§3.3频率抽样理论 一,频域采样定理 时间(频率函数她崖导致,频率(时间)函数固化 对Z变换在单位圆上等间隔抽样一即对ⅹ(e妯样,频率抽样点数为N,则: X(k)=X()2x、、8" ∑x(n)e 22x(n)W如k=0,…N-1 AxN(n)=DFTIX(k) n=0, 1,N-1 X(k)对应的x(m)与X()对应的x(m)的关系是什么? 由DFT和DFS的关系知,X(k)是x(n)以N为周期的周期延拓序列x(n 的离散傅立叶级数X(k)的主值序列,即 X(k=X()N=DES(n) X(k)=X(KR(n) N-1 x(n)=IDFSIX(K)I ∑X(k)W=∑X(k)们 Nk=o Nk=0
§3.3 频率抽样理论 时间(频率)函数抽样 频率(时间)函数周期化 导 致 对Z变换在单位圆上等间隔抽样—即对 ( ) 抽样 j X e ，频率抽样点数为N，则： k = 0,1,....N −1 的离散傅立叶级数 ( ) 的主值序列，即 ~ X k 由DFT和DFS的关系知， 是 xN (n) 以N为周期的周期延拓序列 ( ) ~ X (k) x n ( )] ~ ( ) (( )) [ ~ X k = X k N = DFS x n ( ) ( ) ~ X (k) = X k RN n ( )] ~ ( ) [ ~ x n = IDFS X k − = − = 1 0 ( ) 1 N ~ k kn WN X k N − = − = 1 0 ( ) 1 N k kn WN X k N 一，频域采样定理 k N j z e k N j X k X e X z ( ) ( ) | ( ) | 2 2 = = = = =− =− − = = n k n N n k n N j x(n)e x(n)W 2 x (n) IDFT[X(k)] 令 N = n = 0,1,....N −1 X(k)对应的xN (n)与X(z)对应的x(n)的关系是什么？
x(m)= ∑[∑x(mWw=∑x(m)∑W (m-n)k N N-1 I m=n+rM =∑x(n+rN) A之(mn)= 0m其他 所以xN(m)=x(m)Rx(n)=∑x(n+rN)R(n) r=-0 可见,X()在单位圆上的N点等间隔采(k)的DFT是原序列x(n)以N 为周期的周朝延招序列的主值序列 频域采样定理: 如果序列长度为M,X(k)表示在区间[0,2n上对X(e)的N点等间隔样 则只有当N≥M时,才能由X(k)恢复出(e)和x(n)否则产生时域混叠现象。 且x(m)=DFTX(k)=∑x(n+rN)R(m) 若MNx(m)R(n)=x(m)时域无混叠由N个x(k)可以恢复→得到X(z) 若MNx(n)R(n)≠x(m)时域混叠 故:N≥M为频率抽样(不失真)条件
= + = − = − m 其他 m n rN W N N n m n k N 0 1 1 1 0 ( ) ∵ ( ) ~ 时域无混叠由N个 X k 可以恢复→得到X(z) 若 M>N ( ) ( ) ( ) ~ x n RN n x n 时域混叠 故： N M 为频率抽样（不失真）条件 若 MN ( ) ( ) ( ) ~ x n RN n = x n 所以 可见， 在单位圆上的N点等间隔采样 的IDFT是原序列 以N 为周期的周期延拓序列的主值序列。 X (z) X (k) x(n) 频域采样定理： 如果序列长度为M， X (k) 表示在区间[0，2π]上对 ( ) 的N点等间隔采样. j X e 则只有当 N M 时，才能由X(k)恢复出 ( ) 和 ，否则产生时域混叠现象。 j X e x(n) 且 =− = = + r x(n) IDFT[X (k)] x(n rN)RN (n) + =− + =− − = − − = − + =− = + = = r m N n m n k N N n kn N m km N x n rN W N x m W W x m N x n ( ) 1 [ ( ) ] ( ) 1 ( ) ~ 1 0 ( ) 1 0 =− = = + r N N N x n x(n)R (n) x(n rN)R (n) ~ ( )
频率抽样 X() 二,内插函数 通过内插函数恢复出X(=)或X(e" 内插(恢复) x(n) x(n) 设序列x(n)长度为M,在频域0~2π之间等间隔采样N点,N≥M X(k)=X(=) k=0,12-1 其中WNAN=1) x(n)=DDFX(k)]=1∑X(k)W如 N ∴X(=)=∑x(n)2 X(kW]zm=∑X(k) n=0 N1- ΣX(k)((=) 内插公式 其中q(2)=N1-Wx 内插函数
