第三章离散傅立叶变换DFT §3.0引言 §3.1离散傅立叶变换的定义 §3.2频率抽样理论 §3.3离散傅立叶变换⑩DFT)的定理和性质 §3.4DFT应用举例 小结
第三章 离散傅立叶变换DFT §3.0 引言 §3.1 离散傅立叶变换的定义 §3.2 频率抽样理论 §3.3 离散傅立叶变换(DFT)的定理和性质 §3.4 DFT应用举例 小结
§3.0引言 、DFT是仅适用于有限长序列的又一种傅立叶变换形式 1、x(n)是时域中有限长的序列(0~N-1) 2、DFT实质是X(e/)在频域上等间隔的抽样 3、时域中按 Nyquist抽样,则在频域中保留原信号频谱形状、无混叠 4、DFT理论:在频域中按适当间隔抽样,则在时域保留原序列的形状、无混叠 二、DFT的重要性 1、使信号频域离散化,使得用计算机在频域进行信号处理成为可能 2、有多种快速算法,大大提高了信号处理速度。 3、DFT本身可用于随机信号的功率谱估计及信号的谱分析等方面,使这些处 理过程可用数字计算实现
§3.0 引言 一、DFT是仅适用于有限长序列的又一种傅立叶变换形式 二、 DFT的重要性 1、x(n) 是时域中有限长的序列 （ 0 ~ N-1 ） 3、时域中按Nyquist抽样，则在频域中保留原信号频谱形状、无混叠 4、DFT理论：在频域中按适当间隔抽样，则在时域保留原序列的形状、无混叠 2、DFT实质是 X (e j ) 在频域上等间隔的抽样 1、使信号频域离散化，使得用计算机在频域进行信号处理成为可能。 2、有多种快速算法，大大提高了信号处理速度。 3、DFT本身可用于随机信号的功率谱估计及信号的谱分析等方面，使这些处 理过程可用数字计算实现
§3.1离散傅立叶变换的定义 3.1.1DFT的定义 用计算机实现信号的频谱分析及其它方面的工作,对信号的要求是: 时域和频域都是离散的,且都是有限长 (k)=∑(n)e ∞0<k<∞x(m)R(n) X(k)R(k) DET x(n =∑X(ke <n< x(n) X(k) N 唯 k=0 设x(n是长度为M的有限长序列定义x(m)的N(N≥M点离散傅立叶变换为 X(k)=DFTLx(n]=2 x(n)w k=0,1,2,N-1 =0 x(n)=IDFT[X(K)]=2 X(k)WN n=0,1.2 N-1 nk 其中W=eNN称为DT变换区间长度
§3.1 离散傅立叶变换的定义 3.1.1 DFT的定义 用计算机实现信号的频谱分析及其它方面的工作，对信号的要求是： 时域和频域都是离散的，且都是有限长 nk N j N k X k e N x n 1 2 0 ( ) 1 ~ ( ) ~ − = = nk N j N n X k x n e 1 2 0 ( ) ~ ( ) ~ − − = = − k − n − = = = 1 0 ( ) [ ( )] ( ) N n kn W N X k DFT x n x n − = − = = 1 0 ( ) 1 ( ) [ ( )] N k kn WN X k N x n IDFT X k k = 0 , 1 , 2 , … , N-1 n = 0 , 1 , 2 , … , N-1 N j N W e 2 − 其中 = x(n) X (k) DFT 唯 一 ( ) ( ) ~ x n RN n ( ) ( ) ~ X k R k N N称为DFT变换区间长度 设 x(n) 是长度为M的有限长序列,定义 x(n) 的N ( ) N M 点离散傅立叶变换为
例x(n)=R4(n),求x(n)的8点和16点DFT X(eJa 解:N=8时 7 X(k)=∑x(m)W8 ∑e8 0 sin(k) /2 k=0 丌 sin(k) X(k) N=8 N=16时 X(k)=2xN16=26 丌 15 3-J k n=0 01234567 zk sin( k) k=0,1 Xk sin( k) N=16 小结: DFT变换区间长度N不同,变换结果X(k)不同 k 当N足够大时,X()包络可逼近X(e曲线 0246810121415 X(k)表示Ok=(2/N频点的幅度谱线
例 x(n) = R4 (n) ，求 x(n) 的8点和16点DFT 解 ： N＝8时 = = − = = 7 0 3 0 8 2 8 ( ) ( ) n n j kn kn X k x n W e ) 8 sin( ) 2 sin( 8 3 k k e j k − = = = − = = 15 0 3 0 16 2 16 ( ) ( ) n n j kn kn X k x n W e N＝16时 ) 16 sin( ) 4 sin( 16 3 k k e j k − = k = 0 , 1 , … , 7 k = 0 , 1 , … , 15 0 π/2 π 2π ( ) j X e N＝8 X (k) k 0 1 2 3 4 5 6 7 N＝16 X (k) k 0 2 4 6 8 10 12 1415 DFT变换区间长度N不同，变换结果 X (k) 不同 当N足够大时， X (k) 的包络可逼近 ( ) 曲线 j X e X (k) 表示 N k k = (2 / ) 频点的幅度谱线 小结：
