《工程力学》课程讲义：第九章 变形、位移分析与刚度计算

第九章变形、位移分析与刚度计算 §9-1轴向拉压杆的变形及刚度计算 ■§9-2圆轴扭转时的变形及刚度计算 n§9-3梁的弯曲变形及刚度计算 ■§9-4简单超静定问题

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?9-1 ᅀ຿ࣸགئԅέ໹ذރէޙസ
?9-2 ၕᅀૅᅧನԅέ໹ذރէޙസ
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第九章变形、位移分析与刚度计算 构件发生在工作中所不容许的过大变形称为刚度 不足。 为了保证构件安全、正常工作,必须将其弹性变 形限制在一定范围之内。必须研究构件的变形和 位移。 研究杆件变形和位移,一方面是为了分析杆件的 刚度问题,另一方面是为了求解超静定问题

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§91轴向拉压杆的变形及刚度计算 直杆在轴向拉力或压力作用下,杆沿轴线方向的变形 称为轴向变形或纵向变形;垂直于轴线方向的变形称 为横向变形。 如图所示的圆截面杆。 nl和d一分别表示杆件变形前的长度和直径; l1和d1分别表示杆件变形后的长度和直径

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Ⳉᴚ೼䕈৥ᢝ࡯៪य़࡯⫼԰ϟˈᴚ⊓䕈㒓ᮍ৥ⱘবᔶ ⿄Ў䕈৥বᔶ៪㒉৥বᔶ˗ൖⳈѢ䕈㒓ᮍ৥ⱘবᔶ⿄ Ў῾৥বᔶDŽ
བ೒᠔⼎ⱘ೚៾䴶ᴚDŽ
l੠d — ߿ߚ㸼⼎ᴚӊবᔶࠡⱘ䭓ᑺ੠Ⳉᕘ˗
l1੠d1— ߿ߚ㸼⼎ᴚӊবᔶৢⱘ䭓ᑺ੠ⳈᕘDŽ l l1 FP FP dd1 l l1 FP FP dd1

§91轴向拉压杆的变形及刚度计算 纵向变形A=11 ■横向变形M=d1d 纵向线应变=△/ n横向线应变E′=M/d vE

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㒉৥বᔶ ∆l=l1-l
῾৥বᔶ ∆d=d1-d
㒉৥㒓ᑨব ε= ∆l/ l
῾৥㒓ᑨব εĄ= ∆d / d εĄ=ˉν ε l l1 FP FP dd1 l l1 FP FP dd1

§91轴向拉压杆的变形及刚度计算 由G=FN和G=Ee 少EB>M1=NEA:称为杆件 EA的拉压刚度。 对于受多个力作用的杆件 Al=∑4l1=∑ EA 对于承受轴向分布力的杆件 FN() d EA()

c9-1 ᅀ຿ࣸགئԅέ໹ذރէޙസ ⬅σ ˙FN /A ੠ σ ˙Eε = = =
EA F l E l ∆ σ N ε EA F l l N ∆ = EA˖⿄Ўᴚӊ ⱘᢝय़߮ᑺDŽ ᇍѢফ໮Ͼ࡯⫼԰ⱘᴚӊ i i i i EA F l l l N ∆ = ∆ = ᇍѢᡓফ䕈৥ߚᏗ࡯ⱘᴚӊ x EA x F x l l d ( ) ( ) N ∆ =

§91轴向拉压杆的变形及刚度计算 例9-1如图所示的等直杆,横截面面积A=500mm2, 材料的弹性模量,E=200GPa,试求杆件总纵向 变形。 6 kN 8KN 5KN 3 KN D 2 m m

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՟9-1 བ೒᠔⼎ⱘㄝⳈᴚˈ῾៾䴶䴶⿃A=500mm2ˈ ᴤ᭭ⱘᔍᗻ῵䞣 ˈE=200GPaˈ䆩∖ᴚӊᘏ㒉৥ বᔶDŽ

