小学六年级数学上“组合图形的周长和面积”讲解+训练卷(名校版)(1)

小学六年级数学上“组合图形的周长和面积”讲解+训练卷(名 校版) 例1.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解:这是最基本的方法:4圆面积减去等腰直角三角形 的面积, 4×222×1=1.14(平方厘米) 例2.正方形面积是7平方厘米,求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解:这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去4圆的 面积。 设圆的半径为r,因为正方形的面积为7平方厘米, 所以r2=7, 所以阴影部分的面积为:7-42=7-4×7=1.505平方厘米 例3.求图中阴影部分的面积。(单位:厘米) 解:最基本的方法之一。用四个圆组成一个圆,用正方 形的面积减去圆的面积, 所以阴影部分的面积:2×2-π=0.86平方厘米。 例4.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 第1页共44

第 1 页 共 44 页 小学六年级数学上“组合图形的周长和面积”讲解+训练卷（名 校版） 例 1.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：这是最基本的方法： 圆面积减去等腰直角三角形 的面积， × -2×1=1.14（平方厘米） 例 2.正方形面积是 7 平方厘米，求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去 圆的 面积。 设圆的半径为 r，因为正方形的面积为 7 平方厘米， 所以 =7， 所以阴影部分的面积为：7- =7- ×7=1.505 平方厘米 例 3.求图中阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：最基本的方法之一。用四个 圆组成一个圆，用正方 形的面积减去圆的面积， 所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86 平方厘米。 例 4.求阴影部分的面积。(单位:厘米)

解:同上,正方形面积减去圆面积, 16-π(2)=16-4π 3.44平方厘米 例5.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解:这是一个用最常用的方法解最常见的题,为方便起见, 我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”,是用 两个圆减去一个正方形, π(2)×2-16=8丌-16=9.12平方厘米 另外:此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。 例6.如图:已知小圆半径为2厘米,大圆半径是小圆的3倍,问: 空白部分甲比乙的面积多多少厘米? 解:两个空白部分面积之差就是两圆面积之差(全加 阴影部分) 62-(2)=100.48平方厘米 (注:这和两个圆是否相交、交的情况如何无关) 例7.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解:正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2,求) 正方形面积为:5×5÷2=12.5 所以阴影面积为:π(÷4-12.5=7.125平方厘米 (注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、 补、 第2页共44

第 2 页 共 44 页 解：同上，正方形面积减去圆面积， 16-π( )=16-4π =3.44 平方厘米 例 5.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见， 我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用 两个圆减去一个正方形， π( )×2-16=8π-16=9.12 平方厘米 另外：此题还可以看成是 1 题中阴影部分的 8 倍。 例 6.如图：已知小圆半径为 2 厘米，大圆半径是小圆的 3 倍，问： 空白部分甲比乙的面积多多少厘米？ 解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加 上 阴影部分） π -π( )=100.48 平方厘米 （注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关） 例 7.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求) 正方形面积为：5×5÷2=12.5 所以阴影面积为：π ÷4-12.5=7.125 平方厘米 (注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、 补

增、减变形) 例8.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解:右面正方形上部阴影部分的面积,等于左面正方 形下部空白部分面积,割补以后为4圆, (8) 所以阴影部分面积为:aπ(22)=3.14平方厘米 例9.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解:把右面的正方形平移至左边的正方形部分,则阴影部分合成 个长方形, 所以阴影部分面积为:2×3=6平方厘米 例10.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解:同上,平移左右两部分至中间部分,则合成一个 长方形, 所以阴影部分面积为2×1=2平方厘米 (注:8、9、10三题是简单割、补或平移) 例11.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解 这种图形称为环形,可以用两个同心圆的面积差或差的 部分来求 (11) (m42-m32)×360=6×3.14=3.66平方厘米 第3页共44

第 3 页 共 44 页 增、减变形) 例 8.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方 形下部空白部分面积，割补以后为 圆， 所以阴影部分面积为： π( )=3.14 平方厘米 例 9.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：把右面的正方形平移至左边的正方形部分，则阴影部分合成一 个长方形， 所以阴影部分面积为：2×3=6 平方厘米 例 10.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：同上，平移左右两部分至中间部分，则合成一个 长方形， 所以阴影部分面积为 2×1=2 平方厘米 (注: 8、9、10 三题是简单割、补或平移) 例 11.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解： 这种图形称为环形，可以用两个同心圆的面积差或差的 一 部分来求。 （π -π ）× = ×3.14=3.66 平方厘米

