第三章离散 Fouriers变换(DFT) 主要内容: 离散傅立叶变换的定义 离散傅立叶变换的基本性质 频率域采样 DFT的应用
主要内容： •离散傅立叶变换的定义 • 离散傅立叶变换的基本性质 •频率域采样 •DFT的应用 第三章 离散Fourier变换（DFT）
DFT定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列,则定义x(n)的N点离散 傅立叶变换为: X(k)=DF[x(m)=∑x(m)WM,k=0,1,,N-1(3.1.1) X(k)的离散傅立叶逆变换IDFT为 x(n=IDFTIX(k)l x(kW=n=0.2,N-1(312) 式中,W=eN,N称为DF变换区间长度,N2M 把(31.1)代入(3.12)有 IDFTIX(=∑∑xm)WmJ k=0m=0 ∑x(m )∑Wm- m=0 N
DFT定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散 傅立叶变换为： 1 0 ( ) [ ( )] ( ) , 0,1,..., 1 N kn N n X k DFT x n x n W k N − = = = = − X(k)的离散傅立叶逆变换IDFT为: 1 0 1 ( ) [ ( )] ( ) , 0,1,2,..., 1 N kn N k x n IDFT X k X k W n N N − − = = = = − 式中, 2 , j N W e N DFT N M N − = 称为 变换区间长度， 。 (3.1.1) (3.1.2) 把(3.1.1)代入(3.1.2)有 1 1 0 0 1 [ ( )] [ ( ) ] N N mk kn N N k m IDFT X k x m W W N − − − = = = 1 1 ( ) 0 0 1 ( ) N N k m n N m k x m W N − − − = = =
N∑以=1mNM整数 0.,m≠n+MN,M为整数 所以在变换区间上满足下式 IDFTTX()=X(n),0<nsN-1 由此可见、(3.12)式定义的离散傅立叶逆变换是唯一的 例:x(n)=R4(n),求x(m)的8点和16点DFT 解:设变换区间N=8,则 设变换区间N=16,则 X(k)=∑ x(n)r8 X(k)=∑x(n=∑e SIr -k) sin(k) e k=0.1.2.7 k=0.1.2..15 sin(k) sin (k) 8 由此可见,x(m)的离散傅立叶变换结果与变换区间长度N的取值有关
1 ( ) 0 1, , 0, , N k m n N k m n MN M W m n MN M − − = = + = + 1 为整数 N 为整数 所以,在变换区间上满足下式: IDFT[X(k)]=x(n), 0≤n≤N-1 由此可见,(3.1.2)式定义的离散傅立叶逆变换是唯一的. 例: x(n)=R4 (n),求x(n)的8点和16点DFT 解: 设变换区间N=8,则 7 3 2 8 8 0 0 3 8 ( ) ( ) sin( ) 2 , 0,1,2...7 sin( ) 8 j kn kn n n j k X k x n W e k e k k − = = − = = = = 设变换区间N=16,则 15 3 2 16 16 0 0 3 16 ( ) ( ) sin( ) 4 , 0,1,2...15 sin( ) 16 j kn kn n n j k X k x n W e k e k k − = = − = = = = 由此可见,x(n)的离散傅立叶变换结果与变换区间长度N的取值有关
DFT和Z变换的关系 设序列x(n)的长度为N其Z变换和DFT分别为 X()=Z[x(m)=∑x(n) X(k)=DF[x(m)=∑x(m),0≤k≤N-1 7=0 比较上面二式可得关系式 X(k)=X(zl 2,0≤k≤N-1(313) 或 X(k)=X(e)|2x.,0≤k≤N-1(314) k
DFT和Z变换的关系 设序列x(n)的长度为N,其Z变换和DFT分别为: 1 0 1 0 ( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] ( ) ,0 1 N n n N kn N n X z ZT x n x n z X k DFT x n x n W k N − − = − = = = = = − 比较上面二式可得关系式 ( ) ( ) | ,0 1 2 j k N z e X k X z k N = = − (3.1.3) 或 2 ( ) ( ) | ,0 1 j k N X k X e k N = = − （3.1.4)
e 式(31.3)表明序列x(m)的 N点DFT是xn)的Z变换 在单位圆上的N点等间 隔采样。式(3.1.4)则说 2T 明X(k)为xm0的傅立叶K( 变换Xe)在区间 N=8 [0,2z]上的N点等间 隔采样 4567 即对序列频谱的离散化X(k N=16 DFT的变换区间长度N 不同,采样间隔和采样 点数不同,DFT变换 024 810 121415 结果也就不同 图3.11X(k)与X(e)的关系
式(3.1.3)表明序列x(n)的 N点DFT是x(n)的Z变换 在单位圆上的 N点等间 隔采样。式(3.1.4)则说 明X(k)为x(n)的傅立叶 变换 ( ) j X e 在区间 [0,2 ] 上的N点等间 隔采样 DFT的变换区间长度N 不同，采样间隔和采样 点数不同，DFT变换 结果也就不同 即对序列频谱的离散化