二 ， 内插函数 通过内插函数恢复出 X (z) 或 ( ) j X e X (z) X (k) x(n) x(n) 频率抽样 内插（恢复） 设序列 x(n) 长度为M，在频域0～2π之间等间隔采样N点， N M k N j z e X k X z 2 ( ) ( )| = = k = 0,1,....N −1 − = − = = 1 0 ( ) 1 ( ) [ ( )] N k k n WN X k N x n IDFT X k ∴ − = − − − − = − − = − − = − − − = = = 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 [ ( ) ] ( ) 1 ( ) ( ) N k k N N N n n N k k n N N n n W z z N X k W z X k N X z x n z ( ) ( ) 1 0 X k z N k k − = = 1 内插函数 1 1 1 ( ) − − − − − = W z z N z k N N 其中 k 内插公式 = 1 −kN （ 其中 WN ）
把z=e代入9(3)=N1-W2 2 SIn-@ j-(--k) N sin(@-k 2 =(o-2k) X(elo)=2X()p(0-ETk k=0 (N-1)O 其中φ() I sin(No/2) N sin(@/2) 小结:1.内插函数是连续函数 k=3 例如:N=4时,图示如右 2.相应的系数:(k)即样本值 (原来的抽样点正好是插值点)
) 2 ( ) 2 ( 2 1 sin ) 2 ( 2 sin 1 ( ) ) 2 ( 2 1 k N e k N k N N N e k N N j j k = − − − = − − − 1. 内插函数是连续函数 例如：N=4时，图示如右 j e 0 ╳ N 2 1 0 ( ) 0 j e k=0 • 0 ( ) 1 j e • j e 0 ╳ k=1 ( ) 2 j e 0 • j e ╳ 0 k=2 0 ( ) 3 j e • j e 0 ╳ k=3 2. 相应的系数： 即样本值 （原来的抽样点正好是插值点） X (k) 把 代入 j z = e 1 1 1 1 ( ) − − − − − = W z z N z k N N k 2 ( 1) sin( / 2) 1 sin( / 2) ( ) − − = N j e N N 其中 − = = − 1 0 ) 2 ( ) ( ) ( N k j k N X e X k 小结：
§3.4DFT的应用举例 3.4.1用DFT计算线性卷积 ,用DFT计算循环卷积 如果y(n)=x1(m)①x(n)=x;(m)x2(-m)R(n) M= 且X1(k)=DFTx(n) 0≤k≤L-1 X2(k)=DF/[x2(m) 由时域循环卷积定理有 Y(k)=DFTLy(n= X(X,(k) 0≤k≤L-1 下图为用DFI计算循环卷积的框图 DFT IDFT x,(nx,(n) (n)—DFT」x(k)
§3.4 DFT的应用举例 3.4.1 用DFT计算线性卷积 一，用DFT计算循环卷积 如果 ( ) ( ) y n = x1 n L ( ) 2 x n ( ) (( )) ( ) 2 1 0 x1 m x n m L RL n L m = − − = 且 ( ) [ ( )] X1 k = DFT x1 n ( ) [ ( )] X2 k = DFT x2 n 0 k L −1 由时域循环卷积定理有 ( ) [ ( )] ( ) ( ) 1 2 Y k = DFT y n = X k X k 0 k L −1 下图为用DFT计算循环卷积的框图 ( ) x1 n DFT ( ) x2 n DFT IDFT ( ) 1 X k ( ) 2 X k ( ) 1 x n ( ) L x2 n
线性卷积和循环卷积的关系及循环卷积与线性卷积相等的条件 x(m)和h(n)都是有限长序列,长度分别是M和N2,N≥maxN,N2] N-1 线性卷积y;(n)=h(n)*x(m)=∑h(m)x(n-m) N1+N2-1点 循环卷积y(m)=h(n)x(n)=∑h(m)x(-m)Rx(n)N点 因为x()=∑x(n+rN) N-1 所以y2(n)=∑h(m)Σx(n-m+rN)Rx(n) m=0 r=-0 ∑∑h(m)x(n-m+rNR(m) r=-00m=0 ∑y(n+rN ORN(n 结论:y(n)等于y(m)以N为周期的周期延拓序列的主值序列 只有当N≥N+N2-1时,y(n)以N为周期进行周期延拓才无混叠现象 此时取其主值序列满足y2(m)=y/(m)
二，线性卷积和循环卷积的关系及循环卷积与线性卷积相等的条件 和 都是有限长序列，长度分别是N1和N2， x(n) h(n) max[ , ] N N1 N2 线性卷积 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 y n h n x n h m x n m N m l = = − − = 循环卷积 y (n) h(n) c = N x(n) ( ) (( )) ( ) 1 0 h m x n m N RN n N m = − − = 因为 =− = + r N x((n)) x(n rN) 所以 =− − = = − + r N N m yc (n) h(m) x(n m rN)R (n) 1 0 =− − = = − + r N N m h(m)x(n m rN)R (n) 1 0 y (n rN)R (n) r l N =− = + yc (n) 等于 yl (n) 以N为周期的周期延拓序列的主值序列 N1+N2－1点 N点 只有当 N N1 +N2 −1 时， yl (n) 以N为周期进行周期延拓才无混叠现象 此时取其主值序列满足 y (n) y (n) c = l 结论：