例12.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解:三个部分拼成一个半圆面积 π(32)÷2=14.13平方厘米 例13.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解:连对角线后将"叶形″剪开移到右上面的空白部分, 凑成正方形的一半 所以阴影部分面积为:8×8÷2=32平方厘米 例14.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解:梯形面积减去4圆面积, 2(4+10)×4-4m4228-4m=15.44平方厘米 例15.已知直角三角形面积是12平方厘米,求阴影部 分的面积 分析:此题比上面的题有一定难度,这是叶形”的一个A 半 囫 解:设三角形的直角边长为r,则2x2=12,2=6 (15) 圆面积为:π2÷2=3π。圆内三角形的面积为12 ÷2=6, 阴影部分面积为:(3π-6)×2=5.13平方厘米 第4页共44

第 4 页 共 44 页 例 12.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：三个部分拼成一个半圆面积． π( )÷２＝14.13 平方厘米 例 13.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解: 连对角线后将"叶形"剪开移到右上面的空白部分, 凑成正方形的一半. 所以阴影部分面积为：8×8÷2=32 平方厘米 例 14.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：梯形面积减去 圆面积， (4+10)×4- π =28-4π=15.44 平方厘米 . 例 15.已知直角三角形面积是 12 平方厘米，求阴影部 分的面积。 分析: 此题比上面的题有一定难度,这是"叶形"的一个 半. 解: 设三角形的直角边长为 r，则 =12， =6 圆面积为：π ÷2=3π。圆内三角形的面积为 12 ÷2=6， 阴影部分面积为：(3π-6)× =5.13 平方厘米

例16.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解:2[π(0)2+m42-m(0)] 2(116-36)=40π=125.6平方厘米 第5页共44

第 5 页 共 44 页 例 16.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解： ［π ＋π －π ］ = π(116-36)=40π=125.6 平方厘米

例17.图中圆的半径为5厘米,求阴影部分的面积。(单 位:厘米) 解:上面的阴影部分以AB为轴翻转后,整个阴影部分E-D 成为梯形减去直角三角形,或两个小直角三角形AED、 (17) BCD面积和。 所以阴影部分面积为:5×5÷2+5×10÷2=37.5平 方厘米 例18.如图,在边长为6厘米的等边三角形中挖去三个 同样的扇形,求阴影部分的周长 解:阴影部分的周长为三个扇形弧,拼在一起为一个半圆弧, 所以圆弧周长为:2×3.14×3÷2=9.42厘米 例19.正方形边长为2厘米,求阴影部分的面积 解:右半部分上面部分逆时针,下面部分顺时针旋转到左 半部分,组成一个矩形 所以面积为:1×2=2平方厘米 例20.如图,正方形ABCD的面积是36平方厘米,求阴 影部分的面积。 (20) 解:设小圆半径为r,4=36,r=3,大圆半径为R,R2=2r2=18, 第6页共44

第 6 页 共 44 页 例 17.图中圆的半径为 5 厘米,求阴影部分的面积。(单 位:厘米) 解：上面的阴影部分以 AB 为轴翻转后，整个阴影部分 成为梯形减去直角三角形，或两个小直角三角形 AED、 BCD 面积和。 所以阴影部分面积为：5×5÷2+5×10÷2=37.5 平 方厘米 例 18.如图，在边长为 6 厘米的等边三角形中挖去三个 同样的扇形,求阴影部分的周长。 解：阴影部分的周长为三个扇形弧，拼在一起为一个半圆弧， 所以圆弧周长为：2×3.14×3÷2=9.42 厘米 例 19.正方形边长为 2 厘米，求阴影部分的面积。 解：右半部分上面部分逆时针，下面部分顺时针旋转到左 半部分，组成一个矩形。 所以面积为：1×2=2 平方厘米 例 20.如图，正方形 ABCD 的面积是 36 平方厘米，求阴 影部分的面积。 解：设小圆半径为 r，4 =36, r=3，大圆半径为 R， =2 =18

