测试技术(1 王伯雄
测试技术(1) 王伯雄
四、周期信号的频域描述 在有限区间上,一个周期信号x(t)当满 足狄里赫利条件*时可展开成傅里叶级数: )=o+2(an cos noot+bn sin nao t)(2. 12 式中, x(t)cos tdt 2.13) T/2 T/2 x(t)sin n@ tdt 14) T/2 冷注意:an是n或n0的偶函数,an-an;而bn 则是n或n0的奇函数,有bn=b
四、周期信号的频域描述 在有限区间上，一个周期信号x（t）当满 足狄里赫利条件*时可展开成傅里叶级数： 式中， ❖注意：an是n或nω0的偶函数，a-n=an；而bn 则是n或nω0的奇函数，有b-n =-bn 。 = = + + 1 0 0 0 ( cos sin ) 2 ( ) n n n a n t b n t a x t (2.12) − = / 2 / 2 0 ( ) cos 2 T T n x t n tdt T a (2.13) − = / 2 / 2 0 ( )sin 2 T T n x t n tdt T b (2.14)
信号ⅹ(t)的另一种形式的傅里叶级数表达式: x(t)=+2A, cos(n@ot+on)(2.15) 式中 n= +b b n (2.16) q arct (") A称信号频率成分的幅值,φ称初相角 冷注意:A是n或n的偶函数,A=An;而b,则是 n或n的奇函数,有φ_=-φn。 比较式(2.12)和式(2.15),可见 A. coS P n=1.2 2.17) l bn =-A, sin P
信号x（t）的另一种形式的傅里叶级数表达式： 式中， An称信号频率成分的幅值，φn称初相角。 ❖注意：An是n或nω0的偶函数，A-n=An；而bn则是 n或nω0的奇函数，有φ-n =-φn 。 比较式（2.12）和式（2.15），可见 ： = = + + 1 0 0 cos( ) 2 ( ) n n n A n t a x t （2.15） = − = + ( ) 2 2 n n n n n n a b arctg A a b n＝1,2, ……（2.16） = − = n n n n n n b A a A sin cos n＝1,2,…… （2.17）
小结与讨论 1.式中第一项a/2为周期信号中的常值或直流分 量 2.从第二项依次向下分别称信号的基波或一次谐波、 次谐波、三次谐波、 n次谐波 3.将信号的角频率ωo作为横坐标,可分别画出信 号幅值A和相角φn随频率ω0变化的图形,分别 称之为信号的幅频谱和相频谱图。 由于n为整数,各频率分量仅在n0的频率处取 值,因而得到的是关于幅值A和相角φn的离散 谱线。 ☆周期信号的频谱是离散的
小结与讨论 1. 式中第一项a0/2为周期信号中的常值或直流分 量 ； 2. 从第二项依次向下分别称信号的基波或一次谐波、 二次谐波、三次谐波、……、n次谐波 ； 3. 将信号的角频率ω0作为横坐标，可分别画出信 号幅值An和相角φn随频率ω0变化的图形，分别 称之为信号的幅频谱和相频谱图。 4. 由于n为整数，各频率分量仅在nω0的频率处取 值，因而得到的是关于幅值An和相角φn的离散 谱线。 ❖ 周期信号的频谱是离散的!
