第一讲立体图形及展开 同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体,从这一讲开始我们将 一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题,帮助大家提高观察能力 和空间想像能力,以及掌握解答问题的技巧和方法。这一讲我们进一步研究长方体和 正方体的特征及展开图 例题选讲 例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢 复成原来的正方体,图中的点F、点G分别与哪个点重合? 【分析与解答】为了研究方便,我们将正方体六个面 Bir 就是上面,(如图2)从图中不难看出点与点,重小￥ 分别标上序号1、2、3、4、5、6,如果将1作为底面 那么4就是后面,5为右面,6为前面,2则是左面,3 Eus 展开图,折一折,结果就一目了然了,同学们不妨试 试吧! 例2:一只小虫从图1所示的长方体上的A点出发,沿长 方体的表面爬行,依次经过前面、上面、后面、底面 最后到达P点。请你为它设计一条最短的爬行路线 【分析与解答】因为小虫在长方体的表面爬行,所 芦 以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成 平面图形(如图2)。又因为在平面上“两点之间的线段 图 长度最短”,所以连接AP,则线段AP为小虫爬行的最短路线。 练习与思考 1.如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果 将这个展开图恢复成原来的正方体,图中的点B、点D分别与哪个点 重合? 2.如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块,一只蚂蚁从A点沿表A 面爬向B点。请画出蚂蚁爬行的最短路线。问:这样的路线共有几条? 3.将一张长方形硬纸片,剪去多余部分后,折叠成一个棱长为1厘米的正方体。这张 长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米? 4.一块长方形的铁皮,长28厘米,在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正 方形,然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的容积是960 立方厘米,求原来长方形铁皮的面积 28厘米 5如图所示的是一个正方体木块的表面展开图,若在正方体的各面填上 数,使其对面两数之和为7,则A、B、c处填的数各是多少?
第一讲 立体图形及展开 同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体，从这一讲开始我们将 一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题，帮助大家提高观察能力 和空间想像能力，以及掌握解答问题的技巧和方法。这一讲我们进一步研究长方体和 正方体的特征及展开图 例题选讲 例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢 复成原来的正方体，图中的点F、点G分别与哪个点重合? 【分析与解答】为了研究方便，我们将正方体六个面 分别标上序号1、2、3、4、5、6，如果将l作为底面， 那么4就是后面，5为右面，6为前面，2则是左面，3 就是上面，(如图2)。从图中不难看出点F与点N，重 合，点G与点S重合。还有一种方法就是动手制作一张 展开图，折一折，结果就一目了然了，同学们不妨试 试吧! 例2:一只小虫从图l所示的长方体上的A点出发，沿长 方体的表面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面， 最后到达P点。请你为它设计一条最短的爬行路线。 【分析与解答】 因为小虫在长方体的表面爬行，所 以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成 平面图形(如图2)。又因为在平面上“两点之间的线段 长度最短”，所以连接AP，则线段AP为小虫爬行的最短路线。 练习与思考 1.如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果 将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点B、点D分别与哪个点 重合? 2.如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从A点沿表 面爬向B点。请画出蚂蚁爬行的最短路线。问：这样的路线共有几条? 3.将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体。这张 长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米? 4.一块长方形的铁皮，长28厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正 方形，然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的容积是960 立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。 5.如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上 数，使其对面两数之和为7，则A、B、c处填的数各是多少?
第二讲长方体和正方体的表面积 在数学竞赛中,有许多问题涉及到长方体和正方体表面积的计算。这些知识不仅 有趣而且具有一定的实用性和思考价值。解答长方体和正方体表面积的问题时,需要 同学们具备较强的观察能力、作图能力以及空间想像能力,另外还要掌握一些解题的 思路和技巧。 例题选讲 例1:一个长方体,前面和上面的面积之和是88平方厘米,这个长方体的长、宽、高是 以厘米为单位的数,且都是质数,求这个长方体的表面积。 【分析与解答】要求长方体的表面积,就要求长方体的长、宽、高。根据题意,前面 与上面的面积之和是88平方厘米,也就是长×高+长x宽=88,即长×(高+宽)=88因为 长、宽、高都是质数,我们把88分解质因数得88=1×2×2×2,依题意,11不能分成 两个质数和,经试验,有两种情况符合条件,(1)11×(3+5):88(2)2×(41+3)-88 因此长方体的表面积可以有两种情况 解:88-11×2X2×2,2×2×2:3+5,11×2×2-41+3。长方体的表面积:(1)(11 ×3+11×5+5×3)×2=206(平方厘米)(2)(2×3+2x41+41×3)×2-422(平方厘米) 例2:如图,将3个表面积都是24平方米的正方体木块粘成一个长方体, 求这个长方体的表面积。 【分析与解答】仔细观察图形,不难看出3个正方体块粘成1个长方体,{… 共有2个粘接处,每一处都有2个面粘在一起,两处共粘去4个面,因此 粘成的长方体的表面积等于(6×3-4)个面的面积,即24÷6×(6x3-4)=56(平方厘 米) 例3:如图所示的是用19个棱长为1厘米的正方体堆起来的立体图形,其中 有一些正方体看不见,那么这个立体图形的表面积是多少? 【分析与解答】仔细观察图形,虽然这个立体图形是不规则的,但是从前 面看到的面与从后面看到的面个数是相等,同理从左、右看到的面个数是 相等的,从上、下看到的面是一致的,所以这个立体图形的表面积等于(前 面十上面+左面)×2,即(10+9+8)×2=54(平方厘米)。 练习与思考 1.有一个长方体,前面和上面两个面面积和为209平方厘米,并且长、宽、高都是以 厘米为单位的数,且都是质数,求这个长方体的表面积。 2.将两个长都是8厘米,6厘米,高都是5厘米的长方体拼成一个大长方 体,那么这个大长方体表面积最大是多少平方厘米? 如图所示的是由17个边长是1厘米的小正方体拼成的立体图形,求它 的表面积。 4有一个长方体,长是8厘米,宽是4厘米,高是6厘米,把它截成棱长是2厘米的若干 个小正方体,这些小正方体表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米?
第二讲 长方体和正方体的表面积 在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方体表面积的计算。这些知识不仅 有趣而且具有一定的实用性和思考价值。解答长方体和正方体表面积的问题时，需要 同学们具备较强的观察能力、作图能力以及空间想像能力，另外还要掌握一些解题的 思路和技巧。 例题选讲 例1:一个长方体，前面和上面的面积之和是88平方厘米，这个长方体的长、宽、高是 以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。 【分析与解答】要求长方体的表面积，就要求长方体的长、宽、高。根据题意，前面 与上面的面积之和是88平方厘米，也就是长×高+长x宽=88，即长×(高+宽)=88因为 长、宽、高都是质数，我们把88分解质因数得88=1l×2×2×2，依题意，11不能分成 两个质数和，经试验，有两种情况符合条件，(1)ll×(3+5)：88 (2)2×(41+3)一88， 因此长方体的表面积可以有两种情况。 解：88—11×2X2×2，2×2×2：3+5，11×2×2—41+3。长方体的表面积：(1)(11 ×3+1l×5+5×3)×2=206(平方厘米)(2)(2×3+2x4l+41×3)×2—422(平方厘米) 例2:如图，将3个表面积都是24平方米的正方体木块粘成一个长方体， 求这个长方体的表面积。 【分析与解答】仔细观察图形，不难看出3个正方体块粘成1个长方体， 共有2个粘接处，每一处都有2个面粘在一起，两处共粘去4个面，因此 粘成的长方体的表面积等于(6×3—4)个面的面积，即24÷6×(6 x3—4)=56(平方厘 米)。 例3:如图所示的是用19个棱长为1厘米的正方体堆起来的立体图形，其中 有一些正方体看不见，那么这个立体图形的表面积是多少? 【分析与解答】仔细观察图形，虽然这个立体图形是不规则的，但是从前 面看到的面与从后面看到的面个数是相等，同理从左、右看到的面个数是 相等的，从上、下看到的面是一致的，所以这个立体图形的表面积等于(前 面十上面+左面)×2，即(10+9+8)×2=54(平方厘米)。 练习与思考 1.有一个长方体，前面和上面两个面面积和为209平方厘米，并且长、宽、高都是以 厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。 2.将两个长都是8厘米，6厘米，高都是5厘米的长方体拼成一个大长方 体，那么这个大长方体表面积最大是多少平方厘米? 3.如图所示的是由17个边长是1厘米的小正方体拼成的立体图形，求它 的表面积。 4.有一个长方体,长是8厘米,宽是4 厘米，高是6厘米，把它截成棱长是2厘米的若干 个小正方体，这些小正方体表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米?
