测试技术(7 王伯雄
测试技术(7) 王伯雄
(三)测试系统对典型激励的响应函数 单位脉冲输入下系统的脉冲响应函数 单位脉冲函数δ(t),其傅立叶变换△(jo)=1。同 样,对于8(1)的拉氏变换△(s)}L[6()]。因此,测 试裝置在激励输入信号为δ()时的输出将是 Y(s)=H(s)X(s)=H(s)△(s)=H(s)。对Y(s)作拉普拉斯 反变换可得装置输出的时域表达 y(t)=L[(s)=h(t) 2185) h(t)为称装置的脉冲响应函数或权函数
(三)测试系统对典型激励的响应函数 1. 单位脉冲输入下系统的脉冲响应函数 单位脉冲函数δ(t)，其傅立叶变换Δ(jω)=1。同 样，对于δ(t)的拉氏变换Δ(s)=L[δ(t)]。因此，测 试装置在激励输入信号为δ(t)时的输出将是 Y(s)=H(s)X(s)=H(s)Δ(s)=H(s) 。对Y(s)作拉普拉斯 反变换可得装置输出的时域表达 h(t)为称装置的脉冲响应函数或权函数。 y(t) = L Y (s) = h(t) −1 (2.185)
h(t)=-e-/r 对于一阶惯性系统,|o 其传递函数 H(s) +1 可求得它们的脉冲响应 函数 0 2t 314t (2186) 图269一阶惯性系统的脉冲 响应函数
对于一阶惯性系统， 其传递函数 可求得它们的脉冲响应 函数 ( ) 1 1 + = s H s ( ) t h t e − = 1 (2.186) 图2.69 一阶惯性系统的脉冲 响应函数
对于一个二阶系统,其 传递函数为 H +1 则可求得其脉冲响应函数 =0.65 =1.0 0.2 (欠阻尼情况,c1) h(0=zte 0.4 临界阻尼情况,s=1) -0.6 (2-)o-s+=-) 图270二阶系统的脉冲 响应函数 (过阻尼情况,c1)
对于一个二阶系统 ，其 传递函数为 则可求得其脉冲响应函数 (欠阻尼情况,ς1) ( ) 1 2 1 2 2 + + = n n s s H s h(t) e ( t) n n t n 2 2 sin 1 1 − − = − ( ) t n n h t te − = 2 ( ) − − = − + − − − − t t n n n h t e e 1 1 2 2 2 1 图2.70 二阶系统的脉冲 响应函数
公式中所应用的单位脉冲函数在实际中是不存在的, 工程中常釆取时间较短的脉冲信号来加以近似。比如给系 统以短暂的冲击输入,其冲击持续的时间若小于τ/10,则 可近似认为是一个单位脉冲输入。 理论脉冲近似脉冲 ao///r) qo//r) 0+1.000 00010.9990.100 1.0 近似值 0010900995 0.109050913 0.9 020.8190.826 0.8 1.00.3680372 精确值 500.00674000681 0.7 100000005000505 0.6 0.4 0.3 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.60.70.80.9 图272精确的和近似的脉冲响应
公式中所应用的单位脉冲函数在实际中是不存在的， 工程中常采取时间较短的脉冲信号来加以近似。比如给系 统以短暂的冲击输入，其冲击持续的时间若小于τ/10，则 可近似认为是一个单位脉冲输入。 图2.72 精确的和近似的脉冲响应
2.单位阶跃输入下系统的响应函数 阶跃函数和单位脉冲函数间的关系是 (2204) 亦即 (2205) 因此系统在单位阶跃信号激励下的响应便等于系 统对单位脉冲响应的积分 阶惯性系统H(s)=1/(τs+1)对单位阶跃函数的响 应,其响应函数为 2.206) 相应的拉普拉斯表达式为 s(a+1 (2.207)
