西安电子科技大学：《数字信号处理》课程教学资源（PPT课件）第二章 离散时间信号和系统的频域分析

第二章离散时间信号和系统的频域分析 主要内容 ●DT信号的离散时间 Fourier变换 ●周期序列的离散傅立叶级数及傅立叶变换表示式 ●序列的乙变换 ●利用Z变换分析信号和系统的频域特性

第二章离散时间信号和系统的频域分析 主要内容: ● DT信号的离散时间Fourier变换 ● 周期序列的离散傅立叶级数及傅立叶变换表示式 ● 序列的Z变换 ●利用Z变换分析信号和系统的频域特性

DT信号的离散时间 Fourier变换 离散时间 Fourier变换,ie.,DTFT Discrete Time Fourier transform (e")=∑ xin]e on n- [n] X(e/ )edo 2丌 X(e)是o的周期函数,其周期为2x X(0)=X(e)eo幅度和相位 e.g.(1)x[n]=Smn],X(e/0)=1; (2)xm]=amn,Y(e)=1/(1-ae),(l<1

DT信号的离散时间Fourier变换 ( ) Discrete Time Fourier Transform ( ) [ ] 1 [ ] ( ) 2 ( ) , 2 ( ) ( ) e.g. (1) [ ] [ ], ( j j n n j j n j j j j j X e x n e x n X e e d X e X e X e e x n n X e                  − =− −  = = = =   — 是 的 周期函数 其周期为 。 —幅度和相位 j ) 1; (2) [ ] [ ], ( ) 1/(1- ), ( 1). n j - x n a u n X e ae a   = = =  离散时间Fourier变换，i.e., DTFT

DTFT的举例 (3)延迟序列 [n-nl]<e0"0 (4)常数序列:12∑(+2m) (5)复指数序列:c"2z∑O(0-mo+2) k (6)正弦序列: coROnet∑(-0+2)+∑(O++2) k (7)单位阶跃序列:m分,+x∑。(0+2m) (8)采样函数序列 sin on 0<0 X(e) 0, O≤丌 (9)矩形信号R[]=mn-M] x[m]= 0sn≤M∠sn[o(M+1)/2 eJoN M/ otherw ise Si(/2)

DTFT 的举例 -j M/ 2 N c 0 0 0 0 j -j 0 sin ( / 2) sin[ ( 1)/ 2] 0, 1, 0 [ ] (9) [ ] [ ] [ ]: 0, 1, , ( ) sin (8) : ( 2 ) 1 1 (7) : [ ] (6) : cos ( 2 ) ( 2 ) (5) : 2 ( 2 ) (4) : 1 2 ( 2 ) (3) : [ ] 0 0                                       e M otherwise n M x n R n u n -u n-M X e n n k e u n n k k e k k n-n e c j c k j k k k n k n +       = =        = + + −         − + + + +  − +  +        =− −  =−  =−  =−  =− 矩形信号 采样函数序列 单位阶跃序列 正弦序列 复指数序列 常数序列 延迟序列

DTFT&LT系统 令xm<>X(e);hm]<>He);川n<>Y(e) ym1=x]*hn=∑l]xn-k] Y(e)=∑川nl=∑k∑xn-kpn 1=-0 ∑研kle∑xn-kp jo(n-k) -0 X(e hIn,h(e X(e h( H(eX(eo) yInI H(eox(eo) Jo n 2丌Jz 输出y的幅度受H(2")影响 输出y的相位受Φ(H(e/)的影响

DTFT & LTI 系统 ( )) . 输出 的相位受 的影响 输出 的幅度受 的影响； 令                    j j j j j n j j k j n k n j k k j n n n j j n k F j F j F j y n H e y n H e y n H e X e e d H e X e h k e x n k e Y e y n e h k x n k e y n x n h n h k x n k x n X e h n H e y n Y e [ ] ( [ ] ( ) ( ) ( ) 2 1 [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ); [ ] ( ); [ ] ( ). ( )  = = = − = = − =  = − ⎯→ ⎯→ ⎯→        −  =− − −  =− −  =− −  =−  =− −  =− ( ) ( ) [ ], ( ) ( )     j j j j X e h e h n H e LTI X e

DTFT的存在性 若下式成立 ∑m-x X(e")-∑ x[n]e jon do=0 M

DTFT的存在性 2 [ ] [ ] DTFT lim ( ) [ ] 0. M j n n n M j j n n M x n e x n X e x n e d         − =− =− − − − − •    − = →      若下式成立 ——绝对可和， 则， 存在且连续。 则