3.1.2DFT和ZT、F之间的关系 设序列x(n)的长度为N,其Z变换,傅立叶变换和DFT分别为 X(z=ZTLx(n]=2x(n)z N-1 X(e)=ft[x(n]=e x(n) y Y(k)=DFTEx(n)=2x(n)wkn k=0,1, 2 则X(k)=X() k=0.1 N-1 X(k)=X(e k=0.1.2.N-1 X(k的物理意义: 1.x(m)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样 2.X(k)是x(n)的傅立叶变换X(e")在[0,2m上的N点等间隔样
3.1.2 DFT和 ZT、FT之间的关系 设序列 x(n) 的长度为N，其Z变换，傅立叶变换和DFT分别为 − = − = = 1 0 ( ) [ ( )] ( ) N n n X z ZT x n x n z − = = = 1 0 ( ) [ ( )] ( ) N n kn W N X k DFT x n x n k = 0 , 1 , 2 , … , N-1 − = − = = 1 0 ( ) [ ( )] ( ) N n j j n X e FT x n x n e 则 k = 0 , 1 , 2 , … , N-1 k N j z e X (k) X (z)| 2 = = k N j X k X e 2 ( ) ( )| = = k = 0 , 1 , 2 , … , N-1 X(k)的物理意义： 1. x(n) 的N点DFT是 x(n) 的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样 X (k) 是 的傅立叶变换 ( ) 在[0，2π]上的N点等间隔采样 j 2. x(n) X e
3.1.3DFT的隐含周期性 任何周期为N的周期序列x(n)都可以看成长度为N的有限长序列x(m) 的周期延拓,而x(m)为X(n)的一个周期。 x(n)=∑x(n+ n=-00 x(n)=x(nRN(n) 把周期序列x(m)从n=0,1,…,N-1的第一个周期称为x(m)的主值区间 主值区间上的序列为x(m)的主值序列 x(n) x(m)=x(m)=∑x(n+mN) n=-00 其中(n)表示m对N求余 01234567 即如果n=MN+n1,0≤n1≤N x(n) 则(n)N=n 例如,N=8,x(m)=x(7) x(8)=x(8)s=x(0)x(-3)=x(-3)=x(5) 0123456789
=− = + m x(n) x(n mN) ~ ( ) ( ) ~ x(n) = x n RN n 把周期序列 ~ x(n) 从n＝0，1，…，N－1的第一个周期称为 ~ x(n) 的主值区间 主值区间上的序列为 ~ x(n) 的主值序列 的周期延拓，而 x(n) 为 ~ x(n) 的一个周期。 任何周期为N 的周期序列 ~ x(n) 都可以看成长度为N 的有限长序列 x(n) 即如果 n＝MN＋n1， 0 n1 N −1 则 ((n))N=n1 3.1.3 DFT的隐含周期性 x(n) 0 1 2 3 4 5 6 7 n ( ) ~ x n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 例如，N＝8， n 8 ( ) (( )) ~ x n = x n (8) ((8)) (0) ~ 8 x = x = x ( 3) (( 3)) (5) ~ 8 x − = x − = x n N 其中 (( )) 表示n对N求余 =− = = + m x n N x (n) x(n mN) ~ (( ))
DFT的隐含周期性可以从三种不同的角度得出: (1)如前所述,X(k)是对Ye)的采样,由于Xe/0)是以2为周期的周期 自变量k超出DFT变换区间时,必然得到0,2以外区间上e 函数,即Xk)是对X(e)的主值区[0,2m上的N点等间隔采样。 的采样,且以N为周期重复出现,得到X(k)=X(k) (2)对于H=eN,有WN=W+m0)其中k,m,N均为整数 所以H(k+mN)=Ex(m)(k+mN)m_N-1 N-1 kn ∑x(m)W X(k) n=0 可见X(k)隐含周期性,且周期为N 同样可证x(n+mN)=x(m)
N k,m,N j N W e 2 − 对于 = ，有 (k mN) N k WN W + = 其中 均为整数 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 ( ) X k mN x n W x n W X k N n kn N N n k mN n N + = = = − = − = 所以 + 可见 X (k) 隐含周期性，且周期为N。 同样可证 x(n + mN) = x(n) DFT的隐含周期性可以从三种不同的角度得出： （1） （2） 如前所述，X(k)是对 的采样，由于 ( ) 是以2π为周期的周期 j ( ) X e j X e 的采样，且以N为周期重复出现，得到 。N X (k) X ((k)) ~ = ，即X(k) 是对 ( ) 的主值区[0，2π]上的N点等间隔采样。当 j 函数 X e ( ) j 自变量k 超出DFT变换区间时，必然得到[0，2π]以外区间上 X e
