第三章流体流动的基本概念和方程 引言: 流体流动的特点 1、流体的变形运动 2、描述流体运动的主要物理量 流体运动学研究流体的运动规律,如速度、加速度等运动参数的变化规律,而流体动力 学则研究流体在外力作用下的运动规律,即流体的运动参数与所受力之间的关系 ●3.1研究流体运动的两种方法 连续介质模型:我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质,并且无间 隙地充满它所占据的空间。描述流体运动的各物理量(如速度、加速度等)均应是空间点的 坐标和时间的连续函数 流场( flow field):流体质点运动的全部空间。 流体力学中研究流体的运动有两种不同的方法,一种是拉格朗日( Lagrange)方法, 另一种是欧拉( Euler)方法。 、拉格朗日方法 1、分析方法:又称随体法,是从分析流场中个别流体质点着手来硏究整个流体运动的。 2、位置表示: 这种研究方法,最基本的参数是流体质点的位移,在某一时刻t,任一流体质点的位 置可表为: x=x(a, h, c, t) y= y(a, b,c,t) (3-1) 式中a、b、c为初始时刻to任意流体质点的坐标,不同的a、b、c代表不同的 流体质点 ①对于某个确定的流体质点,a、b、c为常数,而t为变量,则得到流体质点的运动 规律。 ②对于某个确定的时刻,t为常数,而a、b、c为变量,得到某一时刻不同流体质点 的位置分布。 通常称a、b、c为拉格朗日变量,它不是空间坐标的函数,而是流体质点标号 3、速度表示:将式(3一1)对时间t求一阶和二阶导数,可得任意流体质点的速度
第三章 流体流动的基本概念和方程 引言： 流体流动的特点 1、 流体的变形运动 2、 描述流体运动的主要物理量 流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等运动参数的变化规律，而流体动力 学则研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系 l 3.1 研究流体运动的两种方法 连续介质模型：我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质，并且无间 隙地充满它所占据的空间。描述流体运动的各物理量（如速度、加速度等）均应是空间点的 坐标和时间的连续函数 流场（ flow field ）：流体质点运动的全部空间。 流体力学中研究流体的运动有两种不同的方法，一种是拉格朗日（ Lagrange ）方法， 另一种是欧拉（ Euler ）方法。 一、拉格朗日方法 1、 分析方法：又称随体法，是从分析流场中个别流体质点着手来研究整个流体运动的。 2、 位置表示： 这种研究方法，最基本的参数是流体质点的位移，在某一时刻 t ，任一流体质点的位 置可表为： （3—1） 式中 a 、 b 、 c 为初始时刻 t0任意流体质点的坐标，不同的 a 、 b 、c 代表不同的 流体质点。 ○1 对于某个确定的流体质点， a 、 b 、c 为常数，而 t 为变量，则得到流体质点的运动 规律。 ○2 对于某个确定的时刻， t 为常数，而 a 、 b 、c 为变量，得到某一时刻不同流体质点 的位置分布。 通常称 a 、 b 、 c 为拉格朗日变量，它不是空间坐标的函数，而是流体质点标号。 3、速度表示：将式（ 3 一 1 ）对时间 t 求一阶和二阶导数，可得任意流体质点的速度
( velocity)和加速度( acceleration)为 (a,b,c,) a, (a a'x (a,b, c, t) 度表示: 流体的密度( density)、压强( pressure)和温度( temperature)写成a、b、t 的函数,即p=p(a,b,c,t),p=p(a,b,c,t),t=t(a,b,c,t 二、欧拉法 1、分析方法:又称局部法,是从分析流场中每一个空间点上的流体质点的运动着手,来研 究整个流体的运动的,即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化 规律 2、表示:流体质点的流动是空间点坐标(x,y,z)和时间t的函数, 流体质点的三个速度分量表示为 t=(x,y,z,2) (3-4) 式中,u、V、W分别表示速度矢量在三个坐标轴上的分量 =ui+V]+ wk 式(3-4)中,当参数ⅹ、y、z不变而改变时间t,则表示空间某固定点的 速度随时间的变化规律。当参数t不变,而改变ⅹ、y、z,则代表某一时刻,空间各 点的速度分布 流体质点压力表示 =P(x,y,2,!)