将阴影部分通过转动移在一起构成半个圆环, 所以面积为:π(R2-2):2=4.5π=14.13平方厘米 例21.图中四个圆的半径都是1厘米,求阴影部分的面积。 解:把中间部分分成四等分,分别放在上面圆的四个角上, 补成一个正方形,边长为2厘米, 所以面积为:2×2=4平方厘米 (21) 例22.如图,正方形边长为8厘米,求阴影部分的面积。 解法一:将左边上面一块移至右边上面,补上空白,则左边为一三角 形,右边一个半圆 阴影部分为一个三角形和一个半圆面积之和 (42)÷2+4×4=8π+16=41.12平方厘米 解法二:补上两个空白为一个完整的圆 所以阴影部分面积为一个圆减去一个叶形,叶形面积为:π (42)÷2-4×4=8π-16 所以阴影部分的面积为:π(42)-8π+16=41.12平方厘米 例23.图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点,,它们的公共点是 该正方形的中心,如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴c 影部分的面积是多少? 解:面积为4个圆减去8个叶形,叶形面积为:2m()2-1(23) 1=2-1 所以阴影部分的面积为:4()2-8(2m-1)=8平方厘米 第7页共44

第 7 页 共 44 页 将阴影部分通过转动移在一起构成半个圆环, 所以面积为:π( - )÷2=4.5π=14.13 平方厘米 例 21.图中四个圆的半径都是 1 厘米，求阴影部分的面积。 解：把中间部分分成四等分，分别放在上面圆的四个角上， 补成一个正方形，边长为 2 厘米， 所以面积为：2×2=4 平方厘米 例 22. 如图，正方形边长为 8 厘米，求阴影部分的面积。 解法一: 将左边上面一块移至右边上面,补上空白,则左边为一三角 形,右边一个半圆. 阴影部分为一个三角形和一个半圆面积之和. π( )÷2+4×4=8π+16=41.12 平方厘米 解法二: 补上两个空白为一个完整的圆. 所以阴影部分面积为一个圆减去一个叶形,叶形面积为:π ( )÷2-4×4=8π-16 所以阴影部分的面积为:π( )-8π+16=41.12 平方厘米 例 23.图中的 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点，，它们的公共点是 该正方形的中心，如果每个圆的半径都是 1 厘米，那么阴 影部分的面积是多少？ 解：面积为４个圆减去８个叶形，叶形面积为： π -1 ×1= π-1 所以阴影部分的面积为:4π -8( π-1)=8 平方厘米

例24.如图,有8个半径为1厘米的小圆,用他们的圆周的一部分连 成一个花瓣图形,图中的黑点是这些圆的圆心。如果圆周π率取 3.1416,那么花瓣图形的的面积是多少平方厘米? 分析:连接角上四个小圆的圆心构成一个正方形,各个小 圆被切去4个圆, 这四个部分正好合成3个整圆,而正方形中的空白部分合汤汤 成两个小圆 解:阴影部分为大正方形面积与一个小圆面积之和 为:4×4+丌=19.1416平方厘米 例25.如图,四个扇形的半径相等,求阴影部分的面积 (单位:厘米) 分析:四个空白部分可以拼成一个以2为半径的圆 所以阴影部分的面积为梯形面积减去圆的面积, 4×(4+7)÷2-丌2222-4=9.44平方厘米 例26.如图,等腰直角三角形ABC和四分之一圆DEB,AB=5厘米,BE=2 厘米,求图中阴影部分的面积。 解:将三角形CEB以B为圆心,逆时针转动90度,到 三角形ABD位置,阴影部分成为三角形ACB面积减去个 小圆面积, 为:5×5÷2-π22÷4=12.25-3.14=9.36平方厘米 第8页共44

第 8 页 共 44 页 例 24.如图，有 8 个半径为 1 厘米的小圆，用他们的圆周的一部分连 成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心。如果圆周π率取 3.1416，那么花瓣图形的的面积是多少平方厘米？ 分析：连接角上四个小圆的圆心构成一个正方形，各个小 圆被切去 个圆， 这四个部分正好合成３个整圆，而正方形中的空白部分合 成两个小圆． 解：阴影部分为大正方形面积与一个小圆面积之和． 为：4×4+π=19.1416 平方厘米 例 25.如图，四个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。 (单位:厘米) 分析：四个空白部分可以拼成一个以２为半径的圆． 所以阴影部分的面积为梯形面积减去圆的面积， 4×(4+7)÷2-π =22-4π=9.44 平方厘米 例 26.如图，等腰直角三角形 ABC 和四分之一圆 DEB，AB=5 厘米，BE=2 厘米，求图中阴影部分的面积。 解: 将三角形 CEB 以 B 为圆心，逆时针转动 90 度，到 三角形 ABD 位置,阴影部分成为三角形 ACB 面积减去 个 小圆面积, 为: 5×5÷2-π ÷4=12.25-3.14=9.36 平方厘米