例: x, t→n 线性卷积x1(m)*x2(m) 012345 循环卷积x(n)④x{mn) 循环卷积x(m)⑤x2(n 满足N≥N+N2-1的 循环卷积x(m)⑥x2(m)
例： 0 1 2 3 n • • • • 1 2 ( ) 3 1 x n N1 = 4 n 0 1 2 • 1 1 ( ) 2 x n • • N2 = 3 ( )* ( ) 线性卷积 x1 n x2 n N = 6 n 0 1 2 3 4 5 • • • • 1 6 3 • • 5 3 n -2 -1 0 • 1 1 ( ) 2 x −n • • • • 0 1 2 3 n • • 6 • 4 • 5 循环卷积 ( ) 3 1 x n ( ) 2 ④ x n n 0 1 2 3 4 • • • 1 6 3 • • 5 循环卷积 ( ) 3 1 x n ( ) 2 ⑤ x n 循环卷积 ( ) x1 n ( ) ⑥ x2 n 满足 N N1 +N2 −1 的 n 0 1 2 3 4 5 • • • • 1 6 3 • • 5 3
三,利用DFT求线性卷积和2N+N2 M点DF(k)+(),B(A) x(n) IDFT (m)*h(n)=x(m)①h(m) N点 H(k) N点 补N一N个零 DFTN点补NN个零 点h(n) 实际上,直接作线性卷积有时很麻烦,但用DFT计算就方便 (尤其还有DFT的快速运算法FFT) 四,当输入长序列信号时,如何利用DFT求系统的出 若输入序列x(n)的宽度N很大, h(n) 而h(m)的宽度不太大 N点 M点 直接对整个长序列x(n)作DFT的话,运算工作量很大(∴N很大) 为此,将长序列分段计算,分段处理有重叠相加法和重叠保留法两种
三 ， 利用DFT求线性卷积和 x(n)*h(n) 1 1 2 N N + N − 实际上，直接作线性卷积有时很麻烦，但用DFT计算就方便 （尤其还有DFT的快速运算法:FFT） 四， 当输入长序列信号时，如何利用DFT求系统的输出 x (n) y (n) h (n) N点 M点 若 输入序列x(n)的宽度N很大， 而h(n)的宽度不太大 直接对整个长序列x(n) 作DFT的话，运算工作量很大（∵N很大） 为此，将长序列分段计算，分段处理有重叠相加法和重叠保留法两种。 x(n) N h(n) H (k ) X (k) X (k) H(k) DFT DFT IDFT h(n) x(n) N点 N点 N点 N2 点 N1 点 补N－N1个零 补N－N2个零
假设将x(n)的宽度N均匀分成P段:N=PL,h(n)的长度是M x(n)=∑xk(n) v(n= VK 1,重叠相加法 L L L L L L L x0(n) 将x(n)的每个小段 x(m):M-1 都延长M-1,并补 x,(n)iM-1 yo(n) Yk (n)=xk(n)h(n) y,(n) 卷积长度为L+M-1 V2 各段相加包括交迭部分相加)即为输出
( ) ( ) 1 0 x n x n P k k − = = ( ) ( ) 1 0 y n y n P k k − = = 1, 重叠相加法 L L L L L L L n ( ) x0 n … …M-1 将x(n)的每个小段 都延长M-1,并补 以0 ( ) x1 n …M-1 ( ) x2 n …M-1 x 卷积长度为L+M-1 y (n) x (n)*h(n) k = k ( ) y0 n ( ) 1 y n ( ) y2 n 各段相加，（包括交迭部分相加）即为输出 y 假设将x(n)的宽度N均匀分成P段: N=PL， h(n)的长度是M
2,重叠保留法 LL1,L,L,L… xo(n):M-I 每个小段延长M1 M1个 x,(n) 补以下一小段起始 补0 x(n):M1}数据 重叠相加法 M+1 halen yo(n) (m) 8h(n) y2(m) 卷积长度仍为L+M-1 x k+I( 除去每段输出起始的[0M-2]部分后,各段 起始的 衔接相加,即为输出 M1个 重叠保留法
M-1个 补0 • • • • • • • • • • • • 1 0 L-1 3 2 • • • • x (n) k 0 -M+1 • • • • • h(−n) -1 重叠相加法 2, 重叠保留法 L L L L L L … n ( ) x0 n M-1 每个小段延长M-1, 补以下一小段起始 数据 ( ) x1 n M-1 ( ) x2 n M-1 x ( ) y0 n 卷积长度仍为L+M-1 y (n) x (n) h(n) k = k ( ) y1 n ( ) y2 n M-1 M-1 除去每段输出起始的[0,M-2]部分后，各段 衔接相加，即为输出 y • • • • • • • • • • • • 1 0 3 2 • • • • • • • • L-1 x (n) k x (n) k+1 起始的 M-1个 重叠保留法