（ velocity ）和加速度（ acceleration ）为： 4、密度表示： 流体的密度（ density ）、压强（ pressure ）和温度（ temperature ) 写成 a 、 b 、 t 的函数，即 ρ= ρ ( a , b , c , t ) , p = p ( a , b , c , t ) , t = t ( a , b , c , t) 二、欧拉法 1、 分析方法：又称局部法，是从分析流场中每一个空间点上的流体质点的运动着手，来研 究整个流体的运动的，即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化 规律。 2、 表示：流体质点的流动是空间点坐标（ x , y , z ）和时间 t 的函数， 流体质点的三个速度分量表示为： （3—4） 式中，u、v、w 分别表示速度矢量在三个坐标轴上的分量： V ui vj wk ® ® ® = + + r 式（ 3 一 4 ）中，当参数 x 、 y 、 z 不变而改变时间 t ，则表示空间某固定点的 速度随时间的变化规律。当参数 t 不变，而改变 x 、 y 、 z ，则代表某一时刻，空间各 点的速度分布。 流体质点压力表示：
流体质点密度表示 p=p(r,y,t. 3、流体质点的运动轨迹方程 x、y、z有双重意义,一方面它代表流场的空间坐标,另一方面它代表流体质点在 空间的位移。根据流体连续介质假设,每一个空间点上都有流体质点所占据。而占据每一个 空间点上的流体质点都有自己的速度,有速度必然产生位移。也就是说,空间坐标ⅹ、y、 z也是流体质点位移的变量,它也是时间t的函数: =x(t) y=y(t) z=o) (3—6) 式(3一6)是流体质点的运动轨迹方程,将上式对时间t求导就可得流体质点沿 运动轨的三个速度分量 a∞=∞-出 4、流体质点的加速度 现在用欧拉法求流体质点的加速度。由于加速度定义为在dt时刻内,流体质点流经某 空间点附近运动轨迹上一段微小距离时的速度变化率,于是可按复合函数的求导法则,分别 将式(3-4)中三个速度分量对时间t取全导数,并将式(3一7)代人,即可得 流体质点在某一时刻经过某空间点时的三个加速度分量 用矢量a表示加速度,即a=a,了十,了+a 根据矢量分析的点积公式 +(,) 2是矢性微分算子 分析:式(3一8),流体质点的加速度由两部分组成 ①第一部分,当地加速度( local acceleration):是由于某一空间点上的流体质点的速度随时
流体质点密度表示： 3、流体质点的运动轨迹方程 x 、 y 、 z 有双重意义，一方面它代表流场的空间坐标，另一方面它代表流体质点在 空间的位移。根据流体连续介质假设，每一个空间点上都有流体质点所占据。而占据每一个 空间点上的流体质点都有自己的速度，有速度必然产生位移。也就是说，空间坐标 x 、 y 、 z 也是流体质点位移的变量，它也是时间 t 的函数： （3——6） 式（ 3 一 6 ）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间 t 求导就可得流体质点沿 运动轨的三个速度分量 （3—7） 4、流体质点的加速度 现在用欧拉法求流体质点的加速度。由于加速度定义为在 dt 时刻内，流体质点流经某 空间点附近运动轨迹上一段微小距离时的速度变化率，于是可按复合函数的求导法则，分别 将式（ 3 一 4 ）中三个速度分量对时间 t 取全导数，并将式（ 3 一 7 ）代人，即可得 流体质点在某一时刻经过某空间点时的三个加速度分量 （3—8） 根据矢量分析的点积公式 是矢性微分算子 分析：式（ 3 一 8 ），流体质点的加速度由两部分组成： ○1 第一部分，当地加速度( local acceleration )：是由于某一空间点上的流体质点的速度随时
间的变化而产生的,即式(3一8)中等式右端的第一项 au av ow atat at ②第二部分,迁移加速度( acceleration of transport):是某一瞬时由于流体质点速度随空 间点的变化而引起的,即式(3一8)中等式右端的后三项u 当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度( total acceleration) 5、流体质点的加速度的物理意义 如图3一1所示,不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道,截面2比截 面1小,则截面2的速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流2点时, 由于截面的收缩引起速度的增加,从而 产生了迁移加速度;如果在某一段时间 内进管道的流体输人量有变化(增加或 减少),则管道中每一点上流体质点的速 度将相应发变化(增大或减少),从而产 图3-1中阿有收形的变截面管内的流动 生了当地加速度。 