第四章动态系统的典范表达式
第四章 动态系统的典范表达式
令经典控制理论中常用的模型有:传递函数和差分方 程。 待估参数 待估结构参数 令根据节省原理,可辨识的模型结构中,未知参数较 少的模型结构将有较高的模型精度 同时,未知参数越少,进行参数估计时运算就越简 单 典范状态方程和典范差分方程。 优点:可用较少的或最少的参数数目表征系统的动 态特性
❖ 经典控制理论中常用的模型有：传递函数和差分方 程。 ❖ 待估参数 ❖ 待估结构参数 ❖ 根据节省原理，可辨识的模型结构中，未知参数较 少的模型结构将有较高的模型精度。 ❖ 同时，未知参数越少，进行参数估计时运算就越简 单。 ❖ 典范状态方程和典范差分方程。 ❖ 优点：可用较少的或最少的参数数目表征系统的动 态特性
线性系统的差分方程 1)单输入一单输出系统 可用下列n阶差分方程表示 y(k)+a1y(k-1)+…+any(k-n)=b(k)+b(k-1)++bnl(k-n) 或写成 y()+2ay(k-1)=∑bk- i=1 =1 式中:表示第k个时刻;a1(=12…,n)和b(=12…,n) 都是常系数。 为了简化表示,引入单位延时算子x1,其定义为 z yk=y(k-l)
1、线性系统的差分方程 ❖ 1）单输入－单输出系统 ❖ 可用下列n阶差分方程表示 ❖ 或写成 ❖ 式中： 表示第k个时刻； 和 都是常系数。 ❖ 为了简化表示，引入单位延时算子 ，其定义为 ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) 1 0 1 y k a y k a y k n b u k b u k b u k n + − ++ n − = + − + + n − = = + − = − n i i n i i y k a y k i b y k i 1 1 ( ) ( ) ( ) k t −1 z a (i 1,2, ,n) i = b (i 1,2, ,n) i = ( ) ( 1) 1 = − − z y k y k
设多项式 a(=-)=1+a12+…+an- )=b+b1二-+…+bn2 则方程式(1)或(2)可表示为 a(z y(k)=b(z )u(k) 上式就是系统辨识中经常采用的基本方程。 需要辨识的参数数目为:N=2n+1
❖ 设多项式 ❖ 则方程式（1）或（2）可表示为 ❖ 上式就是系统辨识中经常采用的基本方程。 ❖ 需要辨识的参数数目为： n n n n b z b b z b z a z a z a z − − − − − − = + + + = + + + 1 0 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 a z y k b z u k − − = N = 2n +1
2)多输入一多输出系统 设系统有r个输入和m个输出,定义向量 (6)=/2(k) 4)=/y (k) 分别为系统的输入和输出向量,则系统可用差分 方程表示 y(k)+∑Ay(k-1)=∑B(k-1) 式中:A为mm矩阵,B,为mxr矩阵
2）多输入－多输出系统 ❖ 设系统有r个输入和m个输出，定义向量 ❖ 分别为系统的输入和输出向量，则系统可用差分 方程表示 ❖ 式中： 为 矩阵， 为 矩阵。 = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 u k u k u k u k r = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 y k y k y k y k r = = + − = − n i i n i i y k A y k i B u k i 1 1 ( ) ( ) ( ) Ai mm Bi mr
引入单位时延算子:,则上式可表示为 A(二-)y(k)=B(x=)(k 今式中 A()=I+A1 B()=B+B12+…+Bn 需要辨识的参数数目为 N=nxmxm+(n+I)mxr=nm+(n+I)mr 采用典范差分方程,需要辨识的参数数目将比上述 数目少得多
❖ 引入单位时延算子 ，则上式可表示为 ❖ 式中 ❖ 需要辨识的参数数目为 ❖ 采用典范差分方程，需要辨识的参数数目将比上述 数目少得多。 −1 z ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 A z y k B z u k − − = n n n n B z B B z B z A z I A z A z − − − − − − = + + + = + + + 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) N n m m (n 1) m r nm (n 1)mr 2 = + + = + +