第三讲长方体和正方体的体积 前一讲,我们研究了长方体和正方体表面积的计算,其实在数学竞赛中,有关长 方体和正方体体积的知识也很重要。学习这一讲的知识更需要我们具备较强的观察能 力和空间想像能力 例题选讲 例1:如图,一个长方体木块,从上部和卞靠分别截去高2厘米和3厘米的长方体后, 便成为一个正方体,表面积减少了100平方厘米,原来长方体的体积是多少立方 厘米? 【分析与解答】仔细观察右图,截去上下两个长方体后减少的表面积就是两个长方体的 侧面积,也就相当于减少的是高为(2+3)厘米的长方体的侧面积,因此高为5厘米的长 方体每个侧面积是100÷4-25(平方厘米),那么长方体底面正方形的边长就是25÷ 5=5(厘米),所以原长方体的体积是:5×5×(2+5+3)=250(立方厘米) 例2:将两块棱长相等的正方体木块拼成一个长方体,已知长方体棱长总和是96厘米, 每块正方体木块的体积是多少立方厘米? 【分析与解答】根据题意,两个正方体棱长共有12×2=24(条)。当它们拼在一起成为一个长方体 时,由于两个面重合,也就减少了4×2=8(条)棱长,实际上就是拼成的长方体棱长总和相当于 248=16(条)正方体棱长总和,因此每条正方体棱长为96÷16=6(厘米),则每块正方体木块的体 积是:6×6×6=216(立方厘米) 例3:如图,正方体的棱长为4厘米,分别在前后、左右、上下各面中心凿开一个边 长1厘米的正方形小孔直至对面,求它的体积。 【分析与解答】仔细观察图形,每个凿去的小长方体体积均为:1×1×4=4(立方厘 米),共凿小长方体3个,即4×3=12(立方厘米),而实际上由于正中间相交,重 复凿去了2个1立方厘米的正方体小块,因此,这个物体的体积是4×4×4-12+1m 2=54(立方厘米)。 练习与思考 1.把一个长方体的长平均分成4段,每段长6厘米,表面积增加24平方厘米, 求原长方体的体积。 2.用大小相等的两个正方体积木拼成一个长方体,这个长方体的棱长总和是 80厘米,每个正方体的体积是多少立方厘米? 3.如图,在一个棱长为20厘米的正方体木块的前面、上面、右面中心位置,分别凿 个边长为4厘米的正方形小孔直至对面,做成玩具,求这个玩具的 4.一个长方体,它的前面和上面的面积之和是156平方厘米,并且 长、宽 高都是质数,这个长方体的体积是多少? 5.一个表面积是36。平方厘米的长方体,它恰好可以切成两个相同 的正方体,每个小正方体的体积是多少立方厘米? 6. 个长方体,它的底面是一个正方形,它的表面积是190平方厘米,如 果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体,则两个长方体的表面积之和是240 平方厘米,求原来长方体的体积
第三讲 长方体和正方体的体积 前一讲，我们研究了长方体和正方体表面积的计算，其实在数学竞赛中，有关长 方体和正方体体积的知识也很重要。学习这一讲的知识更需要我们具备较强的观察能 力和空间想像能力。 例题选讲 例 1:如图，一个长方体木块，从上部和卞靠分别截去高 2 厘米和 3 厘米的长方体后， 便成为一个正方体，表面积减少了 100 平方厘米，原来长方体的体积是多少立方 厘米? 【分析与解答】仔细观察右图，截去上下两个长方体后减少的表面积就是两个长方体的 侧面积，也就相当于减少的是高为(2+3)厘米的长方体的侧面积，因此高为 5 厘米的长 方体每个侧面积是 100÷4—25(平方厘米)，那么长方体底面正方形的边长就是 25÷ 5=5(厘米)，所以原长方体的体积是：5×5×(2+5+3)=250(立方厘米)。 例 2:将两块棱长相等的正方体木块拼成一个长方体，已知长方体棱长总和是96 厘米， 每块正方体木块的体积是多少立方厘米? 【分析与解答】根据题意，两个正方体棱长共有 12×2=24(条)。当它们拼在一起成为一个长方体 时，由于两个面重合，也就减少了 4×2=8(条)棱长，实际上就是拼成的长方体棱长总和相当于 24—8=16(条)正方体棱长总和，因此每条正方体棱长为 96÷16=6(厘米)，则每块正方体木块的体 积是：6×6×6=216(立方厘米)。 例 3:如图，正方体的棱长为 4 厘米，分别在前后、左右、上下各面中心凿开一个边 长 1 厘米的正方形小孔直至对面，求它的体积。 【分析与解答】仔细观察图形，每个凿去的小长方体体积均为：1×1×4=4(立方厘 米)，共凿小长方体 3 个，即 4×3=12(立方厘米)，而实际上由于正中间相交，重 复凿去了 2 个 1 立方厘米的正方体小块，因此，这个物体的体积是 4×4×4—12+1 ×2=54(立方厘米)。 练习与思考 1．把一个长方体的长平均分成 4 段，每段长 6 厘米，表面积增加 24 平方厘米， 求原长方体的体积。 2．用大小相等的两个正方体积木拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是 80 厘米，每个正方体的体积是多少立方厘米? 3．如图，在一个棱长为 20 厘米的正方体木块的前面、上面、右面中心位置，分别凿 一个边长为 4 厘米的正方形小孔直至对面，做成玩具，求这个玩具的 4． 一个长方体，它的前面和上面的面积之和是 156 平方厘米，并且 长、宽、 高都是质数，这个长方体的体积是多少? 5．一个表面积是 36。平方厘米的长方体，它恰好可以切成两个相同 的正方体，每个小正方体的体积是多少立方厘米? 6． 一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是 190 平方厘米，如 果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体的表面积之和是 240 平方厘米，求原来长方体的体积
第四讲水面高度变化和等积变换 水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积计算的变题,是指把一个物体放入盛水的长方 体或正方体容器中,水面将上升:或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出,水面会 下降一类的问题。解答时,同学们要仔细观察水面高度变化的现象,发挥空间想像力,发现体积 变化的规律,从而解决实际问题。等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换,改造成另一种形状 的物体,虽然形状变了,但是体积没有发生变化。解答时,应该抓住体积不变这一突口,再根据 实际问题进行认真分析,从而寻求解决问题的方法。 例题选讲 例1:在一个长25分米,宽20分米的长方体容器中,有15分米深的水。如果在水中 沉入一个棱长是50厘米的正方体铁块,那么容器中水深多少分米?、 【分析与解答】根据题意,正方体铁块沉入长方体容器中后,水面会上升,而上升部分的水的体 积与正方体铁块的体积相等,因此就可以求出上升部分水的高度,那么现在的水深就迎刃而解了 解:50厘米一5分米 5÷(25X20)+15 =0.25+15 =15.25(分米) 答:容器中水深15.25分米 例2:一个长方体水箱,底面是一个边长为50厘米的正方形。水箱里直立着一个高10 分米,底面边长是25厘米的长方体铁块,这时水箱里的水深6分米。现在把铁块轻 轻地向上提起20厘米,那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长 多少厘米? 【分析与解答】露出水面的铁块上被水浸湿的部分包括向上提起的20厘米和铁块提起后水面下 降的高度两部分。而下降部分水的体积就等于提起的20厘米的铁块的体积,因此水面下降的高 度就可以用高20厘米的铁块体积除以水箱的底面积求得。 解:25×25×20÷(50×50)+20 =5+20 练子 1.在一个长20分米,宽15分米的长方体容器中,有20分米深的水。现在在水中沉 入一个棱长15分米的正方体铁块,这时容器中的水深多少分米? 2.一个长方体容器.,长90厘米,宽40厘米。容器里直立着一个高1米,底面边长 是15厘米的长方体铁块,这时容器里的水深0.5米。 3.一个棱长6分米的正方体容器,装满了水。现将正方体容器里的水倒人一个长12 分米,宽6分米,高5分米的长方体水槽中,求现在长方体水槽中水面到水槽口的距 离 4.现在把铁块轻轻向上提起24厘米,那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少 厘米? 5.一个长方体水箱,从里面量长8分米,宽6分米。先倒入165升水,再浸入一块 棱长3分米的正方体铁块,这时水面离水箱口1分米。问:这个水箱的容积是多少? 6.在一个长15分米,宽12分米的长方体容器中,水深10分米。如果在水中浸入 个棱长是30厘米的正方体铁块,那么,容器中水深多少分米? 7.有大、中、小三个底面是正方形的水池,它们底面的边长分别是5米、3米、 2米,把两堆碎石分别沉人中、小水池的水里,两个水池的水面分别升高6厘米和4 厘米。如果将这两堆碎石都沉人大水池的水里,大水池的水面升高多少厘米? 8.一个长方体容器里面装有水,一块棱长24厘米的正方体铁块浸没在水中。现将铁 块取出,水面下降18厘米;如果将一个长18厘米,宽16厘米,高12厘米的长方体 铁块浸入水中:水面将上升多少厘米?
