5、辅助变量法 ●对于原辨识问题 y=6+ (1) ●当张(k)是不相关随机序列时,最小二乘法可得到 参数向量θ的一致性无偏估计。 ●但实际应用中,(k)往往是相关随机序列。 ●假定存在一个(2n+1)×N的矩阵Z(与Φ同阶数) 满足约束条件 um z5=E}=0 N→ON (2) imzΦ=EzΦ}=O N→》∞ ●式中Q是非奇异的
5、辅助变量法 ⚫ 对于原辨识问题 ⚫ 当 是不相关随机序列时，最小二乘法可得到 参数向量 的一致性无偏估计。 ⚫ 但实际应用中， 往往是相关随机序列。 ⚫ 假定存在一个 的矩阵 （与 同阶数） 满足约束条件 ⚫ 式中 是非奇异的。 y = + (k) (k) (2n +1) N = = = = → → Z E Z Q N Z E Z N T T N T T N 1 lim 0 1 lim Z Q （1） （2）
●用Z乘以式(1)等号两边得 zy=zΦ+z5 (3) ●由上式可得 0=乙zy-2zΦz5 (4) ●如果取 n=乙zΦ)zy (5) 作为θ的估值,则称估值θⅳ为辅助变量估值,矩 阵Z称为辅助变量矩阵,Z中的元素称为辅助变量 从公式(5)可以看出,θw与最小二乘法估值θ的 计算公式具有相同的形式,因而计算比较简单
⚫ 用 乘以式（1）等号两边得 ⚫ 由上式可得 ⚫ 如果取 ⚫ 作为 的估值，则称估值 为辅助变量估值，矩 阵 称为辅助变量矩阵， 中的元素称为辅助变量 ⚫ 从公式（5）可以看出， 与最小二乘法估值 的 计算公式具有相同的形式，因而计算比较简单。 T Z T T T Z y = Z + Z ( ) ( ) T T T T Z Z y Z Z −1 −1 = − (Z ) Z y T T 1 IV ^ − = IV ^ Z Z （5） IV ^ ^ （4） （3）
●根据公式(4)和(5)可得 0r =0+zoE ●当N很大时,对上式等号两边取极限得 lim ]Iv=0+ limz'o. lim(Z 5) N→∞ →0 ●根据(2)式所限定得约束条件,可得 N→∞ ●因此辅助变量法是无偏估计。 ●那么问题就在于如何确定辅助变量矩阵Z的各个 元素,原则是:式(2)的两个条件必须满足。即: 所选择的辅助变量应与不关,但与 (k) 和Φ中的y(k)强烈相关
⚫ 根据公式（4）和（5）可得 ⚫ 当N很大时，对上式等号两边取极限得 ⚫ 根据（2）式所限定得约束条件，可得 ⚫ 因此辅助变量法是无偏估计。 ⚫ 那么问题就在于如何确定辅助变量矩阵 的各个 元素，原则是：式（2）的两个条件必须满足。即： 所选择的辅助变量应与 不相关，但与 和 中的 强烈相关。 Z (k) ( ) T T Z Z 1 IV ^ − = + ) 1 lim ( 1 lim lim 1 IV ^ T N T N N Z N Z N → − → → = + = → IV ^ lim N u(k) y(k)
1)递推辅助变量参数估计法 ●辅助变量取作yk)k=132,…,n+N-1y(k)是辅助模型 y(k)=Φ6 的输出向量y的元素,辅助变量矩阵为 y(n) n Z=lY n+ y(2)l(n2) 2 n+ ( nu(n+N (1)(n+1) y(n+1) y(2)l(n+2)…u(2) vx」L-y(m+N-1) y(n u(n+N
1）递推辅助变量参数估计法 ⚫ 辅助变量取作 是辅助模型 的输出向量 的元素，辅助变量矩阵为 ( )( 1, 2 , , 1), ( ) ^ ^ y k k = n + N − y k ^ ^ y(k) = ^ y − + − − + − + − + − − + = = ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) (2) ( 2) (2) ( ) (1) ( 1) (1) ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 2 ^ 1 ^ y n N y N u n N u N y n y u n u y n y u n u Z T N T T 令 − + − − + − + − + − − + = = ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) (2) ( 2) (2) ( ) (1) ( 1) (1) 2 1 y n N y N u n N u N y n y u n u y n y u n u T N T T （9）
M之yvk=Bv1 Z N ∑v5(m+)=E1v5(n+k 当()是持续激励信号时,必有{w是非奇异矩 阵。又因为y(k)只与(k)有关,也就是说v必与噪 声无关,故有E{5(m+)}=0因而满足式(2)中的 两个约束条件。 但式(9)中的参数向量θ的元素正是要辨识的参数, 而这些参数尚未确定,又如何应用式(9)来确定 辅助变量3(
⚫ 则 当 是持续激励信号时，必有 是非奇异矩 阵。又因为 只与 有关，也就是说 必与噪 声无关，故有 因而满足式（2）中的 两个约束条件。 但式（9）中的参数向量 的元素正是要辨识的参数， 而这些参数尚未确定，又如何应用式（9）来确定 辅助变量 ？ = + = + = = = = ( ) ( ) 1 1 1 1 ^ 1 ^ ^ 1 ^ n k E n k N Z N E N Z N N k T T k N k T k T u(k) T E k ^ ( ) ^ y k u(k) k ^ ( ) 0 ^ = E n + k ^ ( ) ^ y k