6、空间点 流体质点和空间点是两个截然不同的概念 空间点指固定在流场中的一点,流体质点不断流过空间点,空间点上的速度指流体质点 正好流过此空间点时的速度。欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可以采用式(3 9)的形式,即 V)() (3-10) 式中,括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量,如密度、温度、压强等,可以是标 量( scalar),也可以是矢量( vector) 称为全导数 称为当地导数,(V·V)称 at 为迁移导数。 欧拉法比拉格朗日法优越的原因 采用欧拉法描述流体的流动,常常比采用拉格朗日法优越,其原因有三: ①是利用欧拉法得到的是场,便于采用场论这一数学工具来研究。 ②是釆用欧拉法,加速是一阶导数,而拉格朗日法,加速度是二阶导数,所得的运动微分
间的变化而产生的，即式（ 3 一 8 ）中等式右端的第一项 t w t v t u ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ 、 、 ○2 第二部分，迁移加速度（ acceleration of transport )：是某一瞬时由于流体质点速度随空 间点的变化而引起的，即式（ 3 一 8 ）中等式右端的后三项 z u w y u v x u u ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ 、 、 等 当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度（ total acceleration ） 5、流体质点的加速度的物理意义 如图 3 一 1 所示，不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道，截面 2 比截 面 1 小，则截面 2 的速度就要比截面 1 的速度大。所以当流体质点从 1 点流 2 点时， 由于截面的收缩引起速度的增加，从而 产生了迁移加速度；如果在某一段时间 内进管道的流体输人量有变化（增加或 减少），则管道中每一点上流体质点的速 度将相应发变化（增大或减少），从而产 生了当地加速度。 6、空间点 流体质点和空间点是两个截然不同的概念， 空间点指固定在流场中的一点，流体质点不断流过空间点，空间点上的速度指流体质点 正好流过此空间点时的速度。欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可以采用式（ 3 一 9 ）的形式，即 （3—10） 式中，括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，如密度、温度、压强等，可以是标 量（scalar）,也可以是矢量（vector）。 ( ) Dt D 称为全导数， ( ) ¶t ¶ 称为当地导数，(V · Ñ) 称 为迁移导数。 三、欧拉法比拉格朗日法优越的原因 采用欧拉法描述流体的流动，常常比采用拉格朗日法优越，其原因有三： ○1 是利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。 ○2 是采用欧拉法，加速是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得的运动微分