第四讲 水面高度变化和等积变换 水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积计算的变题，是指把一个物体放入盛水的长方 体或正方体容器中，水面将上升；或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出，水面会 下降一类的问题。解答时，同学们要仔细观察水面高度变化的现象，发挥空间想像力，发现体积 变化的规律，从而解决实际问题。等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换，改造成另一种形状 的物体，虽然形状变了，但是体积没有发生变化。解答时，应该抓住体积不变这一突口，再根据 实际问题进行认真分析，从而寻求解决问题的方法。 例题选讲 例 1:在一个长 25 分米，宽 20 分米的长方体容器中，有 15 分米深的水。如果在水中 沉入一个棱长是 50 厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米? 、 【分析与解答】根据题意，正方体铁块沉入长方体容器中后，水面会上升，而上升部分的水的体 积与正方体铁块的体积相等，因此就可以求出上升部分水的高度，那么现在的水深就迎刃而解了。 解：50 厘米一 5 分米 5÷(25X20)+15 =O．25+15 =15．25(分米) 答：容器中水深 15．25 分米。 例 2:一个长方体水箱，底面是一个边长为 50 厘米的正方形。水箱里直立着一个高 10 分米，底面边长是 25 厘米的长方体铁块，这时水箱里的水深 6 分米。现在把铁块轻 轻地向上提起 20 厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长 多少厘米? 【分析与解答】露出水面的铁块上被水浸湿的部分包括向上提起的 20 厘米和铁块提起后水面下 降的高度两部分。而下降部分水的体积就等于提起的 20 厘米的铁块的体积，因此水面下降的高 度就可以用高 20 厘米的铁块体积除以水箱的底面积求得。 解：25×25×20÷(50×50)+20 =5+20 =25(厘米) 练习与思考 1．在一个长 20 分米，宽 15 分米的长方体容器中，有 20 分米深的水。现在在水中沉 入一个棱长 15 分米的正方体铁块，这时容器中的水深多少分米? 2．一个长方体容器．，长 90 厘米，宽 40 厘米。容器里直立着一个高 1 米，底面边长 是 15 厘米的长方体铁块，这时容器里的水深 0．5 米。 3．一个棱长 6 分米的正方体容器，装满了水。现将正方体容器里的水倒人一个长 12 分米，宽 6 分米，高 5 分米的长方体水槽中，求现在长方体水槽中水面到水槽口的距 离。 4．现在把铁块轻轻向上提起 24 厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少 厘米? 5．一个长方体水箱，从里面量长 8 分米，宽 6 分米。先倒入 165 升水，再浸入一块 棱长 3 分米的正方体铁块，这时水面离水箱口 1 分米。问：这个水箱的容积是多少? 6．在一个长 15 分米，宽 12 分米的长方体容器中，水深 10 分米。如果在水中浸入一 个棱长是 30 厘米的正方体铁块，那么，容器中水深多少分米? 7．有大、中、小三个底面是正方形的水池，它们底面的边长分别是 5 米、3 米、 2 米，把两堆碎石分别沉人中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高 6 厘米和 4 厘米。如果将这两堆碎石都沉人大水池的水里，大水池的水面升高多少厘米？ 8．一个长方体容器里面装有水，一块棱长 24 厘米的正方体铁块浸没在水中。现将铁 块取出，水面下降 18 厘米；如果将一个长 18 厘米，宽 16 厘米，高 12 厘米的长方体 铁块浸入水中：水面将上升多少厘米?
第五讲列方程解题 有数量关系比较复杂的应用题,特别是需要逆向思维的应用题,运用算术方法解答比较困难 如果列方程解答,通过设未知数,把未知数当作己知数来考虑数量 关系,抓住数量之间的相等关系,列出方程式解答就比较容易了 例题选讲 例1:御苑小学五(3)班的同学合买一件生日礼物送给班主任。如果每人出8元,就 多84元,如果每人出6元,那么就少12元,御苑小学五(3)班有多少名学生? 【分析与解答】从给出的条件分析,用算术方法解答问题有些困难,似乎数量关系不明显,但深入分析可以看出 同学们买的是同一件生日礼物,因比价格是一定的,即每人出8元表示的总价与每人出6元表示的总价相等,可 以列出以下方程式解答。 解:设御苑小学五(3)班有x名学生。 8x-84=6x+12 8x一6x=12+84 2x=96 答:御苑小学五(3)班有48名学生 例2:胜利大队粮库里的大米是面粉的2倍,现在用卡车运走,每辆卡车装4吨大米 和3吨面粉,当面粉运完时,还剩20吨大米,粮库里原来有大米和面粉共多少吨? 【分析与解答】这道题的未知数量比较多:有大米、面粉的重量和卡车的数量,那么设哪个未知数为x比较合适 呢?我们仔细分析一下等量关系,容易看出运大米的卡车数量与运面粉的卡车数量相等,如果设面粉有x吨,则 大米有2x吨,根据卡车数量相等可以列出方程(2x-20)÷4=x÷3再进一步分析已知条件,可以看出另一个等量 关系,即大米的重量等于面粉重量的2倍。我们设有x辆卡车,根据等量关系可列出方程:4x+20=3x×2比较两 种方法,发现后一种方法列出的方程式比较容易解答 练习与思考 1.爸爸带一些钱去买酸奶,如果买10瓶就剩下4元,如果买12瓶同样的酸奶则差 5.2元。问:每瓶酸奶多少元?爸爸带了多少钱? 2.滨江小学体育室里的篮球是足球的3倍。体育课上,每班借8只篮球、5只足球, 足球借完时还有84只篮球。问:体育室原来有篮球和足球共多少只?。 3.某校五、六年级的学生乘公交车去秋游。如果每车坐60人,则有20人没有座位 如果每车多坐5人,则有一辆车空出45个座位。请问:一共有多少辆公交车?五、六 年级去秋游的学生一共有多少人? 4一条船从甲港到乙港顺流丽下,再从乙港返回共用了8小时,已知这船在静水中的 速度是每小时,20千米,水流速度是每小时5千米。请问:甲、乙两港之间的距离 是多少千米? 5.4个人的年龄之和是77岁,最小的是10岁,他与年龄最大的人的年龄之和比其他 两人的年龄之和大7。问:年龄最大的人是多少岁? 6.一个两位数,十位数上的数字是个位上数字的1.5倍,如果调换十位与个位上的 数字,则新数比原数小18,求原来的数。 7.甲每分钟走‘50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米,甲、乙从A地出发, 丙从B地出发,丙遇到乙以后2分钟又遇到甲,求A、B两地的距离