例1求图2.11所示的周期方 波信号x(t)的傅里叶级数。 解 信号x(t)在它的一个周期中 的表达式为: t<0 T/2 根据式(2.13)和(2.14)有: :T/2 x(t)cos noo tdt=0 T/2 图211周期方波信号 注意:本例中x(t)为一奇函数,而 cosn got为偶函数,两 者的积x(t) cosn a0t为奇函数,而一个奇函数在上、下 限对称区间上的积分值等于零
例1 求图2.11所示的周期方 波信号x（t）的傅里叶级数。 解： 信号x（t）在它的一个周期中 的表达式为： 根据式（2.13）和（2.14）有： 图2.11 周期方波信号 − − = 2 1, 0 0 2 1, ( ) T t t T x t − = = / 2 / 2 0 ( ) cos 0 2 T T n x t n tdt T a 注意：本例中x(t)为一奇函数，而cosnω0t为偶函数，两 者的积x(t)cosnω0t也为奇函数，而一个奇函数在上、下 限对称区间上的积分值等于零
T/2 x(t)sin n@o tdt rLJ-m2(-1)sin noo dt +I sin no,tdt A4- TI noo coOnoor- (-cos nOoD no cosn丌 n丌 700 nc 0,n=2,4,6 根据式(2.12),便可得 图2.11所示周期方波信号 7 的傅里叶级数表达式为: 图212周期方波信号的频谱图 x()=-(Sin0t+Sm300t+-smn5001+…)
根据式（2.12），便可得 图2.11所示周期方波信号 的傅里叶级数表达式为： = = = = − = + − = − + = − − − 0, 2,4,6 , 1,3,5, 4 1 cos 2 ( cos ) 1 cos 2 1 ( 1)sin sin 2 ( )sin 2 / 2 0 0 0 0 0 / 2 0 / 2 0 0 0 / 2 0 / 2 / 2 0 n n n n n n t n n t T n n tdt n tdt T x t n tdt T b T T T T T T n sin 5 ) 5 1 sin 3 3 1 (sin 4 ( ) x t = 0 t + 0 t + 0 t + 图2.12 周期方波信号的频谱图
奇、偶函数的傅里叶系数计算特点 ●x(t)为奇函数 由于x(-t)=x(t),因此, =0 4c7/2 (n=1,2 2.18) TJo (t)sin no tdt 由式(2.16)进而有 2m+1) (n=1,2 (2.19) 丌,(m为整数)
奇、偶函数的傅里叶系数计算特点 ⚫ x(t)为奇函数 由于x(-t)=-x(t)，因此， 由式（2.16）进而有 ( 1,2, ) ( )sin 4 0 / 2 0 0 = = = n x t n tdt T b a T n n （2.18） ( 1,2, ) , 2 (2 1) = + = = n m m A b n n n （ 为整数） （2.19）
x(t)为偶函数 由于x(-t)=x(t),因而有 T/2 (n=0,1,2 2.20) x(t)cosn@o tdt 进而有 (2.21) 9n=mz,(m为整数) 1/( f() (b) 图214偶函数例,图中函数为对称于纵轴的三角波
⚫ x(t)为偶函数 由于x(-t)=x(t)，因而有 进而有 图2.14 偶函数例，图中函数为对称于纵轴的三角波 ( 0,1,2 ) ( ) cos 4 0 / 2 0 0 = = = n x t n tdt T a b T n n （2.20） ( 1,2 ) , = = = n m m A a n n n （ 为整数） （2.21）
傅里叶级数表达成指数函数的形式 由欧拉公式可知 cos Ot (2.22) 代入式(2.12)有: x(1)=+>(a,+jb,)e / neo +(an-jbn)e' jb,) 令 (2.23) (224) 或 x(1)=∑Cnen=0,±1,±2, (225)
傅里叶级数表达成指数函数的形式 由欧拉公式可知 ： 代入式（2.12）有： 令 则 或 = − = + − − ( ) 2 sin ( ) 2 1 cos j t j t j t j t e e j t t e e （2.22） = − = + + + − 1 0 0 0 ( ) 2 1 ( ) 2 1 2 ( ) n j n t n n j n t n n a j b e a j b e a x t 1,2,3 2 ( ) 2 1 ( ) 2 1 0 0 = = = + = − − n a C C a j b C a j b n n n n n n （2.23） ( ) 1,2,3 1 1 0 0 0 = + + = = = − − x t C C e C e n n j n t n n j n t n （2.24） ( ) = 0 = 0,1,2, =− x t C e n n j n t n （2.25）
求傅里叶级数的复系数Cn T/2 x(t)cosnootdt x(tsin n@ tdt T/2 r(tena T/2 (n=0,+2…)(26) Gn是离散频率nω的函数,称为周期函数x(t) 的离散频谱。Gn一般为复数,故可写为 n=cn le/%n=re cn+jImo 2.27) 且有 e +Im-c 2.28) Pn= arcto Re c 229)
求傅里叶级数的复系数 Cn Cn是离散频率nω0的函数，称为周期函数x(t) 的离散频谱。 Cn一般为复数，故可写为 且有 ( ) ( 0, 1, 2,) 1 ( ) cos ( )sin 1 / 2 / 2 / 2 / 2 0 / 2 / 2 0 0 = = = − − − − − x t e dt n T x t n tdt j x t n tdt T C T T j n t T T T T n （2.26） C C e Cn j C j n n n = = Re + Im （2.27） Cn Cn Cn 2 2 = Re + Im （2.28） n n n C C arctg Re Im = （2.29）
