第三章线性系统的经典辨识方法
第三章 线性系统的经典辨识方法
经典辨识常用信号 今阶跃信号—→阶跃响应 令正弦信号一频率响应 令脉冲信号一脉冲响应 令正弦信号缺点:试验手续比较复杂,必须有专用设备,不便 于在数控系统上做试验 阶跃信号缺点: 令1)信号大则破坏系统运定,小则不能获得有用数据 令2)对试验环境要求严格。 令用的较多是脉冲信号,积累足够大的能量,在瞬间激发系统, 实际中难以实现。 今用M序列作为输入信号,再用相关法处理测试结果,可很方 便地得到系统的脉冲响应
经典辨识常用信号 ❖ 阶跃信号 阶跃响应 ❖ 正弦信号 频率响应 ❖ 脉冲信号 脉冲响应 ❖ 正弦信号缺点：试验手续比较复杂，必须有专用设备，不便 于在数控系统上做试验。 ❖ 阶跃信号缺点： ❖ 1）信号大则破坏系统运定，小则不能获得有用数据 ❖ 2）对试验环境要求严格。 ❖ 用的较多是脉冲信号，积累足够大的能量，在瞬间激发系统， 实际中难以实现。 ❖ 用M序列作为输入信号，再用相关法处理测试结果，可很方 便地得到系统的脉冲响应
用脉冲响应求传递函数 1、连续系统的传递函数 冷设系统采用n阶差分方程表示,则有 g(0)+ag(t0+△)+a28(t0+2△)+…+an.{(1+n△)=0(1) 式中a12a2…,an为待定的n个常数。 根据上式,将时间依次延迟△,可写出n个方程: a1g(+△)+a28(+2A)+…+ang(+n△)=-g(t0) a1g(6+2A)+a2g(t6+3A)+…+ang(t+(n+1)△)=-g(t0+△ a1g(+n)+a2g(t0+(m+1)A)+…+ang(0+2m△)=-g(t0+(n-1)△) 联立求解以上n个方程,可得系数a1,a2,a
用脉冲响应求传递函数 ❖ 1、连续系统的传递函数 ❖ 设系统采用n阶差分方程表示，则有 （1） ❖ 式中 为待定的n个常数。 ❖ 根据上式，将时间依次延迟 ，可写出n个方程： ❖ 联立求解以上n个方程，可得系数 g(t 0 ) + a1 g(t 0 + ) + a2 g(t 0 + 2) + + an g(t 0 + n) = 0 a a an , , , 1 2 ( ) ( ( 1) ) ( 2 ) ( ( 1) ) ( 2 ) ( 3 ) ( ( 1) ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) 1 0 2 0 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 2 0 0 0 + + + + + + + = − + − + + + + + + + = − + + + + + + + = − a g t n a g t n a g t n g t n a g t a g t a g t n g t a g t a g t a g t n g t n n n a a an , , , 1 2
任何一个线性定常系统,其传递函数G(的特征方 程的根为s,S2,…,Sn,则其传递函数可表示为: C C G(s) (2) S-SS-S 式中,S,S2…S和1,…Cn为待求的2n个未知数。 对上式求拉普拉斯反变换,得系统的脉冲响应函 数 g()=ce+c2e+…+cne (3) 则t+△,1+2A…,1+m时刻的脉冲响应函数分别为 8(+△)=ce(+)+c,es(+4) Sn(+△) g(+2△)=c1 S1(+2△) S2(1+2△) +…+cne%(+2△) (4) g(+n△)=c1e s1(t+n△) +c2e S2(t+nA) …+C.e Sn(t+n△)
❖ 任何一个线性定常系统，其传递函数 的特征方 程的根为 ，则其传递函数可表示为： ❖ （2） ❖ 式中， 和 为待求的2n个未知数。 对上式求拉普拉斯反变换，得系统的脉冲响应函 数 ❖ （3） ❖ 则 时刻的脉冲响应函数分别为 ❖ （4） G(s) n s s c s s c s s c G s − + + − + − = 1 2 1 1 1 ( ) n s ,s , ,s 1 2 n c ,c , ,c s1 ,s2 , ,sn 1 2 s t n s t s t n g t = c e + c e ++ c e 1 2 1 2 ( ) t + ,t + 2, ,t + n ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( 2 ) ( 2 ) 2 ( 2 ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) 1 1 2 1 2 1 2 ( ) ( 2 ) ( ) + + + + + + + + + + = + + + + = + + + + = + + + s t n n s t n s t n s t n s t s t s t n s t s t n n n g t n c e c e c e g t c e c e c e g t c e c e c e
将n阶差分方程中的t换成t,并将(3),(4) 式代入,可得 ge 1+ae+a2(e)+ta,(e) +ce+age tiles) S2△ △ ++a.(e S,A\n +…+ce+ae"+a2(e")-++an(e (5) ÷欲使上式成立,应令各方括号内值为0,即 1+a1e+a2(e)+…+an(e^)”=0,i=1,2,…,n (6) 今令e=x,则式(6)可以写成 1+a1x+a2x2+…+anx"=0 (7 解上式可得x的n个解x,x2…,x S,A 设 1,e e (8) 则有:s n d In xn (9) 这样,可将s1,32…s求出
