第九章非正弦周期电流电路 9-1非正弦周期电流及电压 定义:随时间按非正弦规律周期变化的电流或电压。 分类: 1)偶函数:f(t)=f(-t) f(t) 2)奇函数:f(t)=-f(-t) 3)奇谐函数f(t)=-f(t± 4)偶谐函数 f(t)=f(t士 0T/2 跳转到第一页
跳转到第一页 1 第九章 非正弦周期电流电路 9-1 非正弦周期电流及电压 定义：随时间按非正弦规律周期变化的电流或电压。 分类： 1）偶函数:f(t)=f(-t) 4）偶谐函数 2）奇函数:f(t)=-f(-t) 3）奇谐函数 ) 2 T f(t) = f(t ) 2 T f(t) = −f(t
92非正弦周期函数傅立叶级数展开式 、傅立叶级数展开式: 若非正弦函数f(t)=f(tnT且满足狄氏条件则 f(t)=a0+2(a, cosn S2t+bn sin nOt) =A+∑ Am coS(net+q2) 其中: T/2 T/2 「f()h f(tsin nQ2tdt T/2 T/2 T/2 a.2+b2 f(tcos nQ2tdt mn P=-arctan T/2 跳转到第一页
跳转到第一页 2 9-2 非正弦周期函数傅立叶级数展开式 一、傅立叶级数展开式： 若非正弦函数 f(t)=f(tnT),且满足狄氏条件,则: 其中: ( ) ( cos sin ) 1 0 f t a a n t b n t n n = + n + = − = / 2 / 2 0 ( ) 1 T T f t dt T a − = / 2 / 2 ( )cos 2 T T n f t n tdt T a − = / 2 / 2 ( )sin 2 T T n f t n tdt T b A A cos(n t ) n n 1 = 0 + mn + = 2 n 2 Amn = an + b n n n a b = −arctan
讨论:f(t)=A+∑A n-1m cos(nQ2t+(n 1)A0=a0—常量,与频率无关(直流分量、零频分量) 2) Acos(nΩtq)正弦量,与n有关(谐波分量) 3)谐波分类: 0-c0 直流分量 An1cos(2+qp1)基波分量=g2 Am2cos(292t+q2)二次谐波O=22 m3cos(32t+93)三次谐波O=32高奇次谐波 次 谐偶次谐 A cOS(k9t+φk)k次谐波=k)波波 3 跳转到第一页
跳转到第一页 3 讨论： f(t) A A cos(n t ) n n 1 = 0 + mn + = 1）A0=a0 ——常量，与频率无关（直流分量、零频分量） 2）Ancos(nt+0 )——正弦量，与n有关（谐波分量） 3）谐波分类： 奇次谐波 直流分量 A cos( t ) m1 +1 A0=a0 基波分量 A cos(2 t ) m2 +2 A cos(3 t ) m3 +3 A cos(k t ) mk + k 二次谐波 三次谐波 k次谐波 高 次 谐 波 = = 2 = 3 = k 偶次谐 波
4)函数对称性与谐波的成份 f(t) f(0=ao+2(a, cosn 2t+b, sin ns2y =Ao+∑ A COS(n2t+q 讨论: 0T/2T T/2 偶函数无奇函数分量b=0 f(t)cos n tdt T 奇函数无偶函数分量an=0 0 4 T/2 f(t)sin nQ2tdt 奇谐函数:无偶次谐波a=b=0 偶谐函数:无奇次谐浪0=0≌a 2k 5)周期函数可分解为偶函数f与奇函数f()之和 f。(t) f(t)+f(-t) f(t)-f(t) 跳转到第一
跳转到第一页 4 讨论： 偶谐函数：无奇次谐波 奇谐函数：无偶次谐波 A A cos(n t ) n n 1 = 0 + mn + = 奇函数:无偶函数分量 偶函数:无奇函数分量 4）函数对称性与谐波的成份 ( ) ( cos sin ) 1 0 f t a a n t b n t n n = + n + = = T/ 2 0 n f(t) cos n tdt T 4 bn = 0 a = T/ 2 0 n f(t)sin n tdt T 4 b a n = 0 a 2k = b2k = 0 a2k+1 = b2k+1 = 0 A2k = 0 A2k+1 = 0 5）周期函数可分解为偶函数fe (t)与奇函数fo (t)之和 2 f(t) f( t) f (t) e + − = 2 f(t) f( t) f (t) o − − =
例:图示电压中,T=2兀,求u(t)傅立叶级数展开式。 u(t) 2U u2(t) t 0T/2T T/2 解 U ue(t) u(t)+u( a.=0n≠ u(t)= (t)-u(-t) 6- 407 0T/2 40 u(t)=Um+ (sin Q2t+sin 3St +=sin 5Q2t+.) 跳转到第一页
跳转到第一页 5 例：图示电压中，T=2，求u(t)傅立叶级数展开式。 0 0 Um A = a = a = 0(n 0) n n U b m n 4 = sin 5 ) 5 1 sin 3 3 1 (sin 4 ( ) = + t + t + t + U u t U m m 2 u(t) u( t) u (t) e + − = 2 u(t) u( t) u (t) o − − = 解：
9-3非正弦周期电量的有效值 定义: 若非正弦电量it)=i(tnT,u(t)=u(tnT)则有效值为: i(t)at u(tat 二、计算: 1)按定义计算; 2)按傅立叶系数计算 2 i(t)=Io+2Im cos(nQ2t +Pin)I 0+ ∑ 2+∑ u(t)=Uo+2Um cos(n@2t+(un) U=,|U U 2 +∑U 6 跳转到第一页
