现优通信原理 第十一章差错控制编码 20212/19
2021/2/19 现代通信原理 第十一章 差错控制编码
第十一章差错控制编码 §11.4BCH码 ●§115纠正和检测突发错误的分组 ●§115纠错码的误码性能
第十一章 差错控制编码 ⚫ §11.4 BCH码 ⚫ §11.5 纠正和检测突发错误的分组码 ⚫ §11.5 纠错码的误码性能
§11.4BCH码 即约多项式 个m次多项式不能被二元域上任何二次数小于的,但 大于0的多项式除尽,如D5+D2+是即约的。 ●本原多项式 若m次多项式P(x除尽的x"+1的最小正整数n满 足n=2m-1,就称为本原的。 如p(x)=x2+x+1能除尽x13+1,但除不尽1≤n15的 x"+1 如:x4+x3+x2+x+1是即约的,但不是本原的,因 它能除尽x5+1
§11.4 BCH码 ⚫ 即约多项式 – 一个 m 次多项式不能被二元域上任何二次数小于的，但 大于0的多项式除尽，如 是即约的。 ⚫ 本原多项式 – 若m次多项式P(x)除尽的 的最小正整数 n 满 足 ，就称为本原的。 – 如 能除尽 ，但除不尽 的 。 – 如 ： 是即约的，但不是本原的，因 它能除尽 。 1 5 2 D + D + +1 n x = 2 −1 m n ( ) 1 4 p x = x + x + 1 15 x + 1 n 15 +1 n x 1 4 3 2 x + x + x + x + 1 5 x +
§11.4.1本原循环码 ●由本原多项式构成的码称为本原码。 ●特点 码长为2m-1,m为正整数 它的生成多项式是由若干m阶或以m的因子 为最高阶的多项式相乘而构成 ●要判定(nk)的循环码是否存在,只需要判断n-k 阶的生成多项式是否能由Dn+1的因式构成
§11.4.1 本原循环码 ⚫ 由本原多项式构成的码称为本原码。 ⚫ 特点 – 码长为 – 它的生成多项式是由若干m阶或以m的因子 为最高阶的多项式相乘而构成。 ⚫ 要判定(n,k) 的循环码是否存在，只需要判断 n-k 阶的生成多项式是否能由 Dn+1的因式构成。 2 m −1,m为正整数
循环码例子 (n,k,n=2m-1,r=n-k=2-1-k ●生成多项式的阶次为r,该生成多项式是否是Dn+1 的因此。 一个m阶即约多项式一定能除尽D+1=D-+1 ●如,m=5,共有6个5阶即约多项式。 D5+D2+1D5+D4+D3+D2+1D5+D4+D2+D+1 D3+D3+1 D3+D3+D2+D+1 D3+D4+D3+D+1 ●再加上(D+1)因子,D是以上7个多项式的乘 积
循环码例子 ⚫ 生成多项式的阶次为 r, 该生成多项式是否是 的因此。 ⚫ 一个m阶即约多项式一定能除尽 ⚫ 如，m＝5，共有6个5阶即约多项式。 ⚫ 再加上 因子， 是以上7个多项式的乘 积。 n k n r n k k m m ( , ), = 2 −1, = − = 2 −1− +1 n D 1 1 2 1 + = + − m D D n 1 1 1 1 1 1 5 3 5 3 2 1 5 4 3 5 2 5 4 3 2 5 4 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D (D +1) 1 31 D +
§11.4.2BCH码的生成多项式 ●如果循环码形式的形式为 8(D)=LCMm, (D), m,(D),m,(D) I ●t为纠错个数,m(D)为最小多项式 ICM为最小公倍数 最小码距d≥2t+1 码长为n=2m+1的BCH码称为本BCH码(侠义 码长为n≠2m+1则称为非本原BCH码
§11.4.2 BCH 码的生成多项式 ⚫ 如果循环码形式的形式为 ⚫ 为纠错个数 ， 为最小多项式， 为最小公倍数 最小码距 码长为 的BCH码称为 本BCH码（侠义） 码长为 则称为非本原BCH码 ( ) LCM ( ), ( ), ( ), g D = m1 D m3 D m2t−1 D m (D) i LCMt = 2 +1 m n 2 +1 m n d 2t +1
BCH码 ●由于g(D)有t个因式,且每个因式的最高次为m, 因此监督码元最多有mt位 ●对于纠t个错误的本原BCH码,其生成多项式 g(D)=m1(D)m2(D)…m2+(D ●纠单个错误的本原BCH码字为汉明码。 表11-13给出了n<5的本原BCH码 11-14给出了部分非本原BCH码
BCH 码 ⚫ 由于g(D)有t个因式，且每个因式的最高次为m， 因此监督码元最多有mt位。 ⚫ 对于纠t 个错误的本原BCH码，其生成多项式 ⚫ 纠单个错误的本原BCH码字为汉明码。 – 表11－13给出了 n<5的本原BCH码。 11－14给出了部分非本原BCH码。 ( ) ( ) ( ) ( ) g D = m1 D m3 D m2t+1 D
BCH码例子 ●纠正3个错误,码长为15的BCH码 解:n=15,m=5查表11-12得, 233707 g(D)=m1(D)m23(D)m(D) D+D+1)(D++D3+D2+D+1)(D2+D+1) D0+D8+D5+D4+D2+D+1 这是(15,5)码
BCH 码例子 ⚫ 纠正 3 个错误，码长为15的BCH码 解：n=15, m=5 查表11-12得， 23 37 07 这是(15,5)码。 1 ( 1)( 1)( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 8 5 4 2 4 4 3 2 2 1 3 5 = + + + + + + = + + + + + + + + + = D D D D D D D D D D D D D D g D m D m D m D
重要的BCH码(23,12) ●表11-14中最重要的BCH码是(23,12) 称为格雷码,码间为7,能纠正3个错误 生成多项式g(D)=D+D+D7+D6+D3+D+ ●在实际通信系统中,所要求的n、k并不是码表中所推 荐的值,在这时我们可以采用缩短或扩展的方式加以 修正,也就是通过增加信息符号或校验符号来增加码 组长度,或减少信息和校验位来减少码组长度
重要的BCH码 (23,12) ⚫ 表11－14中最重要的BCH码是(23,12) 称为格雷码，码间为7，能纠正3个错误。 生成多项式 ⚫ 在实际通信系统中，所要求的n、k并不是码表中所推 荐的值，在这时我们可以采用缩短或扩展的方式加以 修正，也就是通过增加信息符号或校验符号来增加码 组长度，或减少信息和校验位来减少码组长度。 ( ) 1 11 9 7 6 5 g D = D + D + D + D + D + D +
BCH码 如BCH码的码长为奇数,而有时需要偶数码长,这时 可以在原BCH码生成多项式中乘以(D+1因子,从而 得到(n+1k)扩展BCH码,这时相当于在原BCH码上 加一个全校验位,从而将码距增加1,这时的码字不具 有循环性。 ●如果BCH码不是2m1或它的因式,这时可以采用缩短 的方式,去掉s位信息,(ns,k-s)
BCH码 ⚫ 如 BCH码的码长为奇数，而有时需要偶数码长，这时 可以在原BCH码生成多项式中乘以（D+1)因子，从而 得到（n+1,k）扩展BCH码，这时相当于在原BCH码上 加一个全校验位，从而将码距增加1，这时的码字不具 有循环性。 ⚫ 如果BCH码不是2 m-1或它的因式，这时可以采用缩短 的方式，去掉s位信息，(n-s , k-s)