2. 单位阶跃输入下系统的响应函数 阶跃函数和单位脉冲函数间的关系是 亦即 因此系统在单位阶跃信号激励下的响应便等于系 统对单位脉冲响应的积分。 一阶惯性系统H(s)=1/(τs+1)对单位阶跃函数的响 应，其响应函数为 相应的拉普拉斯表达式为 ( ) ( ) dt d t t = (2.204) ( ) ( ) − = t ' t t dt (2.205) ( ) t y t e − = 1− (2.206) ( ) ( 1) 1 + = s s Y s (2.207)
当时t4τ,y(t)=0.982,0 此时系统输出值与系统1 y(t) 稳定时的响应值之间的0 00 10.632 差已不足20%,可近似认04 20.865 30.950 0.982 为系统已到达稳态。 1.000 5 一阶装置的时间常薮应 毯小越好。 阶跃输入亦式简单夢行,Q8 10.368 20.35 0.6 30050 因此也常在工程中柔用 40.018 來刎量系统的动交特性。02 图273一阶系统对阶跃输入的响应
当时t=4τ，y(t)=0.982， 此时系统输出值与系统 稳定时的响应值之间的 差已不足2%，可近似认 为系统已到达稳态。 ❖ 一阶装置的时间常数应 越小越好。 ❖ 阶跃输入方式简单易行， 因此也常在工程中采用 来测量系统的动态特性。 图2.73 一阶系统对阶跃输入的响应
对于一个二阶系统来说,其传递函数为 +1 则它对阶跃输入的响应函数可求得为 ()=1-e2 s Ont+o (欠阻尼情况)(2 y()=1-(1+on)e (临界阻尼情况)、(209) ( y (过阻尼情况) (2.210) 式中a=actn
对于一个二阶系统来说，其传递函数为 则它对阶跃输入的响应函数可求得为 式中 ( ) 1 2 1 2 2 + + = n n s s H s ( ) ( ) − + − = − − t e y t n t n 2 2 sin 1 1 1 (欠阻尼情况) (2.208) ( ) ( ) t n n y t t e − = 1− 1+ (临界阻尼情况) (2.209) ( ) t t n n y t e e − + − − − − − − − + − + − = − 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 (过阻尼情况) (2.210) 2 1 arctan − =
y 1.8 中8h 1.6 1,4 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0 3 6 9 10 Wt 图274二阶系统对单位阶跃的响应
图2.74 二阶系统对单位阶跃的响应
●小结: 阶跃响应函数方程式中的误差项均包含有因子eAT项 故当t→∞时,动态误差为零,亦即它们没有稳态误 差。但是系统的响应在很大程度上取决于阻尼比和 固有频率ωn,ωn越高,系统的响应越快,阻尼比s直 接影响系统超调量和振荡次数。 ☆当s=0时,系统超琱量为100%,系统持续振芗 ☆雪>时,系统蜕化为两个一阶环节的玮联,此时系统 无超调(无振荡),但仍需较長时间才能埉到稳态。 当s<时,若迷择在06~0.8间,最大超凋量约在 2.5%~10%之间,对5%~2%的允许俣差而认为到稳兖的 所需调整时间也最短,约为(3-4/sn。因此,许多测量 裝置在殺计参数时也常常将阻尼比莛择在0.6~0.8间
⚫ 小结： 阶跃响应函数方程式中的误差项均包含有因子e -AT项， 故当t→∞时，动态误差为零，亦即它们没有稳态误 差。但是系统的响应在很大程度上取决于阻尼比ς和 固有频率ωn， ωn越高，系统的响应越快，阻尼比ς直 接影响系统超调量和振荡次数。 ❖当ς=0时，系统超调量为100%，系统持续振荡 ； ❖当ς>1时，系统蜕化为两个一阶环节的串联，此时系统虽 无超调（无振荡），但仍需较长时间才能达到稳态。 ❖当ς<1时，若选择ς在0.6~0.8之间，最大超调量约在 2.5%~10%之间，对于5%~2%的允许误差而认为达到稳态的 所需调整时间也最短，约为(3~4)/ ς ωn 。因此，许多测量 装置在设计参数时也常常将阻尼比选择在0.6~0.8之间