§91轴向拉压杆的变形及刚度计算 解 b kN 8IN 5kN 3kN 作出杆的轴力图 m 2 m 1.5m 由4l=4l1=∑ EA (b I的团 =4l1+42+Al 7图(单位kN FNIL+FN2 42+FN343 EA (6×103)01)-(2×103)(2)+(3×103)(1.5) (2×10)(500×10 =65×10m 0.065mm

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㾷˖ ೒࡯ᴚⱘ䕈ߎ԰
⬅ i i i i EA F l l l N ∆ = ∆ = 0.065 mm 65 10 m (2 10 )(500 10 ) (6 10 )(1)-(2 10 )(2) (3 10 )(1.5) 6 9 -6 3 3 3 N1 1 N2 2 N3 3 1 2 3 = = × × × × × + × = + + = = + + − EA F l F l F l ∆ l ∆ l ∆ l ∆ l

§91轴向拉压杆的变形及刚度计算 例9-2图a所示为一角架。杆AB为圆截面钢杆,直径 d=34mm,杆长1=-115m;杆AC为正方形截面木杆杆, 截面边长为a=170mm;钢的弹性模量E1=210GPa;木 顺纹的弹性量E2=10GPa;=300;点A处作用的集中 力FP=40kN。试求结点A的位移。 a)

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՟9-2 ೒a᠔⼎Ўϔ㾦ᶊDŽᴚ AB Ў೚៾䴶䩶ᴚˈⳈᕘ d=34mm ˈᴚ䭓l1=1.15m ˗ᴚACЎℷᮍᔶ៾䴶᳼ᴚᴚˈ ៾䴶䖍䭓Ўa=170mm ˗䩶ⱘᔍᗻ῵䞣E1=210GPa ˗᳼ 乎㒍ⱘᔍᗻ䞣E2=10GPa ˗θ =300 ˗⚍A໘԰⫼ⱘ䲚Ё ࡯FP=40kN DŽ䆩∖㒧⚍Aⱘԡ⿏DŽ

§91轴向拉压杆的变形及刚度计算 解 (1)受力分析:取结点A为研究对象了N ∑F,=0,→FN1=F/sin6 =2F1=80kN拉力) ∑F4=0,→F2=F31C0s=697kN(压力) (2)变形计算 EA ErEd? 4L Fn22_ FN2 cos 0 NI 4F. NI 21 048×103m 0.24×103m =048mm(伸长) =024mm(缩短)

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˄1˅ফߚ࡯ᵤ˖প㒧⚍AЎⷨおᇍ䈵 Fy = 0,
2 80 kN (ᢝ࡯˅ /sin P N1 P = = = F F F θ Fx = 0,
FN2 = FN1 cosθ = 69.7 kN (य़࡯˅
˄2˅বᔶ䅵ㅫ 0.48 mm (Ԍ䭓˅ 0.48 10 m 4 3 2 1 N1 1 1 1 N1 1 1 = = × = = − E d F l E A F l l π ∆ 0.24 mm˄㓽ⷁ˅ 0.24 10 m cos 3 2 2 N2 1 2 2 N2 2 2 = = × = = − E a F l E A F l l θ ∆

§91轴向拉压杆的变形及刚度计算 (3)求结点A的位移 AA =AE+ea AA 2 sing tan 8 0.48mm0.24mm 1376mm 0.5 0.577 AA,=△L1=0.24mm AA=\(AA3)2+(AA2 =√(1376mm2+0.24mm)2=1.40mm

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˄3˅∖㒧⚍Aⱘԡ⿏ 1.376 mm 0.577 0.24 mm 0.5 0.48 mm sin tan 1 2 3 3 = + = = + = + θ ∆ θ ∆ l l AA AE EA AA2 = ∆ l2 = 0.24 mm (1.376 mm) (0.24 mm) 1.40 mm ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 ' = + = AA = AA + AA