例27.如图,正方形ABCD的对角线AC=2厘米,扇形ACB是以AC为 直径的半圆,扇形DAC是以D为圆心,AD为半径的圆的一部分,求 阴影部分的面积。 解:因为2(AD=(A2=4,所以AD)=2 以AC为直径的圆面积减去三角形ABC面积加上弓形 AC 面积, 2m(12-2×2÷4+[m(AD)÷4-2 2π-1+(2-1) =π-2=1.14平方厘米 例28.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解法一:设AC中点为B,阴影面积为三角形ABD面 积加弓形BD的面积, 三角形ABD的面积为:5×5÷2=12.5 弓形面积为:[π(÷2-5×5]÷2=7.125 所以阴影面积为:12.5+7.125=19.625平方厘米 解法二:右上面空白部分为小正方形面积减去4小圆面积,其值为 25 5×5-4m(=25-4m 阴影面积为三角形ADC减去空白部分面积,为:10×5÷2-(25-4 π)=4丌=19.625平方厘米 例29.图中直角三角形ABC的直角三角形的直角边AB=4厘米,BC=6 厘米,扇形BCD所在圆是以B为圆心,半径为BC的圆,∠CBD=50, 第9页共44

第 9 页 共 44 页 例 27.如图，正方形 ABCD 的对角线 AC=2 厘米，扇形 ACB 是以 AC 为 直径的半圆，扇形 DAC 是以 D 为圆心，AD 为半径的圆的一部分，求 阴影部分的面积。 解: 因为 2 = =4，所以 =2 以 AC 为直径的圆面积减去三角形 ABC 面积加上弓形 AC 面积， π -2×2÷4+[π ÷4-2] = π-1+( π-1) =π-2=1.14 平方厘米 例 28.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解法一：设 AC 中点为 B,阴影面积为三角形 ABD 面 积加弓形 BD 的面积, 三角形 ABD 的面积为:5×5÷2=12.5 弓形面积为:[π ÷2-5×5]÷2=7.125 所以阴影面积为:12.5+7.125=19.625 平方厘米 解法二：右上面空白部分为小正方形面积减去 小圆面积，其值为： 5×5- π =25- π 阴影面积为三角形ADC 减去空白部分面积，为：10×5÷2-（25- π）= π=19.625 平方厘米 例 29.图中直角三角形 ABC 的直角三角形的直角边 AB=4 厘米，BC=6 厘米，扇形 BCD 所在圆是以 B 为圆心，半径为 BC 的圆，∠CBD=

问:阴影部分甲比乙面积小多少? 解:甲、乙两个部分同补上空白部分的三角形后合成一个扇形BCD, 一个成为三角形ABC 此两部分差即为:丌62×300-2×4×6=5丌-12=3.7平方厘米 例30.如图,三角形ABC是直角三角形,阴影部分甲比阴影部分乙面 积大28平方厘米,AB=40厘米。求BC的长度 解:两部分同补上空白部分后为直角三角形ABC,一个为半圆,设 BC长为X,则 40X÷2-丌20-÷2=28 所以40X-400=56则X=32.8厘米 例31.如图是一个正方形和半圆所组成的图形,其中P 为半圆周的中点,Q为正方形一边上的中点,求阴影部分的面积 解:连PD、PC转换为两个三角形和两个弓形, 两三角形面积为:△APD面积+△QPC面积=2( ×10+5×5)=37.5 两弓形PC、PD面积为:zx(2-5×5 第10页共44

第 10 页 共 44 页 问：阴影部分甲比乙面积小多少？ 解: 甲、乙两个部分同补上空白部分的三角形后合成一个扇形 BCD， 一个成为三角形 ABC， 此两部分差即为：π × － ×4×6＝5π-12=3.7 平方厘米 例 30.如图，三角形 ABC 是直角三角形，阴影部分甲比阴影部分乙面 积大 28 平方厘米，AB=40 厘米。求 BC 的长度。 解：两部分同补上空白部分后为直角三角形 ABC，一个为半圆，设 BC 长为 X，则 40X÷2-π ÷2=28 所以 40X-400π=56 则 X=32.8 厘米 例 31.如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中 P 为半圆周的中点，Q 为正方形一边上的中点，求阴影部分的面积。 解：连 PD、PC 转换为两个三角形和两个弓形， 两三角形面积为：△APD 面积+△QPC 面积= （5 ×10+5×5）=37.5 两弓形 PC、PD 面积为： π -5×5