入射光線，經透鏡折射後其方向不變(即側位移＝0) (3)射向鏡後焦點(物焦點)之入射線，經透鏡折射後，其折射線必平行主軸。 【註】利用薄透鏡成像，通常以 表薄凸透鏡，而以 I 表薄凹透鏡。 B (1) B (1) (3) (2) (2) A F1 A F2 A' F1 B' (圖Ａ) (圖 B)

透鏡成像之性質 像之 虛正與物像物移動 物之 性質 像之位置 大小速率 鏡別\位置 實倒比較|之比較 無窮遠處 另側焦平面上實 點|物速>像速 凸|2二倍焦距外 另側F與2f間實倒較小 3.二倍焦距上 另側2f上 實|倒相等物速=像速 透A焦點與二倍焦距間 另側2千外 實倒較大物速像速 鏡阝3透鏡前向鏡頂漸近 鏡前移近鏡頂虛|正亻較小 則定成像的位置 1觀察者的位置必定與物異側(無論觀察實像或虛像)。 2測定實像位置的方法∶(1)視差法(2)視線交叉法(3)映像法 3測定虛像位置的方法:(1)視差法(2)視線交叉法 四丶共軛成像∶凸透鏡與凹面鏡所成實像位置與物交換’其成像位置亦互換。其 放大率互為倒數(令p=q且q=p→1+1=1+1= p g p q ※共軛點∶實物與實像可以互換之兩點。 實物 倒立縮小實像 實物 F 倒立等大實像

10 二、透鏡成像之性質： 像之 物之 性質 鏡別 位置 像之位置 虛 實 正 倒 與物 大小 比較 像物移動 速率 之比較 凸 透 鏡 1.無窮遠處 另側焦平面上 實 一點 物速＞像速 2.二倍焦距外 另側 F 與 2f 間 實 倒 較小 3.二倍焦距上 另側 2f 上 實 倒 相等 物速＝像速 4.焦點與二倍焦距間 另側 2f 外 實 倒 較大 物速＜像速 5.焦平面上 無窮遠 6.焦點內 鏡前(與物同側) 虛 正 較大 物速＜像速 凹 透 鏡 1.無窮遠處 焦平面上 虛 一點 2.透鏡前 鏡後(與物同側) 虛 正 較小 物速＞像速 3.透鏡前向鏡頂漸近 鏡前移近鏡頂 虛 正 較小 三、測定成像的位置： 1.觀察者的位置必定與物異側(無論觀察實像或虛像)。 2.測定實像位置的方法：(1)視差法 (2)視線交叉法 (3)映像法。 3.測定虛像位置的方法：(1)視差法 (2)視線交叉法。 四、共軛成像：凸透鏡與凹面鏡所成實像位置與物交換，其成像位置亦互換。其 放大率互為倒數。(令 p'＝q 且 q'＝p → p q p q f 1 ' 1 ' 1 1 1 + = + = ) ※ 共軛點：實物與實像可以互換之兩點。 (a) 實物 F2 F1 倒立縮小實像 (b) 實物 F2 F1 倒立等大實像