(3)由X(k)与x(m)的周期延拓序列x(m)的DS系数X(k)的 关系也可以得出DFT的隐含周期性 设x(m)的长度为Nx(m)=x(O7) 则x(n)的DFS系数为 X(k)=2X(n)W和=∑x(m)WN=2x(m)WM x(n)=∑X(k ∑X(k)WN N 式中X(k)=X(k)R(k)为R(k)的主值序列。 结论: 有限长序列x(n)的N点DFTX(k)也可以定义为x(n)的 周期延拓序列x(m)x的离散傅立叶级数X(k)的主值序列
（3）由 与 的周期延拓序列 的DFS系数 ( ) 的 ~ X (k) x(n) X k N x((n)) 关系也可以得出DFT的隐含周期性 设 x(n) 的长度为N N ( ) = x((n)) ~ x n 则 ~ x (n) 的DFS系数为 − = − − − = = = 1 0 1 0 ( ) 1 ( ) 1 ~ ( ) ~ N k kn N kn N N k X k W N X k W N x n 式中 ( ) ( ) ~ X (k) X k R k = N 为 ( ) 的主值序列 。 ~ X k 结论： 有限长序列 x(n) 的N 点DFT X (k) 也可以定义为 x(n) 的 周期延拓序列 x((n))N 的离散傅立叶级数 ( ) 的主值序列 ~ X k = − = = − = 1 0 (( )) 1 0 ( ) ~ ( ) ~ N n x n W N n x n W k n N N k n X k N − = = 1 0 ( ) N n kn WN x n
§3.2离散傅立叶变换(DFT)的定理和性质 3.2.1线性 若 y(n)=ax (n)+bx2(n) 对应长度 这里N≥max(N1,N2) 则有:Y(k)=aX1(k)+bX2(k) N-1 其中x1(k)=∑x1(m)N X(n 3.2.2循环移位(圆位移、圆周位移) x(n) 1,循环位移如何定义 对有限长序列r(m)J线位移:x(n-m) 循环位移:ym)=x(n-m)y:Ry(m)(m 周期延拓 x(n) ()=x(m)右移 取主值 x(n-m) y(n) N 位 序列 x(n-m)N n=2 n=2 N-1 n=0 x(n-m)y·Rx(m) n 位移
§3.2 离散傅立叶变换(DFT)的定理和性质 3.2.1 线性 若 ( ) ( ) ( ) y n = ax1 n + bx2 n 对应长度： N N1 N2 这里 max ( , ) N N1 N2 则有： ( ) ( ) ( ) Y k = aX1 k + bX 2 k 其中 nk N N n X k x n W − = = 1 0 1 1 ( ) ( ) nk N N n X k x n W − = = 1 0 2 2( ) ( ) 3.2.2 循环移位（圆位移、圆周位移） 1，循环位移如何定义 对有限长序列 x(n) 线位移： x(n-m) 0 N-1 • • • • x(n) n 0 N-1 ( ) ~ x n n • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • … 0 N-1 n m N x(( − )) n • • • • • • • • • • • • • • • • • • • … • n … x((n m)) R (n) N N − 0 N-1 • • • • • • • • n=0 n=1 n=2 n=N-1 • • • • n=0 n=1 n=2 n=N-1 位移 x(n) 周期延拓 N n N ( ) = x(( )) ~ x n 右移 m 位 ( ) ~ x n − m 取主值 序列 y(n) 循环位移: x((n m)) R (n) N N y(n) = −
2,时域循环移位的DFT 若yn)=x(0-m)R(n)试求y(m)的DFT:Y(k) Y(k)=DFTly(n)]=2x((n-m)NR(n)WN N-1 ∑x(7-m)WN=∑"x(n1)WWm N-1-m n= Y(k)=W∑ x((nUNN W∑x(n)Wk=WY(k) n'=0 n'=0 故FT[x(n-m)]=WX(k) 3,频域循环移位定理 若Y(k)=X(k-1)·R(k) U y(n)=IDFT[X((k-DNR(k]=WN x(n) 其中X(k)=DFT[x(n)]0≤k≤N-1
2，时域循环移位的DFT 若 y(n) x((n m)) R (n) N N = − 试求 y(n) 的DFT ： Y(k) DFT [x((n m)) ] W X(k) km 故 − N = N − − =− − = = − = N m n m k m N kn N N N n k n x n m NWN x n W W 1 1 0 (( )) (( )) 若 Y(k) X((k l)) R (k) N N = − 则 其中 X (k) = DFT[x(n)] 0 k N −1 y(n) IDFT [X ((k l)) R (k)] W x(n) nl N N N − = − = 3，频域循环移位定理 − = = = − 1 0 ( ) [ ( )] (( )) ( ) N n k n N N WN Y k DFT y n x n m R n ∴ ( ) (( )) ( ) ( ) 1 0 1 0 Y k W x n W W x n W W X k km N N n kn N km N N n kn N N km = N = = − = − =