DTFT的特性(1 线性 ax[n]±byn]分aY(e0)±bY(e) 时移: xn-dse r(e/ 调制 e/o"x{n]分X(eo-0) 反转 xl-n]ex(e 微分 nx[n]分>j iX(e d

DTFT 的特性(1)           d dX e nx n j x n X e e x n X e x n-d e X e ax n by n aX e bY e j j j n j j d j j j o ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) 0 •  • −  •  •  •    − − − : : : : : 微分 反转 调制 时移 线性

DTFT的特性(2) 线性卷积 xn]*y{n]分X(e)r(e) ·序列相乘 x{m1y/、1 」Xx(e)y(e j(o-0) ddo 2丌 周期卷积 ● Parseval定理: ∑m=,J X(elo )l de n=-0 2兀一兀

DTFT 的特性(2)               x n X e d x n y n X e Y e d x n y n X e Y e j j j j j    −  =  −  −  = •   •   • 2 2 ( ) ( ) 2 1 [ ] ( ) ( ) 2 1 [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) n - Parseval : : : 定理 — — 周期卷积 序列相乘 线性卷积

结论 将序列分为实部和虚部,分别对两部分作傅立叶变换,可以 证明实部对应的FT具有共轭对称性,虚部和一起对应的FT变 换具有共轭反对称性。 2.将序列分为共轭对称部分和共轭反对称部分,序列的共轭对称 部分对应着FT的实部,序列的共轭反对称部分对应着FT的虚部和j。 时域 频域 时域 频域 实 共轭对称 实偶 实偶 共轭对称 实 实奇 虚奇 虚 共轭反对称 虚偶 虚偶 共轭反对称 虚 虚奇 实奇

1. 将序列分为实部和虚部，分别对两部分作傅立叶变换，可以 证明实部对应的FT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的FT变 换具有共轭反对称性。 结论： 实 实 时域 频域 共轭对称 共轭反对称 共轭对称 共轭反对称 虚 虚 2. 将序列分为共轭对称部分和共轭反对称部分，序列的共轭对称 部分对应着FT的实部，序列的共轭反对称部分对应着FT的虚部和j。 虚奇 实偶 时域 频域 实偶 虚偶 实奇 虚奇 实奇 虚偶

DTFT的特性(3) x/ n= x, (n)+ jx; (n) x(n= xe)+ xo(n) Xp)=Xe)+e")Xe")=X,/e")+x/e") 1、x(m)为实序列,x1(n)=0,Y(e)=X(e),共轭对称; 2、实因果序列,x(n)=0,n0 2x。(n)n>0 x(n)={x(0)n=0 x(n)={x0(0)n=0 0nx(n)>x(n)-> X(e) jIm[X(e)]->xo()>x(n)->X(e

DTFT 的特性(3) r i e o jw jw jw jw jw jw e o r i x(n) = x (n) + jx (n) x(n) = x (n) + x (n) X(e ) = X (e ) + X (e ) X(e ) = X (e ) + jX (e ) i e o e o 1 x( ) x ( ) 0, ( ) ( ), 2 x(n)=0,n0 2x (n) n>0 x(n)= x (0) n=0 x(n)= x (0) n=0 0 n<0 0 n<0 [ ( )] ( ) ( ) ( ) Im[ ( )] ( ) ( ) ( ) j j e j j IFT FT e j j IFT FT o n n X e X e RE X e x n x n X e j X e x n x n X e       = =           ⎯⎯→ → ⎯⎯→ ⎯⎯→ → ⎯⎯→ 、 为实序列， 共轭对称； 、实因果序列

周期序列的离散傅立叶级数(①) 周期序列:i(n)=X(n+rN) 2丌 x(n k: 为求解a,两边同乘eN",并对n在一个周期内求加权和: 2丌 N-12丌 ∑x()m=∑a∑m N-1122(k-r)n Nk e k 0.k≠m 可得: k ∑ x(ne N

周期序列的离散傅立叶级数(1) 周期序列： x n( ) ＝ ( ) ~ x n + rN ( ) = ~ x n 2 j kn N k k a e   =−  2 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) n 0 0 0 , , n , ( ) , 0, j mn N k N N N j mn j k m n j k r n N N N k k n n a e N k m x n e a e e k m     − −  − − − − − = =− = =  = = =        为求解 两边同乘 并对 在一个周期内求加权和： 1 2 n 0 1 ( ) N j kn N k a x n e N −  − = 可得： = 