序列的乙变换 ≯L变换(拉氏变换):(线性模拟系统)解常系数 微分方程的运算方法变微分方程为代数方程 (时域→复域) Z变换:(离散系统)解常系数差分方程的运算 方法—变差分方程为代数方程(时域→复域);
序列的Z变换 ➢ L变换（拉氏变换）：（线性模拟系统）解常系数 微分方程的运算方法——变微分方程为代数方程 （时域→复域） ➢ Z变换：（离散系统）解常系数差分方程的运算 方法——变差分方程为代数方程（时域→复域）；
序列的Z变换→ 2 S平面 时间连续系统中:F变换【→2 (虚轴) F变换 L变换t→>σ+j2(S平面) Z平面 时间离散系统中:F变换nT→e10(单位圆) e Z变换nT→re1(Z平面) R2(z) 2变换的定义及收敛域 F变换 定义:X(z)=∑x(n)2双边Z变换 n=-00 +∝ X￥()=∑x(n)z7单边乙变换 Z变换存在的条件:∑x(n)2=-1< 收敛域R<<R(环状)
序列的Z变换 时间连续系统中： L变换 t → + j （S平面） F变换 t → j （虚轴） j F变换 j 0 S平面 时间离散系统中： F变换 j nT → e （单位圆） Z变换 j nT → re （Z平面） R (Z) e jI (Z) m F变换 0 j re e j Z平面 Z变换的定义及收敛域 定义: + =− − = n n X (z) x(n)z 双边Z变换 + = − = 0 ( ) ( ) n n X z x n z 单边Z变换 Z变换存在的条件： =− − n n x(n)z 收敛域 R x − z R x + (环状）
z变换的收敛域 对于任意给定的序列x(n),能使X(2)=∑x(m)zn 收敛的所有x值之集合为收敛域。 即满足∑xn)"k<的区域(ROCO ROC: Region of convergence 不同的x(m)的z变换,由于收敛域不同,可能对应于相 同的变换,故在确定了变换时,必须指明收敛域
Z 变换的收敛域
Z变换的收敛域 按复变函数的理论,幂级 Im(z) 数的收敛域为Z平面上的环 状区域nk2,、n2 Z平面 是X(2)的板点,F1可以取 零值,n2可取∞。如果 2<丌,说明收敛域不存 Re(z 在,那么z变换也不存在 在此域内Ⅹ(z)是z的解析函 数,Ⅺ(z)的极点在R(收敛 域)之外
Re(z) Z平面 Im(z) r1 r2 按复变函数的理论，幂级 数的收敛域为Z平面上的环 状区域 ， 、 是X(z)的极点, 可以取 零值， 可取 ∞。如果 < ，说明收敛域不存 在，那么 z 变换也不存在。 在此域内X(z)是z的解析函 数，X(z)的极点在R（收敛 域）之外。 1 2 r |z| r 1 r 2 r 1 r 2 r 2 r 1 r Z 变换的收敛域
Z变换的收敛域(3) 1.有限长序列的收敛域 x(n),n1≤n≤n2 2.右边序列的收斂 x(n)=a"l(n)0≤n 3.左边序列的收敛 x()=-al(-n-1)n≤-1 4.双边序列的收敛 (n)=b ∞0
Z 变换的收敛域(3)
有限长序列 序列 收敛域 x(n)=x(n) n, 0 0<<∞ 非因果性 n2≤0 0≤|2<∞0 非因果性 例求x(n)=R(m)的Z变换和收敛域 解:X()=∑ 收敛域为0<2≤0
有限长序列 序列 收 敛 域 • • • • • n 0 • n1 n2 • • • • • • • • • • • • • • n 0 • • • • n1 n2 • • • • • • • • • • • • • • • 0 1 n 因果性 n • • • • n2 • n1 • • • • • • • • • • • • • • 0 0, 0 1 2 n n 非因果性 0 2 n 非因果性 0 z 0 z 0 z 1 1 0 1 1 ( ) − − − = − − − = = z z X z z N N n n 例 求 x(n) = RN (n) 的Z变换和收敛域。 解： 收敛域为 0 z 1 2 几乎整个Z平面 n = n = n x(n) = x(n) 0 其它
右边序列的收敛 x(n)=a"un) n+1 ()=∑a"∑ az 当时收敛 1 X( ROC:>a
右边序列的收敛
右边序列的收敛 例:求x(m)=aU()的z变换 X()=∑a"U(n)=m=2(az 1-az 1=-0 2-C R:2>a(极点) 0.5
例： 求 x(n) = a n U(n)的 z 变换 R: z a （极点） = − − =− − − = − = = = 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n n n z a z az X z a U n z az 右边序列的收敛
左边序列的收敛域 (n)=-a"u(-n-1 x()=∑(az”) =-c 令 X()∑(a"")∑( n a ai= 1-∑ n=1 n=0 m=0 1 ∑ n=0飞 a Ni-co 当“<1,即d<a时收敛 X(7)11 ROC: a- 2
左边序列的收敛域
左边序列的收敛域 在上面的两列中的序列是不同的,即一个是左边序列,一个是 右边序列,但其Z变换是一样的,收敛域都不同。换句话说, 同一个Z变换函数,收敛域不同对应的序列是不同的 另外,我们知道,收敛域中无极点 收敛域总是以极点为界的。如果求 出序列的Z变换,找出其极点,则 可根据序列的特性,较简单地确定 其收敛域 三 Re z
左边序列的收敛域 在上面的两列中的序列是不同的，即一个是左边序列，一个是 右边序列，但其Z变换是一样的，收敛域都不同。换句话说， 同一个Z变换函数，收敛域不同对应的序列是不同的。 另外，我们知道，收敛域中无极点 收敛域总是以极点为界的。如果求 出序列的Z变换，找出其极点，则 可根据序列的特性，较简单地确定 其收敛域