方程分别是一阶偏微方程和二阶偏微分方程,在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求 解容易。 ③是工程实际中,并不关心每一质点的来龙去脉。 基于上述三点原因,欧拉法在流体力学硏究广泛被采用。当然拉格朗日法在研究爆炸现 象以及计算流体力学( numerical ntrid me- anIcs)的某些问题中还是方便的 四、例题讲解 32流动的分类 饩体运动 在流体力学中,为掌握流体流动的基本规 律,对不同类型的流动从简到繁,由浅人地进 不可压 行研究,也要对流体的流动进行分类。通常 黏性流法 黏说体 流体的运动可以从流体的性质,运动特征分成 如图3一2所示的几类。 有蔬弧动 尢瀵动 定常流动和非定常流动 渡 eady flow)或稳定流 动和非稳定流动 1、分类依据: 根据流体的流动参数是否随时间而变 图32流体送动分类 定常流动:运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和速度等)均不随时间变化,而 只随空间点位置不同而变化的流动 非定常流动:运动流体中任一点流体质点的流动参数(压强和速度等)随时间而变化的流动。 3、举例说明 如图3一3所示装置,将阀门A和B的开度调节到使水箱的水位保持不变,则水箱和 管道中任一点(如1点、2点和3 点等)的流体质点的强和速度都不随 时间而变化,但由于1、3各点所 处的空间位置不同,故其压强速度值 也就各不相同。这时从管道中流出的 射流形状也不随时间而变。这种运动 图33流体的出流
方程分别是一阶偏微方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求 解容易。 ○3 是工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。 基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究广泛被采用。当然拉格朗日法在研究爆炸现 象以及计算流体力学（ numerical ntrid me - anics ）的某些问题中还是方便的。 四、例题讲解 l 3.2 流动的分类 在流体力学中，为掌握流体流动的基本规 律，对不同类型的流动从简到繁，由浅人地进 行研究，也要对流体的流动进行分类。通常， 流体的运动可以从流体的性质，运动特征分成 如图 3 一 2 所示的几类。 一、 定常流动和非定常流动（ s teady flow and non 一 steady flow )或稳定流 动和非稳定流动 1、 分类依据： 根据流体的流动参数是否随时间而变 2、定义： 定常流动：运动流体中任一点的流体质点的流动参数（压强和速度等）均不随时间变化，而 只随空间点位置不同而变化的流动。 非定常流动：运动流体中任一点流体质点的流动参数（压强和速度等）随时间而变化的流动。 3、举例说明： 如图 3 一 3 所示装置，将阀门 A 和 B 的开度调节到使水箱的水位保持不变，则水箱和 管道中任一点（如 1 点、 2 点和 3 点等）的流体质点的强和速度都不随 时间而变化，但由于 1 、 3 各点所 处的空间位置不同，故其压强速度值 也就各不相同。这时从管道中流出的 射流形状也不随时间而变。这种运动
流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和速度等)均不随时间变化,而只随空间点位置 不同而变化的流动,称为定常流动。现将阀门A关小,则流人水箱的水量小于从阀门B流 出的水量,水箱中的水位就逐渐下降,于是水箱和管道任一点流体质点的压强和速度都逐渐 减小,射流的形状也逐渐向下弯曲。这种运动流体中任一点流体质点的流动参数(压强和速 度等)随时间而变化的流动,称为非定常流动。 4、定常流动参数表丞 定常流动的流场中,流体质点的速度、压强和密度等流动参数仅是空间点坐标 的函数,而与时间t无关。 w=tu(c, y, 4) p=p(, 3, 4) 由于是定常流动,故其速度、压力和密度等流动参数对时间的偏导数等于零,即 (3-12) 因此,定常流动时流体加速度在各坐标轴方向的分量可简化成 +,-w (3-13) 结论:由式(3一13)可知,在定常流动中只有迁移加速度。 例如图3一3中,当水箱的水位保持不变时,2点到3点流体质点的速度减小,而 4点到5点速度增加,都是由于截面变化而引起的迁移加速度。若迁移加速度为零,则为 均匀流动,例如流体质点在等截面管道中的流动(3点到4点)。 5、定常流动研究意义 在供水和通风系统中,只要泵和风机的转速不变,运转稳定,则水管和风道中的流体流 动都是定常流动。又如火电厂中,当锅炉和汽轮机都稳定在某一工况下运行时,主蒸汽管道 和给水管道中的流体流动也都是定常流动。可见研究流体的定常流动有很大的实际意义