第五讲 列方程解题 有数量关系比较复杂的应用题，特别是需要逆向思维的应用题，运用算术方法解答比较困难， 如果列方程解答，通过设未知数，把未知数当作已知数来考虑数量 关系，抓住数量之间的相等关系，列出方程式解答就比较容易了。 例题选讲 例 1：御苑小学五(3)班的同学合买一件生日礼物送给班主任。如果每人出 8 元，就 多 84 元，如果每人出 6 元，那么就少 12 元，御苑小学五(3)班有多少名学生? 【分析与解答】从给出的条件分析，用算术方法解答问题有些困难，似乎数量关系不明显，但深入分析可以看出 同学们买的是同一件生日礼物，因比价格是一定的，即每人出 8 元表示的总价与每人出 6 元表示的总价相等，可 以列出以下方程式解答。 解：设御苑小学五(3)班有 x 名学生。 8x-84=6x+12 8x 一 6x=12+84 2x=96 x=48 答：御苑小学五(3)班有 48 名学生。 例 2：胜利大队粮库里的大米是面粉的 2 倍，现在用卡车运走，每辆卡车装 4 吨大米 和 3 吨面粉，当面粉运完时，还剩 2 0 吨大米，粮库里原来有大米和面粉共多少吨? 【分析与解答】这道题的未知数量比较多：有大米、面粉的重量和卡车的数量，那么设哪个未知数为 x 比较合适 呢?我们仔细分析一下等量关系，容易看出运大米的卡车数量与运面粉的卡车数量相等，如果设面粉有 x 吨，则 大米有 2x 吨，根据卡车数量相等可以列出方程(2x 一 20)÷4=x÷3 再进一步分析已知条件，可以看出另一个等量 关系，即大米的重量等于面粉重量的 2 倍。我们设有 x 辆卡车，根据等量关系可列出方程：4x+20=3x×2 比较两 种方法，发现后一种方法列出的方程式比较容易解答。 练习与思考 1．爸爸带一些钱去买酸奶，如果买 1 O 瓶就剩下 4 元，如果买 12 瓶同样的酸奶则差 5.2 元。问：每瓶酸奶多少元?爸爸带了多少钱？ 2.滨江小学体育室里的篮球是足球的 3 倍。体育课上，每班借 8 只篮球、5 只足球， 足球借完时还有 84 只篮球。问：体育室原来有篮球和足球共多少只?。 3.某校五、六年级的学生乘公交车去秋游。如果每车坐 60 人，则有 20 人没有座位； 如果每车多坐 5 人，则有一辆车空出 45 个座位。请问：一共有多少辆公交车?五、六 年级去秋游的学生一共有多少人? 4.一条船从甲港到乙港顺流丽下，再从乙港返回共用了 8 小时，已知这船在静水中的 速度是每小时，20 千米，水流速度是每小时 5 千米。请问：甲、乙两港之间的距离 是多少千米? 5.4 个人的年龄之和是 77 岁，最小的是 10 岁，他与年龄最大的人的年龄之和比其他 两人的年龄之和大 7。问：年龄最大的人是多少岁? 6.一个两位数，十位数上的数字是个位上数字的 1．5 倍，如果调换十位与个位上的 数字，则新数比原数小 18，求原来的数。 7.甲每分钟走‘50 米，乙每分钟走 60 米，丙每分钟走 70 米，甲、乙从 A 地出发， 丙从 B 地出发，丙遇到乙以后 2 分钟又遇到甲，求 A、B 两地的距离
第六讲假设法解题 “假设法”是解决问题常用的一种思维方法,是指在解决问题的过程中,根据题 目的条件或结论作出某种假设,然后根据假设进行推算,当出现矛盾时,则分析矛盾 产生的原因,并对照已知条件进行适当调整,最后找到解决问题的方法。 例题选讲 1:有5元和10元的邮票共20张,总面值125元。问:5元的和10元的邮票各多 少张?【分析与解答】假设20张邮票都是10元的,总面值应该是10×20一200(元),而实际上只有125元 实际比假设少200-125-75(元),仔细分析一下为什么比假设少75元呢?原因就是把5元的邮票当作10元算的、, 每张就多算10-5= (元),因此可以求出5元的邮票张数75÷5=15(张)则10元的邮票张数为20-15=5(张) 解:(10×20-125)÷(10一5) 75÷5=15(张)……5元的邮票张数 20-15=5(张)……10元的邮票张数 答:5元的邮票15张,10元的邮票5张。 请同学想想如果假设2张邮票都是5元的.应该如何解答呢? 例2:中央百货公司委托搬运公司送1000只茶杯,双方签订合同每只运费是0.3元如 果打破1只,不但不付运费,而且还要照价赔偿1.5元。结果搬运公司共得运费291 元。问:搬运公司在搬运过程中打破了几只茶杯? 【分析与解答】假设在搬运过程中没有茶杯被打破,那么应该得运费0.3x1000300元),而实际上 只就损失:0.31.5=1.8(元),因此在搬运过程中打破了9÷1.85,个到运费,还要赔偿,所以打破1 却少得了运费(300—291)=9(元),原因是打破了几只茶杯,每打破1只不但拿 解:(0.3X1000-291)÷(0.3+1.5) =9÷1.8 答:在搬运过程中打破了5只茶杯。 练习与思考 1.笼中共有鸡兔100只,鸡兔共有280只脚。问:鸡兔各有多少只? 2.某搬运站为某商店运800只花瓶,运费为每只3元,如果损坏一只,不但不给运 费还要照价赔偿5元,结果搬运站共得运费2352元。问:搬运公司在搬运过程中打 破几只花瓶? 3.松鼠爸爸采松子,晴天可以采30个,雨天只能采20个,它一连几天共采了240个 松子,平均每天采24个。问:这几天当中有几个晴天?几个雨天? 4.甲、乙两人进行投飞镖比赛,规定每中一次记10分,脱靶一次扣6分,两人各投 10次,共得152分,其中甲比乙多16分。问:甲、乙两人各投中几次? 5.蜘蛛有8只脚,没有翅膀,蜻蜓有6只脚和2对翅膀,蝉有6只脚和1对翅膀, 现在这三种小动物共78只脚,13对翅膀。问:每种小动物各有几只? 6.甲仓库存粮是乙仓库的2倍,甲仓库每天运出40吨,乙仓库每天运出30吨,若 干天后,乙仓库的粮食运完了,甲仓库还有80吨。问:甲、乙两个仓库原来各有粮 食多少吨? 7.一堆硬币:面值为1分、2分、5分三种,其中1分的个数是2分的11倍,如果 这堆硬币共1元,那么5分硬币有多少个? 8.某班同学参加学校的数学竞赛,试题共50道。评分标准是:答对1题给3分,不 答给1分,答错倒扣1分。请你说明:该班同学得分总和一定是偶数