DFT的隐含周期性 DFT的隐含周期性可以从三种不同的角度得出: 1如前所述X(k)是对X(e)的采样,由于X(e)是以2丌 为周期的周期函数,即X(k)是对X(e)的主值区[0,2] 上N点等间隔采样。显然,当自变量k超出DFT变换区间时, 必然得到[0,2]以外区间上X(e)的采样,且以N为周期重复 出现,得到X(k)=X()N 2由W的周期性可证明X(k)的周期性 前面定义的DFT变换对中,x(n)与X(k)均为有限长序列但由于
DFT的隐含周期性 DFT的隐含周期性可以从三种不同的角度得出： 1.如前所述X(k)是对 ( ) j X e 的采样，由于 ( ) j X e 是以 2 为周期的周期函数，即X(k)是对 ( ) j X e 的主值区 [0,2 ] 上N点等间隔采样。显然,当自变量k超出DFT变换区间时, 必然得到 [0,2 ] 以外区间上 ( ) j X e 的采样,且以N为周期重复 出现,得到 ~ ( ) (( )) X k X k = N 2.由 kn WN 的周期性,可证明X(k)的周期性 前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但由于
DFT的隐含周期性 对任意整数m,.总有 W+mN)=W,k,mn,N均为整数 所以(3.1.1)中,X(k)满足: X(k+nN)=∑x(m)W (k+mN)n n=0 ∑x(m)W=X(k) 同理(3.1.2)中,x(n+mN)=x(n) 这说明(31.1)和(31.2)中的X(k)隐含周期性,且周期均为N
DFT的隐含周期性 ( ) , , , , ( ) k mN k N N m W W k m N X k + = = = N-1 (k+mN)n N n=0 N-1 kn N n=0 对任意整数 总有 均为整数 所以(3.1.1)中,X(k)满足： X(k+mN)= x(n)W x(n)W 同理(3.1.2)中,x(n+mN)=x(n) 这说明(3.1.1)和(3.1.2)中的X(k)隐含周期性,且周期均为N
DFT的隐含周期性 3由X(k)与x(n)的周期延拓序列x(n)的DFS系数X(k) 的关系也可得出DFT的隐含周期性 设x(m周期延拓序列XN(m)=x()y 则:xN(m)的DS系数为x(k)=∑x(m)l=∑x(n 显然,当k=0,1,2.N-1时 X(k)=X(k)=DFT[x(n)]ep: X(k)=X(k).R(k)(3.6) 由于:(k)是以N为周期的,所以有:Y(k)=X(k) 结论有限长序列x(n)的N点离散傅立叶变换X(k)可定义为x(n)的 周期延拓序列x(m)的DFS系数x(k)的主值序列
DFT的隐含周期性 3.由X(k)与x(n)的周期延拓序列x((n))N的DFS系数 ~ X k( ) 的关系,也可得出DFT的隐含周期性 设x(n)的周期延拓序列 ~ N ( ) (( ))N x n x n = 则: ~ x n N ( ) 的DFS系数为 1 1 2 ~ ~ 0 0 ( ) ( ) ( ) N N j kn N kn N N n n x k x n e x n W − − − = = = = 显然,当k=0,1,2…,N-1时. ~ ~ ~ ~ ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( )) N N X k X k DFT x n X k X k R k X k N X k X k = = = • = 即： 由于： 是以 为周期的，所以有： (3.6) 结论:有限长序列x(n)的N点离散傅立叶变换X(k)可定义为x(n)的 周期延拓序列x((n))N的DFS系数 的主值序列 ~ X k( )
DFT的性质 (1)线性:a团+b①ax内+b[k, 此处x和y仞长度相同(若不同则加零) (2)序列的圆周/循环移位 定义 y(n=x(n-mNRN 将X(n)周期沿拓得x(n)将x(m)移m位得: x(n-m)=x((n-m)N 取主值,一端出另一端进,因为是有限长;均匀分布在 个圆上,顺时针或逆时针旋转
DFT 的性质 （1) 线性: ax[n] + by[n] DFT aX[k] + bY [k], 此处 x[n] 和y[n] 长度相同 (若不同则加零) （2)序列的圆周/循环移位 定义： y(n) x((n m)) R (n) = − N N x(n) ( ) ~ ( ) x n ~ x n n m N x(n m) x(( )) ~ − = − 将 周期沿拓得 将 右移m位得： 取主值，一端出另一端进，因为是有限长；均匀分布在一 个圆上，顺时针或逆时针旋转
DFT的性质 时域循环移位定理 * DFTIx(n)l-X(), y(n)=x((n-m)NRN(n) 则:DFTy(n) WN X() 含义:表明序列圆周移位后的DFT为X(k)乘上相移因 子W,即时域中圆周移m位,仅使频域信号产生〃 的相移,而幅度频谱不发生改变,即WxX(k)曰X(k) 频域循环移位定理 若X(k)=DFTx(n)0≤k≤N-1 Y()=X((k+(k) Ay: (n-IDFTIY(I=WNx(n)
DFT 的性质 时域循环移位定理 若：DFT[x(n)]=X(k), y(n) x((n m)) R (n) = − N N mk 则：DFT[y(n)]= X(k) WN 含义：表明序列圆周移位后的DFT为 乘上相移因 子 ，即时域中圆周移m位，仅使频域信号产生 的相移，而幅度频谱不发生改变，即| |=| | X (k) mk WN mk WN mk WN X (k) X (k) 频域循环移位定理 若:X(k)=DFT[x(n)],0≤k≤N-1 Y(k)=X((k+l))NRN(k) 则:y(n)=IDFT[Y(k)]= ( ) nl W x n N