流体中任一点的流体质点的流动参数（压强和速度等）均不随时间变化，而只随空间点位置 不同而变化的流动，称为定常流动。现将阀门 A 关小，则流人水箱的水量小于从阀门 B 流 出的水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流体质点的压强和速度都逐渐 减小，射流的形状也逐渐向下弯曲。这种运动流体中任一点流体质点的流动参数（压强和速 度等）随时间而变化的流动，称为非定常流动。 4、定常流动参数表示 定常流动的流场中，流体质点的速度、压强和密度等流动参数仅是空间点坐标 x 、 y 、 z 的函数，而与时间 t 无关。 （3—11） 由于是定常流动，故其速度、压力和密度等流动参数对时间的偏导数等于零，即 （3—12） 因此，定常流动时流体加速度在各坐标轴方向的分量可简化成 （3—13） 结论：由式（ 3 一 13 ）可知，在定常流动中只有迁移加速度。 例如图 3 一 3 中，当水箱的水位保持不变时， 2 点到 3 点流体质点的速度减小，而 4 点到 5 点速度增加，都是由于截面变化而引起的迁移加速度。若迁移加速度为零，则为 均匀流动，例如流体质点在等截面管道中的流动（ 3 点到 4 点）。 5、定常流动研究意义 在供水和通风系统中，只要泵和风机的转速不变，运转稳定，则水管和风道中的流体流 动都是定常流动。又如火电厂中，当锅炉和汽轮机都稳定在某一工况下运行时，主蒸汽管道 和给水管道中的流体流动也都是定常流动。可见研究流体的定常流动有很大的实际意义
一维流动、二维流动和三维流动( one dimensional flow、 two dimensional flow and three dimensinal flow 1、定义:一般的流动都是在三维空间的流动,流动参数是x、y、z三个坐标的函数, 在流体力学中又称这种流动为三维流动。当我们适当地选择坐标或将流动作某些简化,使其 流动参数在某些情况下,仅是ⅹ,y两个坐标的函数,称这种流动为二维流动。是一个坐标 的函数的流动,称为一维流动 2、说明 如图3-4所示的带锥度的圆管内粘性流体的 流动,流体质点运动参数,如速度,即是半径r的 函数,又是沿轴线距离x的函数,即:u=u(r x)。显然这是二元流动问题。工程上在讨论其速 度分布时,常采用其每个截面的平均值u。就将 流动参数如速度,简化为仅与一个坐标x有关的 图3-4管内流动速度分和 流动问题,这种流动就叫一维流动,即:u=u(x) 如图3一5所示的绕无限翼展的流动就是二维流动,二维流动的参数以速度为例,可 写成 )t十 如图3一6所示的绕有限宽翼展的流动就是三维流动,三维流动的参数以速度为例 可写成 古=x(x,y,x)了+t(x,y,x)了一(x,y,)k 图35绕无限翼展的沆幼 图35有阳契展的滴动
二、 一维流动、二维流动和三维流动（ one dimensional flow 、 two dimensional flow and three dimensinal flow ) 1、定义：一般的流动都是在三维空间的流动，流动参数是 x 、 y 、 z 三个坐标的函数， 在流体力学中又称这种流动为三维流动。当我们适当地选择坐标或将流动作某些简化，使其 流动参数在某些情况下，仅是 x , y 两个坐标的函数，称这种流动为二维流动。是一个坐标 的函数的流动，称为一维流动。 2、说明 如图 3 一 4 所示的带锥度的圆管内粘性流体的 流动，流体质点运动参数，如速度，即是半径 r 的 函数，又是沿轴线距离 x 的函数，即： u = u ( r , x ）。显然这是二元流动问题。工程上在讨论其速 度分布时，常采用其每个截面的平均值 u 。就将 流动参数如速度，简化为仅与一个坐标 x 有关的 流动问题，这种流动就叫一维流动，即： u = u ( x ）。 如图 3 一 5 所示的绕无限翼展的流动就是二维流动，二维流动的参数以速度为例，可 写成： 如图 3 一 6 所示的绕有限宽翼展的流动就是三维流动，三维流动的参数以速度为例， 可写成：
3.3流体动力学的几个基本概念 迹线( path line) 1、定义:流场中某一质点运动的轨迹称为迹线。 例如在流动的水面上撒一片木屑,木屑随水流漂流的途径就是某一水点的运动轨迹,也 就是迹线。流场中所有的流体质点都有自己的迹线,迹线是流体运动的一种几何表示,可以 用它来直观形象地分析流体的运动,清楚地看岀质点的运动情况。 2、数学表达式 迹线的研究是属于拉格朗日法的内容,迹线表示同一流体质点在不同时刻所形成的曲 线,其数学表达式为: dx=dy dz=d (3-14) 式中(3一14)就是迹线微分方程,t是自变量。 流线( stream line) 1、定义:所谓流线是某一瞬时在流场中所作 的一条曲线,在这条曲线上的各流体质点的速人 度方向都与该曲线相切,因此流线则是同一时 刻,不同流体质点所组成的曲线,如图3一7 困5?