3)-随机模型 设{a(k)}是白噪声序列,则下述随机差分方程称 为外源自回归滑动平均( ARMAX)模型 A(-)y(k)=B(x)(k)+C(x)(k) 今式中 A(2)=a0+a,2++a, B()=b+b12++b C(2=C0+C1=++Cn2 冷此处AR表示自回归部分( Autoregressive),即模 型中4(z)v);MA表示滑动平均部分( Moving Average),模型中C(=-)s(k);X表示外界输入 即B(z)(k)
3）随机模型 ❖ 设 是白噪声序列，则下述随机差分方程称 为外源自回归滑动平均（ARMAX）模型 ❖ 式中 ❖ 此处AR表示自回归部分（Autoregressive）,即模 型中 ；MA表示滑动平均部分（Moving Average），模型中 ；x表示外界输入， 即 { (k)} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 A z y k B z u k C z k − − − = + n n n n n n C z c c z c z B z b b z b z A z a a z a z − − − − − − − − − = + + + = + + + = + + + 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 B z u k − ( ) ( ) 1 A z y k − ( ) ( ) 1 C z k −
令假设以(k)=0则有 A(=-)y(k)=C(=-)(k (7) 称为自回归滑动平均(ARMA)模型 假设上式中A(=-)=1则有 y(k=C(2 E(k 令称为滑动平均(MA)模型。 假设(7)中,C(=-)=1,则有 A(=-)y(k)=E(k) 称为自回归(AR)模型。 对于计算机控制系统,由于经常存在随机干扰, 所以 ARMAX是最基本的数学模型
❖ 假设 则有 （7） ❖ 称为自回归滑动平均（ARMA）模型 ❖ 假设上式中 则有 ❖ 称为滑动平均（MA）模型。 ❖ 假设（7）中， ，则有 ❖ 称为自回归（AR）模型。 ❖ 对于计算机控制系统，由于经常存在随机干扰， 所以ARMAX是最基本的数学模型。 u(k) = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 A z y k C z k − − = ( ) 1 1 = − A z ( ) ( ) ( ) 1 y k C z k − = ( ) 1 1 = − C z ( ) ( ) ( ) 1 A z y k = k −
2、状态空间模型 令考虑一个单输入一单输出线性定常系统,用如下高 阶微分方程描述: y++ y +aoy 10m+ +…·+b120+b0u 为便于讨论,引入微分算子符号p=M,则上式可 表示为 bmp"+bm-p ++6,p+6 -1 p tan-p +ta,p+ao 假设 m<n
2、状态空间模型 ❖ 考虑一个单输入－单输出线性定常系统，用如下高 阶微分方程描述： ❖ 为便于讨论，引入微分算子符号 ，则上式可 表示为 ❖ 假设 p = d / dt b u b u b u b u y a y a y a y m m m m n n n 0 (1) 1 ( 1) 1 ( ) 0 (1) 1 ( 1) 1 ( ) = + + + + + + + + − − − − u p a p a p a b p b p b p b y n n n m m m m 1 0 1 1 1 0 1 1 + + + + + + + + = − − − − m n
将上式改写为 ptan-p tta,p+a y=(mp"+bmp"-++b, P+bo)y 或将其表示为如下形式 (n-1) y+an1y+…+a1y+a0y=l y=bny+bn1y+…+by+by 选取状态变量为 (1) XI=y
❖ 将上式改写为 ❖ 或将其表示为如下形式 ❖ 选取状态变量为 ( 1) ~ (1) ~ 2 ~ 1 , , , − = = = n n x y x y x y = + + + + + + + + = − − − − ~ 0 (1) ~ 1 ( 1) ~ 1 ( ) ~ ~ 0 (1) ~ 1 ( 1) ~ 1 ( ) ~ y b y b y b y b y y a y a y a y u m m n m n n n ( ) = + + + + + + + + = − − − − ~ 1 0 1 1 1 0 1 1 ~ 1 y b p b p b p b y u p a p a p a y m m m m n n n