❖ 将n阶差分方程中的 换成 ，并将（3）,（4） 式代入,可得 （5） ❖ 欲使上式 成立，应令各方括号内值为0，即 （6） ❖ 令 ，则式（6）可以写成 （7） ❖ 解上式可得 的n个解 ❖ 设： （8） ❖ 则有： （9） ❖ 这样，可将 求出 0 t 1 ( ) ( ) 0 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 + + + + + + = + + + + + + + + + s n n s t s s n s n n s n s t s s n s t s s n n n c e a e a e a e c e a e a e a e c e a e a e a e e x i s = a e a e a e i n s n n s s i i i 1 ( ) ( ) 0, 1,2, , 2 + 1 + 2 ++ = = n x , x , , x 1 2 t x 1 0 2 + 1 + 2 + + = n n a x a x a x n s s s e x e x e x n = = = , , , 1 2 1 2 = = = n n x s x s x s ln , , ln , ln 2 2 1 1 n s ,s , ,s 1 2
根据式(3),(4)和(8),有 g(0) g(△)=C1x1+c2x2+…+cnxn g(2△)=Cx+c2x2+…+Cnxn g(n-1)△)=c1x ...+Cx 解上述方程组可得c1,c2 把求得的S2…Sn和c1,c2…;cn代入所假定的传 递函数中,即得所求的传递函数
❖ 根据式（3），（4）和（8），有： ❖ 解上述方程组可得 ❖ 把求得的 和 代入所假定的传 递函数中，即得所求的传递函数 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 (( 1) ) (2 ) ( ) (0) − − − − = + + + = + + + = + + + = + + + n n n n n n n n n n g n c x c x c x g c x c x c x g c x c x c x g c c c c c cn , , , 1 2 n c ,c , ,c s1 ,s2 , ,sn 1 2
例3.1设原系统具有二阶传递函数 0.35 G(S)= (S+0.5)(S+0.7) 今其脉冲响应为 g(O)=1.75(0-e07) 设采样间隔Δ=ls,g(t)的前4个值如表所列,用辨 识的方法求系统的传递函数。 表1采样间隔Δ=1s时的g(1)值 t/s 1.0 2.0 3.0 g0001924021210172
❖ 例3.1 设原系统具有二阶传递函数 ❖ 其脉冲响应为 ❖ 设采样间隔 ， 的前4个值如表所列，用辨 识的方法求系统的传递函数。 表1 采样间隔 时的 值 t ( ) t t g t e e 0.5 0.7 ( ) 1.75 − − = − =1s g(t) ( 0.5)( 0.7) 0.35 ( ) + + = s s G s t/s 0 1.0 2.0 3.0 g(t) 0 0.1924 0.2122 0.1762 =1s g(t)
解:根据已知条件得到 0.1924a1+0.2212a2,=0 0.2122a1+0.1762a2=-0.1924 解之得 a1=3.669,a,=-3.327 由式(7)得 1+3669x-3.327x2=0 解得: x1=0.608,a2=0.495 相应的系统板点为:s=l(0608)=-0497 S2=mn(0.495)=-0.703
解：根据已知条件得到 ❖ 解之得 ❖ 由式（7）得 ❖ 解得： ❖ 相应的系统极点为： 0.2122 0.1762 0.1924 0.1924 0.2212 0 1 2 1 2 + = − + = a a a a a1 = 3.669, a2 = −3.327 1 3.669 3.327 0 2 + x − x = x1 = 0.608, a2 = 0.495ln( 0.495) 0.703 ln( 0.608) 0.497 2 1 = = − = = − s s
因此脉冲响应可写成 g(A△)=ce047+c,e-0703 令k=0,1,可得方程组 c1+c2=0 0.608c;+0.495C,=0.1924 解得 i=1.6994,c2=-1.6994 因而所求的传递函数为 1.6994 1.6994 0.34987 S= s+0.497s+0.703(s+0.497)(s+0.703)
❖ 因此脉冲响应可写成 ❖ 令 ，可得方程组 ❖ 解得 ❖ 因而所求的传递函数为 − − = + k k g k c e c e 0.703 2 0.497 1 ( ) 0.608 0.495 0.1924 0 1 2 1 2 + = + = c c c c k = 0,1 c1 =1.6994,c2 = −1.6994 ( 0.497)( 0.703) 0.34987 0.703 1.6994 0.497 1.6994 ( ) ^ + + = + − + = s s s s G s
2、离散系统传递函数一脉冲传递函数 设系统脉冲传递函数形式为 +b1z-+…+b,z G(=-)= 1+a1,z-1+∴+a.z-n 根据脉冲传递函数的定义可得 G(z-)=g(0)+g(1)z+g(2)22+ 式中g()=8(△=0,1,2,…,△为采样间隔,因而有 b+b,z-+…+b,z g(0)+g(1)+g(2)z2+… 1+a1,z
2、离散系统传递函数－脉冲传递函数 ❖ 设系统脉冲传递函数形式为 ❖ 根据脉冲传递函数的定义可得 ❖ 式中 为采样间隔，因而有 n n n n a z a z b b z b z G z − − − − − + + + + + + = 1 1 1 1 0 1 1 ( ) g(i) = g(i),i = 0,1,2, , G(z −1 ) = g(0) + g(1)z −1 + g(2)z −2 + = + + + + + + + + + − − − − − − 1 2 1 1 1 0 1 (0) (1) (2) 1 g g z g z a z a z b b z b z n n n n