流线的念 所示 2、研究意义 流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流线,可以清楚地看出某时刻流场中各点的 速度方向,由流线的密集程度,也可以判定出速度的大小。流线的引人是欧拉法的研究特点。 例如在流动水面上同时撒一大片木屑,这时可看到这些木屑将连成若干条曲线,每一条曲线 表示在同一瞬时各水点的流动方向线就是流线 3、流线具有四个特性: (1)在定常流动时,流线和迹线相重合;非定常流动时,流线和迹线不相重合 因为在定常流动时,流场中各流体质点的速度不随时间变化,所以通过同一点的流线 形状始终保持不变,因此流线和迹线相重合。而在非定常流动时,一般说来流线要随时间变 化,故流线和迹线不相重合。 (2)通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线,一般情况流线不能相交和分支。 否则在同一空间点上流体质点将同时有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零
l 3.3 流体动力学的几个基本概念 一、 迹线（ path line ) 1、 定义：流场中某一质点运动的轨迹称为迹线。 例如在流动的水面上撒一片木屑，木屑随水流漂流的途径就是某一水点的运动轨迹，也 就是迹线。流场中所有的流体质点都有自己的迹线，迹线是流体运动的一种几何表示，可以 用它来直观形象地分析流体的运动，清楚地看出质点的运动情况。 2、数学表达式 迹线的研究是属于拉格朗日法的内容，迹线表示同一流体质点在不同时刻所形成的曲 线，其数学表达式为： （3—14） 式中（ 3 一 14 ）就是迹线微分方程， t 是自变量。 二、流线（ stream line ) 1、定义：所谓流线是某一瞬时在流场中所作 的一条曲线，在这条曲线上的各流体质点的速 度方向都与该曲线相切，因此流线则是同一时 刻，不同流体质点所组成的曲线，如图 3 一 7 所示。 2、研究意义 流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的 速度方向，由流线的密集程度，也可以判定出速度的大小。流线的引人是欧拉法的研究特点。 例如在流动水面上同时撒一大片木屑，这时可看到这些木屑将连成若干条曲线，每一条曲线 表示在同一瞬时各水点的流动方向线就是流线。 3、流线具有四个特性： ( 1 ）在定常流动时，流线和迹线相重合；非定常流动时，流线和迹线不相重合。 因为在定常流动时，流场中各流体质点的速度不随时间变化，所以通过同一点的流线 形状始终保持不变，因此流线和迹线相重合。而在非定常流动时，一般说来流线要随时间变 化，故流线和迹线不相重合。 ( 2 ）通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流线不能相交和分支。 否则在同一空间点上流体质点将同时有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零
或无穷大的那些点,流线可以相交,这是因为,在这些点上不会出现在同一点上存在不同流 动方向的问题。速度为零的点称驻点,速度为无穷大的点称为奇点。 (3)流线不能突然折转,只能平缓过渡 (4)流线密集的地方,表示流场中该处的流速较大,稀疏的地方,表示该处的流速较小。 4、流线微分方程 现由矢量分析法导出流线微分方程。设在某一空间点上流体质点的速度矢量 V=ui+y+wk,通过该点流线上的微元线段dL=dxi+dyj+dzk。由流线的定义知, 空间点上流体质点的速度与流线相切。根据矢量分析,这两个矢量的矢量积应等于零,即 ×dZ udy- udx =4 上式又可写成 n(u, y, z, t) v(a, y, z,t) to(, v, 4,4) 式(3一15)就是流线的微分方程,式中时间t是个参变量。 、流管和流束( stream tube and stream bundle 1、流管定义:在流场中任取一条不是流线的封闭曲线,通过曲线上各点作流线,这些流线 组成一个管状表面,称之为流管 2、流管特性: 因为流管是由流线构成的,所以它具有流线的一切特性,流体质点不能穿过流管流人或 流出(由于流线不能相交)。流管就像固体管子一样,将流体限 制在管内流 3、流朿定义:过流管横截面上各点作流线,则得到充满流管的 東流线簇,称为流束 4、流束特性:如图3一8所示。在定常流动中,流束的形状 出38置啸
