四、测试系统的动态特性 (一)线性系统的数学描述; (二)用传递函数或频率响应函数描述系统的 传递特性 (三)测试系统对典型激励的响应函数 (四)测试系统对任意输入的响应 (五)测试系统特性参数的实验测定;
四、测试系统的动态特性 （一）线性系统的数学描述； （二）用传递函数或频率响应函数描述系统的 传递特性 ； （三）测试系统对典型激励的响应函数； （四）测试系统对任意输入的响应 ； （五）测试系统特性参数的实验测定；
测试技术(6) 王伯雄
测试技术(6) 王伯雄
)线性系统的数学描述 动态测量中,测试装置或系统本身应该是一个 线性的系统 我们仅能对线性系统作比较完善的数学处理; 在动态测试中作非线性校正还比较困难 线性系统的输入—输出之间的关系: 少ab dm-y() dy(t …+a dt dx b +…+b (2.144) dt x(t)为系统输入:y(t)为系统输出: Ana.ao, b2bo 为系统的系统的物理参数,若均为常数,方程便是 常系数微分方程,所描述的系统便是线性定常系统 或线性时不变系统
（一）线性系统的数学描述 动态测量中，测试装置或系统本身应该是一个 线性的系统 ： ➢ 我们仅能对线性系统作比较完善的数学处理 ； ➢ 在动态测试中作非线性校正还比较困难 。 线性系统的输入——输出之间的关系 ： x(t)为系统输入；y(t)为系统输出；An , …a0 ,bm, …b0 为系统的系统的物理参数，若均为常数，方程便是 常系数微分方程，所描述的系统便是线性定常系统 或线性时不变系统。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b x(t) dt dx t b dt d x t b dt d x t b a y t dt dy t a dt d y t a dt d y t a m m m m m m n n n n n n 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 = + + + + + + + + − − − − − − (2.144)
线性时不变系统的基本性质 叠加性 如有x1(t)→y1(t),x2(t)→y2(t):则有 X1(t)+x2(t)→y1(t)+y2(t。(2.145) ●比例性 如有x(t)→y(t,则对任意常数a,均有 ax(t)→ay(t) (2.146) 微分特性 如有x(t)→y(t,则有 dx(t)、dV( (2.147) ●积分特性 如有x(t)→y(,则当系统初始状态为零时,有 x()→y()h (2.148)
线性时不变系统的基本性质 ⚫ 叠加性 如有x1 (t) →y1 (t), x2 (t) →y2 (t);则有 x1 (t)+ x2 (t) →y1 (t)+ y2 (t)。 (2.145) ⚫ 比例性 如有x(t) →y(t),则对任意常数a，均有 ax(t) →ay(t) (2.146) ⚫ 微分特性 如有x(t) →y(t),则有 ⚫ 积分特性 如有x(t) →y(t),则当系统初始状态为零时，有 ( ) ( ) dt dy t dt dx t → (2.147) ( ) ( ) → t t x t dt y t dt 0 0 (2.148)
●频率保持性 如有x(t)→y(,若x(t)= Xoejot, 则y(t)=ygeo 证明:按比例性有 y (2,149) 其中,为某一已知频率 根据微分特性有 d 2.150 两式相加有 dt (2.151)
⚫ 频率保持性 如有x(t) →y(t)，若x(t)=x0e jωt , 则y(t)=y0e j(ωt+φ)。 证明：按比例性有 其中，ω为某一已知频率。 根据微分特性有 两式相加有 x(t) y(t) 2 2 → (2.149) ( ) ( ) 2 2 2 2 dt dy t dt d x t → (2.150) ( ) ( ) ( ) ( ) → + + 2 2 2 2 2 2 dt dy t y t dt d x t x t (2.151)
由于x()x0e,则 Gjo xenon 因此式(2.151)左边为零,亦即 由此式(2.151)右边亦应为零,即 0v(o+ay 0 dt 解此方程可得唯一的解为 其中o为初相角
由于x(t)=x0e jωt ,则 因此式（2.151）左边为零， 亦即 由此式（2.151）右边亦应为零，即 解此方程可得唯一的解为 其中φ为初相角。 ( ) ( ) x(t) x e j x e dt d x t j t j t 2 0 2 0 2 2 2 = − = − = ( ) ( ) 0 2 2 2 + = dt d x t x t ( ) ( ) 0 2 2 2 + = dt d y t y t ( ) ( + ) = j t y t y e0