第六讲 假设法解题 “假设法”是解决问题常用的一种思维方法，是指在解决问题的过程中，根据题 目的条件或结论作出某种假设，然后根据假设进行推算，当出现矛盾时，则分析矛盾 产生的原因，并对照已知条件进行适当调整，最后找到解决问题的方法。 例题选讲 例 1:有 5 元和 10 元的邮票共 20 张，总面值 125 元。问：5 元的和 10 元的邮票各多 少张?【分析与解答】假设 20 张邮票都是 10 元的，总面值应该是 10×20 一 200(元)，而实际上只有 125 元， 实际比假设少 200—125—75(元)，仔细分析一下为什么比假设少 75 元呢?原因就是把 5元的邮票当作 10 元算的、， 每张就多算 10-5= 5(元)，因此可以求出 5 元的邮票张数 75÷5=15(张)则 10 元的邮票张数为 20—15=5(张)。 解：(10×20—125)÷(10 一 5) =75÷5=15(张)……5 元的邮票张数 20-15=5(张)……10 元的邮票张数 答：5 元的邮票 15 张，10 元的邮票 5 张。 请同学想想如果假设 2 张邮票都是 5 元的．应该如何解答呢? 例 2:中央百货公司委托搬运公司送 1000 只茶杯，双方签订合同每只运费是 O.3 元如 果打破 1 只，不但不付运费，而且还要照价赔偿 1．5 元。结果搬运公司共得运费 291 元。问：搬运公司在搬运过程中打破了几只茶杯? 【分析与解答】 假设在搬运过程中没有茶杯被打破，那么应该得运费 O．3 x 1000=300(元)，而实际上 却少得了运费(300—291)=9(元)，原因是打破了几只茶杯，每打破 1 只不但拿不到运费，还要赔偿，所以打破 1 只就损失：0．3+1．5=1．8(元)，因此在搬运过程中打破了 9÷1．8=5(只)。 解：(O．3X1000—291)÷(O．3+1．5) =9÷1．8 =5(只) 答：在搬运过程中打破了 5 只茶杯。 练习与思考 1．笼中共有鸡兔 100 只，鸡兔共有 280 只脚。问：鸡兔各有多少只? 2．某搬运站为某商店运 800 只花瓶，运费为每只 3 元，如果损坏一只，不但不给运 费还要照价赔偿 5 元，结果搬运站共得运费 2352 元。问：搬运公司在搬运过程中打 破几只花瓶? 3．松鼠爸爸采松子,晴天可以采 30 个,雨天只能采 20 个，它一连几天共采了 240 个 松子，平均每天采 24 个。问：这几天当中有几个晴天?几个雨天? 4．甲、乙两人进行投飞镖比赛，规定每中一次记 10 分，脱靶一次扣 6 分，两人各投 l0 次，共得 152 分，其中甲比乙多 16 分。问：甲、乙两人各投中几次？ 5．蜘蛛有 8 只脚，没有翅膀，蜻蜓有 6 只脚和 2 对翅膀，蝉有 6 只脚和 1 对翅膀， 现在这三种小动物共 78 只脚，13 对翅膀。问：每种小动物各有几只? 6．甲仓库存粮是乙仓库的 2 倍，甲仓库每天运出 40 吨，乙仓库每天运出 30 吨，若 干天后，乙仓库的粮食运完了，甲仓库还有 80 吨。问：甲、乙两个仓库原来各有粮 食多少吨? 7．一堆硬币：面值为 1 分、2 分、5 分三种，其中 1 分的个数是 2 分的 ll 倍，如果 这堆硬币共 1 元，那么 5 分硬币有多少个? 8．某班同学参加学校的数学竞赛，试题共 50 道。评分标准是：答对 l 题给 3 分，不 答给 1 分，答错倒扣 1 分。请你说明：该班同学得分总和一定是偶数
第七讲代换法解题 在一些较复杂的应用题中,经常会出现两个或两个以上的未知量,但是这些未知量 是有一定的逻辑关系的。解题时,可以用其中一个未知量通过等量代换,代替其它未 知量,从而使复杂的问题变得简单,这种解题的方法称为代换法 例题选讲 例1:一个足球的价格等于两个篮球的价格,也等于三个排球的价格,还等于一个篮 球加一个排球和一个垒球的价格。那么一个足球等于多少个垒球的价格? 【分析与解答】这道题条件比较多,我们把条件摘录如下,列出等式:1个足球:2个篮球, 个足球=3个排球,一个足球=1个篮球+1个排球+1个垒球,由此可以推出2个篮球=3个排球,即 1个篮球:1.5个排球,又1个篮球:1个排球+1个垒球,所以1个垒球一0.5个排球,即2 个垒球=1个排球,因此1个足球=2×3=6(个)垒球 例2:5只同样的红球和18只同样的绿球共重396克,已知1只红球和3只绿球的重 量相等,求每只红球和每只绿球各重多少克? 【分析与解答】摘录条件:(1)5只红球+18只绿球=396,(2)1只红球=3只绿球,由(2)可得5 只红球=15只绿球,因此用15只绿球代替(1)中5只红球可得15只绿球+18只绿球=396,即33 只绿球=396,所以每只绿球=396÷(15+18)=12(克),每只红球的重量=12×3=36(克)。 同学们想一想用几只同样的红球可以代换18只绿球,又如何计算呢? 例3:甲、乙、丙三人,甲的年龄比乙的2倍大3岁,乙的年龄比丙的2倍小2岁, 三人年龄之和是109岁。问:三人各几岁? 【分析与解答】摘录条件(1)甲=2乙+3,(2)乙=2丙-2,由(2)可得2乙=4丙-4,又根据(1)可得 甲=4丙=1,如果甲正好是丙的4倍,乙正好是丙的2倍,那么年龄和应是(109+1+2)=112(岁), 也就相当于丙的(4+2+1)倍,因此丙的年龄=112÷7=16(岁)。乙的年龄:16X2-2=30(岁),甲的 年龄=30×2+3=63(岁) 练习与思考 1.2只红球与4只蓝球的重量相等,3只蓝球的重量等于1只红球加1只黑球的重量, 那么几只黑球的重量等于3只红球加4只蓝球的重量? 2.百货商店运来400双球鞋,分别装在2个木箱和6个纸箱中,如果2个纸箱同1 个木箱装的鞋一样多,那么每个木箱和每个纸箱各装多少双鞋? 3.有红、黄、蓝三色笔共4枝,已知红色笔比黄色笔的2倍少2枝,黄色笔比蓝色 笔的2倍多4枝,求三色笔各多少枝? 4.一批货物,如果用大号集装箱要20只箱子,如果用小号集装箱装,要25只箱子, 已知大号箱比小号箱可多装货物200千克,求这批货物重多少千克? 5.学校图书馆购买5本科技书和3本文学书共用去147.5元,如果用1本文学书换 回2本科技书,那么还要用去7.3元。问:科技书和文学书每本的价格各是多少元? 6.甲、乙、丙、丁四个数的和是325,如果甲加上10,乙减去5,丙乘以2,丁除以 3,那么四个数恰好相等,求丁数 7.甲、乙两数之差是17.82,如果将乙的小数点向右移动两位就与甲数相等。求甲 乙两数分别是多少?