跳转到第一页 6 9-3 非正弦周期电量的有效值 一、定义： 若非正弦电量 i(t)=i(tnT), u(t)=u(tnT) 则有效值为: 二、计算： 1）按定义计算； 2）按傅立叶系数计算： = T i t dt T I 0 2 ( ) 1 = T u t dt T U 0 2 ( ) 1 = = + n 1 2 mn 2 0 I 2 1 I I = = + n 1 2 mn 2 0 U 2 1 U U = = + 1 2 2 0 n n I I = = + 1 2 2 0 n U Un i(t) I I cos(n t ) i n n 1 = 0 + mn + = u(t) U U cos(n t ) u n n 1 = 0 + mn + =
例:图示电压中.T=2π.求ut有效值 u(t) 2Um t T/2 T 解:v(1)=Un+m(sng2t+sin3t+sn52t+…) 5 2 4Un、1,111 +-+-+ 兀232 )=√2U n 或U TJo u(tdt (2Um.dt 0 跳转到第一页
跳转到第一页 7 例： 图示电压中，T=2，求u(t)有效值。 解： = = + 1 2 2 0 2 1 n U U Unm Um = 2 = T u t dt T U 0 2 ( ) 1 或 ) 7 1 5 1 3 1 (1 2 1 ) 4 ( 2 2 2 = 2 + 2 + + + m m U U sin 5 ) 5 1 sin 3 3 1 (sin 4 ( ) = + t + t + t + U u t U m m = 2 0 2 (2 ) 1 T Um dt T Um = 2
三、说明: 1)对于f(t)各次谐波有: 或 2)对于f()仅有有效值; 3)对于非正弦电量()和u(t): 直流分量,可用磁电式指针仪表测量 有效值,可用电磁或电动式指针仪表测量; I。,Ua平均值,可用全波整流磁电式指针仪表测量。 跳转到第一页
跳转到第一页 8 三、说明： 1）对于f(t)各次谐波有： 2 nm n I I = nm n 或 I = 2I 2）对于f(t)仅有有效值； 3）对于非正弦电量i(t)和u(t)： I0,U0——直流分量，可用磁电式指针仪表测量； I,U —— 有效值，可用电磁或电动式指针仪表测量； Iav,Uav——平均值，可用全波整流磁电式指针仪表测量
9-4非正弦周期电流电路计算 般步骤: 1)将激励为非正弦周期函数展开为傅立叶级数: f(t)=Ao+>Amm cos(nS2t+Pn) 2)将激励分解为直流分量和无穷多个不同频率的 正弦激励分量; 3)求各激励分量单独作用时的响应分量: (1)直流分量作用:直流分析(C开路,L短路)求Y0 (2)基波分量作用:0=g(正弦稳态分析)求有y1; (3)二次谐波分量作用:0=2g2(正弦稳态分析)求有y2 (4)时域叠加:y(t)=Y+y1+y2+y3+y4+ 跳转到第一页
跳转到第一页 9 9-4 非正弦周期电流电路计算 一、一般步骤： 1） 将激励为非正弦周期函数展开为傅立叶级数： 3） 求各激励分量单独作用时的响应分量： (1) 直流分量作用：直流分析（C开路，L短路）求Y0 ; （2）基波分量作用：= （正弦稳态分析）求有y1 ; （3）二次谐波分量作用：=2 （正弦稳态分析）求有y2 ; ……………… ( ) cos( ) 1 0 n n n m f t = A +A nt + = 2） 将激励分解为直流分量和无穷多个不同频率的 正弦激励分量； (4) 时域叠加：y(t)= Y0 + y1 + y2 + y3 + y4 + ……
i=1426c0s(ot+86°)+6cos(ot+45°)+0.39c0(0t-61°)A 例1:图示电路中u()=40+180c0s0+60c0(30+45°) +20cos(5+18)=50Hz,求i(t和电流有效值 3次谐波作用:(3)=6c0s(301+459) 解:直流分量作用:=0 i(t)10 基波分量作用:;()=1426c0s(o+869)A 0.05H 22.5F 5次谐波作用:t3=0.39c0s(501-619)A 10g 由叠加定理,有:i=i0)+1()+i3)+i5 R 电流有效值为: j78.5 1=V/+1+1s2=43/ C -j28.3 转到二贝
跳转到第一页 10 二、举例分析： 例1： 图示电路中 + 20cos(5t +18) u (t) = 40 +180cos t + 60cos(3 t + 45) s ,f=50Hz，求i(t)和电流有效值I。 解：直流分量作用： 基波分量作用： 0 (0) i = i 1.426cos( t 86 )A (1) = + = + − = • • 86 2 1.426 ) 1 ( (1) (1) C R j L U I s 3次谐波作用： = + − = • • 45 2 6 ) 3 1 (3 (3) (3) C R j L U I s i 6cos(3 t 45 )A (3) = + i 0.39cos(5 t 61 )A (5) 5次谐波作用： = − = − + − = • • 61 2 0.39 ) 5 1 (5 (5) (5) C R j L U I s 由叠加定理，有： (0) (1) (3) (5) i = i +i +i +i i =1.426cos(t +86) + 6cos(t + 45) + 0.39cos(t −61)A 电流有效值为： 2 (5) 2 (3) 2 (1) 2 (0) I = I + I + I + I = 4.37A