●方法是: ●1)先用最小二乘法求出粗略的,再将9代入 式k)=0,计算出k ●2)根据式(10)构造辅助变量矩阵z ●3)利用式(5)求取θ的辅助变量估计值ⅳ; 4)将θn代入式(9)再次求得y(k); ●这样循环递推估计辅助变量参数,直到取得满意 的辨识结果为止
⚫ 方法是： ⚫ 1）先用最小二乘法求出粗略的 ，再将 代入 式 ，计算出 ； ⚫ 2）根据式（10）构造辅助变量矩阵 ； ⚫ 3）利用式（5）求取 的辅助变量估计值 ； ⚫ 4）将 代入式（9）再次求得 ； ⚫ 这样循环递推估计辅助变量参数，直到取得满意 的辨识结果为止。 ^ ^ ( ) ^ y k ^ ^ y(k) = Z IV ^ ( ) ^ IV y k ^
2)自适应滤波法 该方法所选择的辅助变量矩阵的形式与上一种方 法完全相同,只是辅助模型中参数向量的估计 方法不同。取 (k)=(1-a)b(k-1)+ab(k-d) ●式中:a取00-0.1;d取0~10:;(k)为k时刻所得 到的参数向量估计值。 ●当叭(k)是持续激励信号时,所选的辅助变量可以满 足式(2)所给出的2个约束条件
2）自适应滤波法 ⚫ 该方法所选择的辅助变量矩阵的形式与上一种方 法完全相同，只是辅助模型中参数向量 的估计 方法不同。取 ⚫ 式中： 取 ； 取 ； 为 时刻所得 到的参数向量估计值。 ⚫ 当 是持续激励信号时，所选的辅助变量可以满 足式（2）所给出的2个约束条件。 ( ) (1 ) ( 1) ( ) ^ ^ ^ k = − k − + k − d ^ 0.01~ 0.1 d 0 ~10 ( ) k ^ k u(k)
3)纯滞后 ●辅助变量选为纯滞后环节时,则式(10)中的 取作 (k)=l(k-n6) ●式中m为多项式 b()=b+b2+…+bn2 ●的阶次。本书中取n=n,则辅助变量矩阵为 u(n+ l(2-n)u(n+2) (2) (N-1) l(N-n)l(n+N)…l(N) 只要输入信号叭(k是持续激励的且与(k)无关,则辅助变量 满足式(2)的2个约束条件
3）纯滞后 ⚫ 辅助变量选为纯滞后环节时，则式（10）中的 取作 ⚫ 式中 为多项式 ⚫ 的阶次。本书中取 ，则辅助变量矩阵为 ( ) ( ) ^ b y k = u k − n b n b b n n b z b b z b z − − − = + ++ 1 0 1 1 ( ) n n b = − − − − + − − − + − − − + = = ( 1) ( ) ( ) ( ) (1) (2 ) ( 2) (2) (0) (1 ) ( 1) (1) ^ 2 ^ 1 ^ u N u N n u n N u N u u n u n u u u n u n u Z T N T T 只要输入信号 是持续激励的且与 无关，则辅助变量 满足式（2）的2个约束条件。 u(k) (k)
6、递推辅助变量法 ●从上节的分析可以看出,基于输入值、输出值以及 辅助变量,可得到θ的辅助变量法估计 0N=(z④)zY ●为了建立递推关系,我们继续给岀新的输入量、输 出量和辅助变量w(n+N+1),yn+N+)及y(n+N+1) 并且设 N+1=y(n+N+1) k=[-y(n+N)…-y(N+1)(n+N+1)…v(N+1) zk41=[-y(n+M)…-y(N+1)(n+N+1)…u(N+1)
6、递推辅助变量法 ⚫ 从上节的分析可以看出，基于输入值、输出值以及 辅助变量，可得到 的辅助变量法估计 ⚫ 为了建立递推关系，我们继续给出新的输入量、输 出量和辅助变量 ， 及 并且设 u(n + N +1) ( 1) yN+1 = y n + N + ( ) N T N N T Z N Z Y 1 N ^ − = y(n + N +1) ( 1) ^ y n + N + ( ) −1 = N T PN ZN [ ( ) ( 1) ( 1) ( 1)] +1 = −y n + N − y N + u n + N + u N + T N [ ( ) ( 1) ( 1) ( 1)] ^ ^ z +1 = − y n + N − y N + u n + N + u N + T N
则有 N N+1 T n) N+19N+1 N+1 ●按递推最小二乘法公式的推导方法可得到递推辅助 变量法计算公式为 ON+1=8N+KN+ yN+-WN+0N KN+=(PN EN+/(+VMPN EN+) K N+1y N+ ●初始条件可选=0.P=c21.c是充分大的数,为 (2n+1)x(2n+1)单位矩阵 递推助变量法缺点:对初始值的选取比较敏感,最好在50个 到100个采样点用递推最小二乘法,然后转换为辅助变量法
⚫ 则有 ⚫ 按递推最小二乘法公式的推导方法可得到递推辅助 变量法计算公式为 ⚫ 初始条件可选 是充分大的数， 为 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 − + + − − + + + = + = T T N N N N N T T N N N P z z Z P N T N N N N N T N N N N N T N N N N N P K P K P z P z K y 1 1 1 1 1 1 1 ^ 1 1 1 ^ 1 ^ 1 ( )/(1 ) + + + + + + + + + + + = − = + = + − 0, P c I, c 2 0 ^ = = I (2n +1) (2n +1) 单位矩阵 递推辅助变量法缺点：对初始值的选取比较敏感，最好在50个 到100个采样点用递推最小二乘法，然后转换为辅助变量法