第七讲 代换法解题 在一些较复杂的应用题中，经常会出现两个或两个以上的未知量，但是这些未知量 是有一定的逻辑关系的。解题时，可以用其中一个未知量通过等量代换，代替其它未 知量，从而使复杂的问题变得简单，这种解题的方法称为代换法。 例题选讲 例 1:一个足球的价格等于两个篮球的价格，也等于三个排球的价格，还等于一个篮 球加一个排球和一个垒球的价格。那么一个足球等于多少个垒球的价格? 【分析与解答】这道题条件比较多，我们把条件摘录如下，列出等式：1 个足球：2 个篮球，1 个足球=3 个排球，一个足球=1 个篮球+1 个排球+1 个垒球，由此可以推出 2 个篮球=3 个排球，即 1 个篮球：1．5 个排球，又 1 个篮球：1 个排球+1 个垒球，所以 1 个垒球一 O．5 个排球，即 2 个垒球=1 个排球，因此 1 个足球=2×3=6(个)垒球。 例 2:5 只同样的红球和 18 只同样的绿球共重 396 克，已知 1 只红球和 3 只绿球的重 量相等，求每只红球和每只绿球各重多少克? 【分析与解答】摘录条件：(1)5 只红球+18 只绿球=396，(2)1 只红球=3 只绿球，由(2）可得 5 只红球=15 只绿球，因此用 15 只绿球代替（1）中 5 只红球可得 15 只绿球+18 只绿球=396，即 33 只绿球=396，所以每只绿球=396÷(15+18)=12(克)，每只红球的重量=12×3=36(克)。 同学们想一想用几只同样的红球可以代换 18 只绿球，又如何计算呢? 例 3:甲、乙、丙三人，甲的年龄比乙的 2 倍大 3 岁，乙的年龄比丙的 2 倍小 2 岁， 三人年龄之和是 109 岁。问：三人各几岁? 【分析与解答】摘录条件(1)甲=2 乙+3，(2)乙=2 丙-2，由(2)可得 2 乙=4 丙-4，又根据(1)可得 甲=4 丙=1，如果甲正好是丙的 4 倍，乙正好是丙的 2 倍，那么年龄和应是(109+l+2)=112(岁)， 也就相当于丙的(4+2+1)倍，因此丙的年龄=112÷7=16(岁)。乙的年龄：16X2—2=30(岁)，甲的 年龄=30×2+3=63(岁)。 练习与思考 1.2 只红球与 4 只蓝球的重量相等，3 只蓝球的重量等于 1 只红球加 1 只黑球的重量， 那么几只黑球的重量等于 3 只红球加 4 只蓝球的重量? 2.百货商店运来 400 双球鞋，分别装在 2 个木箱和 6 个纸箱中，如果 2 个纸箱同 1 个木箱装的鞋一样多，那么每个木箱和每个纸箱各装多少双鞋? 3.有红、黄、蓝三色笔共 94 枝，已知红色笔比黄色笔的 2 倍少 2 枝，黄色笔比蓝色 笔的 2 倍多 4 枝，求三色笔各多少枝? 4.一批货物，如果用大号集装箱要 20 只箱子，如果用小号集装箱装，要 25 只箱子， 已知大号箱比小号箱可多装货物 200 千克，求这批货物重多少千克? 5.学校图书馆购买 5 本科技书和 3 本文学书共用去 147．5 元，如果用 1 本文学书换 回 2 本科技书，那么还要用去 7．3 元。问：科技书和文学书每本的价格各是多少元? 6.甲、乙、丙、丁四个数的和是 325，如果甲加上 lO，乙减去 5，丙乘以 2，丁除以 3，那么四个数恰好相等，求丁数。 7.甲、乙两数之差是 17．82，如果将乙的小数点向右移动两位就与甲数相等。求甲、 乙两数分别是多少?
第八讲消去法解题 有些较复杂的应用题,给出了两个或两个以上的未知量,在解题时除了运用前 讲代换法来解答,还可以运用另一种方法一一消去法。消去法解题是指在求多个未知 量时,通过比较已知条件,分析对应未知数量的变化情况,设法消去其中一个未知量, 使复杂问题简单化。 例题选讲 克颦粲籍7￥石子,卖积5克桔桌莉君李的箪价否是少瓷了罗三部 答】根据已知条件写出下列数量关系式 3千克苹果的价格+5千克桔子的价格=14.5元 3千克苹果的价格+7千克桔子的价格=18.5 比较①、②两个等式,我们可以看出,14.5元与18.5元的差价正好是(7—5)千克桔子的价格。因为两次买 的苹果重量相同,根据这个条件,在解答时可以把3千克苹果的价格消去,先求桔子的价格,再求苹果的价格。 解:(18.5-14.5)÷(7-5) =2(元)……桔子的单价 (14.5-2×5)÷3 苹果单价 答:苹果的单价是1.5元,桔子的单价是2元 例2:紫金小学买了4个足球和12个篮球,一共用去980元,育才小学买了同样的8 个足球和10个篮球,一共用去1190元。每个足球和每个篮球各多少元? 【分析与解答】“先列出数量关系式 4个足球的价钱十12个篮球的价钱=980元① 8个足球的价钱+10个篮球的价钱=1190元② 与例1比较①、②两个等式中没有相同数量的量,这样就不能直接消去其中的一个未知量。那怎么办呢?仔细 观察比较①、②两个数量关系式,不难看出②式中足球数量是①式中足球数量的2倍,如果把①式中未知量的数 量扩大2倍,问题就迎刃而解了 解:根据已知条件可得8个足球的价钱+24个篮球的价钱:1960元 (1960一1190)÷(24一10 770÷14 =55(元)……篮球的单价 (980-55×12)÷4 =80(元)……足球单价 答:每个足球80元,每个篮球55元。 练习与思考 1.食堂第一次运来6袋大米和4袋面粉,一共重400千克,第二次又运来9袋大米和 4袋面粉,一共重550千克。每袋大米和每袋面粉各重多少千克? 2.小明和小刚去商店买文具用品,小明买了1枝钢笔和2块橡皮共用去14元,小刚 买同样的2枝钢笔和8块橡皮共用去36元。问:钢笔和橡皮的单价各是多少元?, 3.文峰水果超市购买5筐苹果和7筐梨共重135千克,第二天又购买了同样的苹果 筐、梨5筐共重85千克。问:每筐苹果和每筐梨各多少千克? 4学校买来5包科技书和7包故事书共620本,6包科技书和3包故事书420本。问 每包科技书和每包故事书各多少本?
第八讲 消去法解题 有些较复杂的应用题，给出了两个或两个以上的未知量，在解题时除了运用前一 讲代换法来解答，还可以运用另一种方法——消去法。消去法解题是指在求多个未知 量时，通过比较已知条件，分析对应未知数量的变化情况，设法消去其中一个未知量， 使复杂问题简单化。 例题选讲 例 1:妈妈第一次买了 3 千克苹果和 5 千克桔子，共用去 14．5 元；第二次又买了 3 千克苹果和 7 千克桔子，共用去 18．5 元。苹果和桔子的单价各是多少元?【分析与解 答】根据已知条件写出下列数量关系式： 3 千克苹果的价格+5 千克桔子的价格=14．5 元① 3 千克苹果的价格+7 千克桔子的价格=18．5 元② 比较①、②两个等式，我们可以看出，14．5 元与 18．5 元的差价正好是(7—5)千克桔子的价格。因为两次买 的苹果重量相同，根据这个条件，在解答时可以把 3 千克苹果的价格消去，先求桔子的价格，再求苹果的价格。 解：(18．5—14．5)÷(7—5) =4÷2 =2(元)……桔子的单价 (14．5—2×5)÷3 =4．5÷3 =1．5(元)……苹果单价 答：苹果的单价是 1．5 元，桔子的单价是 2 元。 例 2: 紫金小学买了 4 个足球和 12 个篮球，一共用去 980 元，育才小学买了同样的 8 个足球和 10 个篮球，一共用去 1 1 90 元。每个足球和每个篮球各多少元? 【分析与解答】‘先列出数量关系式。 4 个足球的价钱十 12 个篮球的价钱=980 元 ① 8 个足球的价钱+10 个篮球的价钱=1190 元 ② 与例 1 比较①、②两个等式中没有相同数量的量，这样就不能直接消去其中的一个未知量。那怎么办呢?仔细 观察比较①、②两个数量关系式，不难看出②式中足球数量是①式中足球数量的 2 倍，如果把①式中未知量的数 量扩大 2 倍，问题就迎刃而解了。 解：根据已知条件可得 8 个足球的价钱+24 个篮球的价钱：1960 元 (1960 一 1190)÷(24 一 lO) =770÷14 =55(元)……篮球的单价 (980—55×12)÷4 =320÷4 =80(元)……足球单价 答：每个足球 80 元，每个篮球 55 元。 练习与思考 1.食堂第一次运来 6 袋大米和 4 袋面粉，一共重 400 千克，第二次又运来 9 袋大米和 4 袋面粉，一共重 550 千克。每袋大米和每袋面粉各重多少千克? 2.小明和小刚去商店买文具用品，小明买了 1 枝钢笔和 2 块橡皮共用去 14 元，小刚 买同样的 2 枝钢笔和 8 块橡皮共用去 36 元。问：钢笔和橡皮的单价各是多少元?， 3.文峰水果超市购买 5 筐苹果和 7 筐梨共重 135 千克，第二天又购买了同样的苹果 3 筐、梨 5 筐共重 85 千克。问：每筐苹果和每筐梨各多少千克? 4.学校买来 5 包科技书和 7 包故事书共 620 本，6 包科技书和 3 包故事书 420 本。问： 每包科技书和每包故事书各多少本?
