测试技术(3) 王伯雄
测试技术(3) 王伯雄
(四)功率信号的傅里叶变换 只有满足狄里赫利条件的信号才具有 傅里叶变换,即」xo)d<0 有限平均功率信号,它们在(-∞,∞) 区域上的能量可能趋近于无穷,但它们 的功率是有限的,即满足 T/2 P= lim x(t dt 295 7→∞T7/2 利用δ函数和某些高阶奇异函数的傅 立叶变换来实现这些函数的傅立叶变换
（四）功率信号的傅里叶变换 只有满足狄里赫利条件的信号才具有 傅里叶变换，即 。 有限平均功率信号，它们在(-∞, ∞) 区域上的能量可能趋近于无穷，但它们 的功率是有限的，即满足 利用δ函数和某些高阶奇异函数的傅 立叶变换来实现这些函数的傅立叶变换。 ( ) 0 2 − x t dt = → − / 2 / 2 2 ( ) 1 lim T T T x t dt T P (2.95)
1.单位脉冲函数 Pa(E 6() 图236矩形脉冲函数与δ函数 在Δ时间内激发有一矩形脉冲p(t),的幅值为 面积为1。当Δ→0时,该矩形脉冲p(t)的极限 便称为单位脉冲函数或δ函数。 性质: (1) t=0 6(t) t≠0 (2.96 2)∫o(()=1 (297)
1.单位脉冲函数 ⚫ 在Δ时间内激发有一矩形脉冲p Δ (t)，的幅值为， 面积为1。当Δ→0时，该矩形脉冲p Δ (t)的极限 便称为单位脉冲函数或δ函数。 ⚫ 性质： （1） （2） = = 0, 0 , 0 ( ) t t t (2.96) ( ) ( ) = 1 − t d t (2.97) 图2.36 矩形脉冲函数与δ函数
●由6函数的两条性质式(2.96)和(2.97),可得 x(t)d(t-to dt=x(to) (2.99) 其中x(t)在t=t时是连续的。 ●单位脉冲函数δ(t)的傅里叶变换: X(O)=0)(-h=11(210 即 δ(t) (2.101) r(ja 图2.378(t)及其傅里叶变换
⚫ 由δ函数的两条性质式(2.96)和(2.97) ，可得 其中x(t)在t=t0时是连续的。 ⚫ 单位脉冲函数δ(t)的傅里叶变换 ： 即 − ( ) ( − ) = ( ) 0 0 x t t t dt x t (2.99) ( ) = ( ) = ( ) =1 − − X F t t e dt jt (2.100) (t) 1 (2.101) 图2.37 δ(t)及其傅里叶变换
●时移单位脉冲函数δ(t-to)的傅里叶变换对 δ6(t-t0)<>e- ↑|△(a)川 斜率=-to 图2.388(tt)及其傅里叶变换 常数1的傅里叶变换对: em台>2xo(o-00) 2.103) 1<>2兀() (2104) 0 图239常数1及其傅立叶变换
⚫ 时移单位脉冲函数δ(t-t0)的傅里叶变换对： • 常数1的傅里叶变换对： 图2.38 δ(t-t0 )及其傅里叶变换 图2.39 常数1及其傅立叶变换 0 ( ) 0 j t t t e − − (2.102) 2 ( ) 0 0 − j t e (2.103) 1 2() (2.104)
单位脉冲函数δ(t)与任一函数x(t)的卷积 (1)*S()=6()*x()=x( (2.105) 证明:x(1)*δ(t)=6()*x(t) δ()x(t-z)dz x(t) 推广可得 x()*6(t-10)=06(t-t0)*x(1)=x(t-10)(2.106 x(2) 5(2)今 x(t-1) t1 +te 图241xt1)与6(tt)的卷积
⚫ 单位脉冲函数δ(t)与任一函数x(t)的卷积 证明： 推广可得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t x t d x t t t x t = = − = − x(t) (t) = (t) x(t) = x(t) (2.105) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x t t − t = t − t x t = x t − t (2.106) 图2.41 x(t-t1 )与δ(t-t0 )的卷积
2余弦函数 欧拉公式 joof +e j@of cosO 2.109) 余弦函数的频谱:c4zb(o-o1)+b(0+0](2.10) 正弦函数的频谱:so4izo+o)-0-0(211) cos wor AAA Xiju) q丌) ff 图242正、余弦函数及其频谱
2.余弦函数 欧拉公式： 余弦函数的频谱： 正弦函数的频谱： 图2.42 正、余弦函数及其频谱 sin ( ) ( ) 0 0 0 t j + − − (2.111) cos ( ) ( ) 0 0 0 t − + + (2.110) 2 cos 0 0 0 j t j t e e t − + = (2.109)
3.周期函数 周期函数x(t)的傅里叶级数形式: x()=∑C,em 式中 x(te o dt ⅹ(t)的傅立叶变换为 X(O)=F[x() Jn@ol =∑CnF[em01 =2n∑C6(O-nO0) 令一个周期函数的傅里叶变换由无穷多个位 于的各谐波频率上的单位脉冲函数组成
3.周期函数 周期函数x(t) 的傅里叶级数形式： 式中 x(t)的傅立叶变换为： ❖一个周期函数的傅里叶变换由无穷多个位 于的各谐波频率上的单位脉冲函数组成。 =− = n jn t n x t C e 0 ( ) − − = x t e dt T C jn t T n T 0 ( ) 1 2 2 =− =− =− = − = = = n n n j n t n n j n t n C n C F e F C e X F x t 2 ( ) [ ] [ ] ( ) [ ( )] 0 0 0 (2.117)
例12单位脉冲序列)=∑8(t-k7 (2118) n=-00 求它的傅里叶变换 解:将x(t)表达为傅里叶级数的形式 x()=∑C Jn@ot T]-o r(oe-jinool dt 28(te noo dt 于是有x()=1∑em 2.119) n=-0 对式(2.119)两边作傅里叶变换得 X(O)=FI 根据式(2.117)可得 X(m)=2∑o( 0-n0 T 亦即 ∑(-kD)4O0∑8(0-mo) 2.120)
例12 单位脉冲序列 求它的傅里叶变换。 解：将x(t)表达为傅里叶级数的形式 于是有 对式（2.119）两边作傅里叶变换得 根据式（2.117）可得 亦即 − = jn t n x t C e 0 ( ) = = = − − − − T t e dt T x t e dt T C j n t T T j n t n 1 ( ) 1 ( ) 1 0 2 0 2 ] 1 ( ) [ 0 =− = n j n t e T X F =− = − = n T n T X 2 ( ), 2 ( ) 0 0 =− = − n x(t) (t k T) (2.118) =− = n jn t e T x t 0 1 ( ) (2.119) =− =− − − n n (t k T) ( n ) 0 0 (2.120)
r(o 2兀 3T-2T-7 t 2 3t 300-200-000 o0 2a0 3000 图247周期脉冲序列函数及其频谱 冷一个周期脉冲序列的傅里叶变换仍为(在频 域中的)一个周期脉冲序列。单个脉冲的强 度为ωo=2π/T,且各脉冲分别位于各谐波 频率n0=n2T/T上,n=0,±1,±2
❖ 一个周期脉冲序列的傅里叶变换仍为（在频 域中的）一个周期脉冲序列。单个脉冲的强 度为ω0=2π/T，且各脉冲分别位于各谐波 频率nω0=n2π/T上，n=0, ±1, ±2, …。 图2.47 周期脉冲序列函数及其频谱