或无穷大的那些点，流线可以相交，这是因为，在这些点上不会出现在同一点上存在不同流 动方向的问题。速度为零的点称驻点，速度为无穷大的点称为奇点。 ( 3 ）流线不能突然折转，只能平缓过渡。 ( 4 ）流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地方，表示该处的流速较小。 4、流线微分方程 现由矢量分析法导出流线微分方程。设在某一空间点上流体质点的速度矢量 V = ui + vj + wk ，通过该点流线上的微元线段dL = dxi + dyj + dzk 。由流线的定义知， 空间点上流体质点的速度与流线相切。根据矢量分析，这两个矢量的矢量积应等于零，即 上式又可写成 （3—15） 式（ 3 一 15 ）就是流线的微分方程，式中时间 t 是个参变量。 三、流管和流束（ stream tube and stream bundle ) 1、流管定义：在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上各点作流线，这些流线 组成一个管状表面，称之为流管。 2、流管特性： 因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的一切特性，流体质点不能穿过流管流人或 流出（由于流线不能相交）。流管就像固体管子一样，将流体限 制在管内流动。 3、流束定义：过流管横截面上各点作流线，则得到充满流管的 一束流线簇，称为流束。 4、流束特性：如图 3 一 8 所示。在定常流动中，流束的形状
不随时间而改变;在非定常流动中,流束将随时间而改变它的形状和位置。 四、有效截面 1、定义:在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面。 流线互相平行时,有效截面是平面。流线不平行时,有效截面是曲面,如图3-9所 示。有效截面面积为无限小的流束和流管,称为微元流東和微元流管。在每一个微元流束的 有效截面上,各点的速度可认为是相同的 因3-9有就面 五、流量和平均流速 1、流量 单位时间内通过有效截面的流体体积称为体积流量( vohimetric flowrate),以q表 。其单位为m3/S、m3/h等。 单位时间内通过有效截面的流体质量称为质量流量( mass ffow rate)以qm表示,其 单位为kg/s、t/h等。 由于微元流束有效截面上各点的流速ⅴ是相等的,所以通过微元流束有效截面积为 dA的体积流量dqv和质量流量dqm分别为: day =vAA(3-16) do=PVdA (3-17) 由于流束是由无限多的微元流束组成的,所以通过流束有效截面面积为A的流体体积 流量qv和质量流量qm分别由式(3一16)和式(3-17)积分求得,即 Vd4 (3-18) pvd (3-19) 2、平均流速 以上计算必须先找出微元流束的速度ⅴ在整个流束有效截面上的分布规律,这在大部 分工程问题中是不能用解析法来确定的。在工程计算中为了方便起见,引人平均流速(mean
不随时间而改变；在非定常流动中，流束将随时间而改变它的形状和位置。 四、有效截面 1、定义：在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面。 流线互相平行时，有效截面是平面。流线不平行时，有效截面是曲面，如图 3 一 9 所 示。有效截面面积为无限小的流束和流管，称为微元流束和微元流管。在每一个微元流束的 有效截面上，各点的速度可认为是相同的 五、流量和平均流速 1、流量 单位时间内通过有效截面的流体体积称为体积流量（ vohimetric ffowrate ) ，以 qV表 示。其单位为 m ³/ S 、 m ³/ h 等。 单位时间内通过有效截面的流体质量称为质量流量（ mass ffow rate ）以 qm表示，其 单位为 kg / s 、 t / h 等。 由于微元流束有效截面上各点的流速 v 是相等的，所以通过微元流束有效截面积为 dA 的体积流量 dqv 和质量流量 dqm 分别为： (3—16) （3—17） 由于流束是由无限多的微元流束组成的，所以通过流束有效截面面积为 A 的流体体积 流量 qV和质量流量 qm分别由式（ 3 一 16 ）和式（ 3 一 17 ）积分求得，即 （3—18） （3—19） 2、平均流速 以上计算必须先找出微元流束的速度 V 在整个流束有效截面上的分布规律，这在大部 分工程问题中是不能用解析法来确定的。在工程计算中为了方便起见，引人平均流速（ mean