第九讲作图法解题 图形具有直观性,用作图的方法可以将复杂应用题的数量关系直观地表示出来, 使题目的已知条件和所求问题一目了然,并借助直观的图形进行分析、推理,进而很 快找到解决问题的策略。这种方法我们称为作图法解题,特别是对解答条件复杂、数 量关系不明显的应用题,能起到化难为易的作用 例题选讲 例1:鸡与兔同笼共100只,一共有240只脚鸡与兔各多少只? 【分析与解答】这是鸡兔同笼问题,我们在前几讲已学会用其它方法解答,现在用作图法来解答, 让同,学们体会一下这种方法的作用。图1中两个长方形的总面积表示的是鸡与兔脚的总个数 宽表示每只鸡与兔的脚的个数。则长就是要求的鸡与兔的只数。仔细观察图2,阴影部分的面积 表示鸡与兔多出的脚,它应该等于总面积减空白面积,即2402x100=40(只),那么阴影部分 的长,也就是兔的只数应为40÷(4-2)=20(只),鸡的只数就是100-20=80(只) 例2:甲、乙两车同时从A、B两地相向开出,第一次相遇时离A地有90千米,然后 各按原速度继续行驶,到达目的地后立即沿原路返回,第二次相遇时离B地70千米 处,求A、B两地的路程。 【分析与解答】求A、B两地的路程,题中既没有给出甲、乙 的速度,也没有给出相遇时间,解答比较困难。下面我们借助 线段图来帮助分析。从图上可以看出,甲、乙两车从出发到第一次相遇共行驶了一个全程,当两 车共行驶1个全程时,甲车行驶了90千米。从第一次相遇到第二次相遇,甲、々两车又共行驶 了2个全程。因此从出发到第1二次相遇甲、乙两车共行驶了3个全程,那么甲车就行驶了3个 0千米,即90×3=270千米,而甲车比全程多行70千米。所以A、B的距离为27070=200(千 米)。 练习与思考 1.有10分和20分的邮票共18张,总面值为2.80元。请问:10分和20分的邮票 各有几张? 2.张红与李明同时从甲、乙两地相向而行,第一次两人相遇时离乙地400米。然后两 人继续步行,各自到达目的地后立即返回,第二次相遇时离甲地200米,求甲、乙两 地的距离。 3.两根同样长的电线,第一根用去60米,第二根用去20米,剩下的电线,第二根的 长度是第一根的3倍。问:原来两根电线各长多少米?(先画图再列式计算) 4在一个除法算式里,被除除以除数商是25,余数是10,已知被除数、除数、商与 余数的和是357,除数是多少? 5.甲、乙、丙、丁四个数,甲、乙、丙三个数的总和是300,丁数比甲、乙、丙、丁 四个数的平均数少30,求丁数 6.甲、乙两车同时从A、B两地相向而行,第一次相遇时离A地50千米,相遇后继续 按原速度行完全程,到达目的地后返回,第二次相遇时离A地25千米。问:A、B两 地距离是多少千米? 7.一辆汽车从甲地开往乙地,往返共用20小时,去时用的时间是回来时的1.5倍 去时的速度比回来的速度每小时慢12千米。问:往返共行了多少千米?
第九讲 作图法解题 图形具有直观性，用作图的方法可以将复杂应用题的数量关系直观地表示出来， 使题目的已知条件和所求问题一目了然，并借助直观的图形进行分析、推理，进而很 快找到解决问题的策略。这种方法我们称为作图法解题，特别是对解答条件复杂、数 量关系不明显的应用题，能起到化难为易的作用。 例题选讲 例 1:鸡与兔同笼共 100 只，一共有 240 只脚鸡与兔各多少只? 【分析与解答】这是鸡兔同笼问题，我们在前几讲已学会用其它方法解答，现在用作图法来解答， 让同，学们体会一下这种方法的作用。图 1 中两个长方形的总面积表示的是鸡与兔脚的总个数， 宽表示每只鸡与兔的脚的个数。则长就是要求的鸡与兔的只数。仔细观察图 2，阴影部分的面积 表示鸡与兔多出的脚，它应该等于总面积减空白面积，即 240—2 x 100=40(只)，那么阴影部分 的长，也就是兔的只数应为 40÷(4—2)=20(只)，鸡的只数就是 1OO-20=80(只)． 例 2:甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，第一次相遇时离 A 地有 90 千米，然后 各按原速度继续行驶，到达目的地后立即沿原路返回，第二次相遇时离 B 地 70 千米 处，求 A、B 两地的路程。 【分析与解答】求 A、B 两地的路程，题中既没有给出甲、乙 的速度，也没有给出相遇时间，解答比较困难。下面我们借助 线段图来帮助分析。从图上可以看出，甲、乙两车从出发到第一次相遇共行驶了一个全程，当两 车共行驶 1 个全程时，甲车行驶了 90 千米。从第一次相遇到第二次相遇，甲、々两车又共行驶 了 2 个全程。因此从出发到第 l 二次相遇甲、乙两车共行驶了 3 个全程，那么甲车就行驶了 3 个 90 千米，即 90×3=270 千米，而甲车比全程多行 70 千米。所以 A、B 的距离为 270—70=200(千 米)。 练习与思考 1.有 10 分和 20 分的邮票共 18 张，总面值为 2．80 元。请问：10 分和 20 分的邮票 各有几张? 2.张红与李明同时从甲、乙两地相向而行，第一次两人相遇时离乙地 400 米。然后两 人继续步行，各自到达目的地后立即返回，第二次相遇时离甲地 200 米，求甲、乙两 地的距离。 3.两根同样长的电线,第一根用去 60 米，第二根用去 20 米，剩下的电线，第二根的 长度是第一根的 3 倍。问：原来两根电线各长多少米?(先画图再列式计算) 4.在一个除法算式里，被除除以除数商是 25，余数是 10，已知被除数、除数、商与 余数的和是 357，除数是多少? 5.甲、乙、丙、丁四个数，甲、乙、丙三个数的总和是 300，丁数比甲、乙、丙、丁 四个数的平均数少 30，求丁数。 6.甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，第一次相遇时离 A 地 50 千米，相遇后继续 按原速度行完全程，到达目的地后返回，第二次相遇时离 A 地 25 千米。问：A、B 两 地距离是多少千米? 7.一辆汽车从甲地开往乙地，往返共用 20 小时，去时用的时间是回来时的 1．5 倍， 去时的速度比回来的速度每小时慢 12 千米。问：往返共行了多少千米?