)用传递函数或频率响应函数描 述系统的传递特性 1.传递函数 若y(t为时间变量t的函数,且当t0时 有y(=0,则y()的拉普拉斯变换Y(s)定义为 r(s)=y()e"dt (2.152) 式中s为复变量,S=a+jb,a>0。 若系统的初始条件为零,对式(2.144)作拉氏 变换得 y(sla, s"+a n-1+…+a1S+ao X b b,stb
(二)用传递函数或频率响应函数描 述系统的传递特性 1. 传递函数 若y(t)为时间变量t的函数，且当t≤0时， 有y(t)=0，则y(t)的拉普拉斯变换Y(s)定义为 式中s为复变量， s=a+jb,a>0。 若系统的初始条件为零，对式（2.144）作拉氏 变换得 ( ) ( ) − = 0 Y s y t e dt st (2.152) ( )( ) ( )( ) 1 0 1 1 1 0 1 1 X s b s b s b s b Y s a s a s a s a m m m m n n n n = + + + + + + + + − − − −
将输入和输出两者的拉普拉斯变换之比定义为 传递函数H(s),即 H(s ()bns"+bns"1+…+bs+b X(s) n-1 (2153) 十…+a,S+a 传递函数特性: 传递函数H(s)不因输入x(t)的改变而改变,它仅表达系 统的特性; 由传递函数H(s)所描述的一个系统对于任一具体的输入 x(t)都明确地给出了相应的输出y(t); 等式中的各系数an,an1,…,a1,a和bn,bn1, b1,b0是一些由测试系统本身结构特性所唯一确定了的 数
将输入和输出两者的拉普拉斯变换之比定义为 传递函数H(s)，即 传递函数特性： • 传递函数H(s)不因输入x(t)的改变而改变，它仅表达系 统的特性 ； • 由传递函数H(s)所描述的一个系统对于任一具体的输入 x(t)都明确地给出了相应的输出 y(t)； • 等式中的各系数an，an-1，…，a1，a0和bm，bm-1，…， b1，b0是一些由测试系统本身结构特性所唯一确定了的 常数。 ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 0 1 1 a s a s a s a b s b s b s b X s Y s H s n n n n m m m m + + + + + + + + = = − − − − (2.153)
2.频率响应函数 对于稳定的线性定常系统,可设sj0,亦即原 s=a+jb中的a=0,b=o,此时式(2.152)变为 Y(jo)=。y(1)edt (2157 上式即为信号章节中叙述过的单边傅立叶变换公式。 我们有 bm, gjo)"+bm- go …+b,(jo)+ H(o) 0+a O )+a Y(o) X(o) 2.158) H(jo)称测试系统的频率响应函数 频率响应脑数是传递顫数的特例。 频率响应函数也可对式(2144)作傅立叶变换来推导 得到,请自行推导
2. 频率响应函数 对于稳定的线性定常系统，可设s=jω，亦即原 s=a+jb中的a=0，b= ω ，此时式（2.152）变为 上式即为信号章节中叙述过的单边傅立叶变换公式。 我们有 H(jω)称测试系统的频率响应函数。 ❖ 频率响应函数是传递函数的特例。 频率响应函数也可对式（2.144）作傅立叶变换来推导 得到，请自行推导。 − = 0 Y ( j ) y(t)e dt jt (2.157) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 0 1 1 X j Y j a j a j a j a b j b j b j b H j n n n n m m m m = + + + + + + + + = − − − − (2.158)
●传递函数和频率响应函数的区别 在推导传递函数时,系统的初始条件设为零。 而对于一个从t0开始所施加的简谐信号激励来 说,采用拉普拉斯变换解得的系统输出将由两 部分组成:由激励所引起的、反映系统固有特 性的瞬态输出以及该激励所对应的系统的稳态 输出 对频率响应函数H(jo),当输入为简谐信号时, 在观察的时刻,系统的瞬态响应已趋近于零, 频率响应函数表达的仅仅是系统对简谐输入信 号的稳态输出 ☆用频率响应酧数不能反陕过渡程,必须用传 递画薮才能反映全过程
⚫ 传递函数和频率响应函数的区别 – 在推导传递函数时，系统的初始条件设为零。 而对于一个从t=0开始所施加的简谐信号激励来 说，采用拉普拉斯变换解得的系统输出将由两 部分组成：由激励所引起的、反映系统固有特 性的瞬态输出以及该激励所对应的系统的稳态 输出。 – 对频率响应函数H(jω)，当输入为简谐信号时， 在观察的时刻，系统的瞬态响应已趋近于零， 频率响应函数表达的仅仅是系统对简谐输入信 号的稳态输出。 ❖用频率响应函数不能反映过渡过程，必须用传 递函数才能反映全过程