第十讲倒推法解题 壮 重新包装好,重新包装的步骤与打开的步骤正好相反。其实在数学中,也有许多类似 的还原问题。解决这类问题最常用的方法就是倒推法,即从结果入手,逐步向前逆推, 例越趼 问题的答 例1:有一群猴子分吃桃子,第一只拿走一半,第二只拿走余下的一半多3个,第三 只拿走第二只取剩的一半少3个,第四只拿走第三只取剩的一半多3个,第五只拿走 第四只取剩的一半,最后还剩3个,这堆桃原来有多少个? 【分析与艉答】1|这道题条件比较多,顺向思考很困难,如果根据最后的结果倒推还原,解决起来就轻松了。曲 于第五只猴子拿走余下的一半,还剩3个,所以第五只猴子拿之前应该有桃子:3×2=6(个),同理,第四只猴子 拿之前应该有桃子:(6+3)×2=18(个),第三只猴子拿之前应该有桃子:(18-3)×2=30(个),第二只猴子拿之前 应该有桃子:(30+3)×2=66(个),第一只猴子拿之前应该有桃子:66×2=132(个),即这堆桃有132个。 例2:甲、乙、丙三人各有若干元钱,甲拿出与乙相同多的钱给乙,也拿出与丙相同 多的钱给丙;然后乙也按甲和雨手中的钱分别给甲、丙相同的钱;最后丙也按甲和乙 手中的钱分别给甲、乙相同的钱,此时三人都有48元钱 问:开始时三人各有多少元钱? 【分析与解答】从第三次丙给甲、乙钱逐步向前推算,根据三人最后都有48元,那么在丙给甲、乙添钱之前 甲:48÷2:24(元), 乙:48÷2-24(元), 丙:48+24+24-96(元) 第二次在乙给甲、丙添钱之前 乙:24+12+48=84(元) 第一次在甲给乙、丙添钱之前: 甲:12+42+24-78(元) 所以开始时甲有78元,乙有42元,丙有24元 例3:甲、乙、丙三人共有48张邮票,第一次甲先拿出与乙的邮票数相等的张数给乙; 第三次乙拿出与丙的邮票数相等的张数给丙;第三次丙又拿出与这时的甲的邮票数相 等的张数给甲,最后三人的邮票数相等,三人原来各有多少张邮票? 【分析与解答】此题条件复杂,因此我们可以用列表的方法,从最后的果一步步按每次的变 化倒推,这样就容易看清题中的数量关系了。列表如下: 练习与思考 1.张强去银行取款,第一次取了存款的一半多100元,第二次取了余下的一半少50 元,第三次取了余下的一半多50元,这时他的存折上还剩下575元。问:张强原来 有存款多少元? 2.书架上有上、中、下三层书,共2400本一先从上层拿出与中层同样多的书放进中 层,再从中层拿出与下层同样多的书放进下层,最后从下层拿出与上层现在同样多的 书放进上层,这时三层书同样多。问:开始时,上、中、下三层各有多少本书? 3.做一道整数加一个学生把个位上的7看作5,把十位上的5看作7,把百位上的9 看作6,结果得出和为775。问:正确的答案应该是多少? 4有26块砖,兄弟两人争着去挑,弟弟走在前面,刚摆好砖哥哥赶来了。哥哥见弟弟 挑得太多,就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行,又从哥哥那里拿来一半。哥哥不 让,弟弟只好给哥哥5块,这样哥哥比弟弟多挑2块。问:开始时,弟弟准备挑多少 块? 5.甲、乙、丙三个瓶子共装了24升水,现在把甲瓶的水分别倒给乙、丙两瓶,使乙、 丙两瓶的水比原来增加1倍;之后,又将乙瓶的水按上面的要求倒给甲、丙;最后, 再按上面的要求将丙瓶的水倒一部分给甲、乙两瓶,这样倒了三次后,三个瓶中的水 样多。问:开始时甲、乙、丙三瓶各装水多少升
第十讲 倒推法解题 在我们生活中经常会遇到“还原问题”，如把一盒包装精美的玩具打开，再把它 重新包装好，重新包装的步骤与打开的步骤正好相反。其实在数学中，也有许多类似 的还原问题。解决这类问题最常用的方法就是倒推法，即从结果入手，逐步向前逆推， 最终找到原问题的答案。 例题选讲 例 1:有一群猴子分吃桃子，第一只拿走—半，第二只拿走余下的一半多 3 个，第三 只拿走第二只取剩的一半少 3 个，第四只拿走第三只取剩的一半多 3 个，第五只拿走 第四只取剩的一半，最后还剩 3 个，这堆桃原来有多少个? 【分析与艉答】l|这道题条件比较多，顺向思考很困难,如果根据最后的结果倒推还原，解决起来就轻松了。曲 于第五只猴子拿走余下的一半，还剩 3 个，所以第五只猴子拿之前应该有桃子：3×2=6(个)，同理，第四只猴子 拿之前应该有桃子：(6+3)×2=18(个)，第三只猴子拿之前应该有桃子：(18—3)×2=30(个)，第二只猴子拿之前 应该有桃子：(30+3)×2=66(个)，第一只猴子拿之前应该有桃子：66×2=132(个)，即这堆桃有 132 个。 例 2:甲、乙、丙三人各有若干元钱，甲拿出与乙相同多的钱给乙，也拿出与丙相同 多的钱给丙；然后乙也按甲和雨手中的钱分别给甲、丙相同的钱；最后丙也按甲和乙 手中的钱分别给甲、乙相同的钱，此时三人都有 48 元钱。 问：开始时三人各有多少元钱? 【分析与解答】从第三次丙给甲、乙钱逐步向前推算，根据三人最后都有 48 元，那么在丙给甲、乙添钱之前： 甲：48÷2：24(元)， 乙：48÷2—24(元)， 丙：48+24+24—96(元)； 第二次在乙给甲、丙添钱之前： 甲：24÷2—12(元)， 乙：24+12+48===84(元)， 丙：96÷2=48(元)； 第一次在甲给乙、丙添钱之前： 甲：12+42+24—78(元)， 乙：84÷2=42(元)， 丙：48÷2=24(元)。 所以开始时甲有 78 元，乙有 42 元，丙有 24 元。 例 3:甲、乙、丙三人共有 48 张邮票，第一次甲先拿出与乙的邮票数相等的张数给乙； 第三次乙拿出与丙的邮票数相等的张数给丙；第三次丙又拿出与这时的甲的邮票数相 等的张数给甲，最后三人的邮票数相等，三人原来各有多少张邮票? 【分析与解答】此题条件复杂，因此我们可以用列表的方法，从最后的果一步步按每次的变 化倒推，这样就容易看清题中的数量关系了。列表如下： 练习与思考 1.张强去银行取款，第一次取了存款的一半多 100 元，第二次取了余下的一半少 50 元，第三次取了余下的一半多 50 元，这时他的存折上还剩下 575 元。问：张强原来 有存款多少元? 2.书架上有上、中、下三层书，共 2400 本一先从上层拿出与中层同样多的书放进中 层，再从中层拿出与下层同样多的书放进下层，最后从下层拿出与上层现在同样多的 书放进上层，这时三层书同样多。问：开始时，上、中、下三层各有多少本书? 3.做一道整数加一个学生把个位上的 7 看作 5，把十位上的 5 看作 7，把百位上的 9 看作 6，结果得出和为 775。问：正确的答案应该是多少? 4.有 26 块砖，兄弟两人争着去挑,弟弟走在前面，刚摆好砖哥哥赶来了。哥哥见弟弟 挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又从哥哥那里拿来一半。哥哥不 让，弟弟只好给哥哥 5 块，这样哥哥比弟弟多挑 2 块。问：开始时，弟弟准备挑多少 块? 5.甲、乙、丙三个瓶子共装了 24 升水,现在把甲瓶的水分别倒给乙、丙两瓶，使乙、 丙两瓶的水比原来增加 1 倍；之后，又将乙瓶的水按上面的要求倒给甲、丙；最后， 再按上面的要求将丙瓶的水倒一部分给甲、乙两瓶，这样倒了三次后，三个瓶中的水 一样多。问：开始时甲、乙、丙三瓶各装水多少升?