上海交通大学 第六章保形映射 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 保形映射是从几何的角度对解析函数的性质和应用进行讨论和研究，这 种方法可以把较为复杂区域上所讨论的问题转化到比较简单的区域上进行 其在流体力学、电磁学、热传导理论等领域有广泛的应用 $1.1 保形映射的概念 $1.1.1 导数的几何意义 20 图1.1曲线倾角的复数表示
第六章 保形映射
SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY 首先讨论曲线在一点处切线倾角的复数表示。设C为复平面上的连续 曲线,其参数方程为 x=2(t),a≤t≤B. 若规定割线C2的正方向对应于t增大的方向,则此方向与向量 to 的方 向相同.由此可知,向量 的辐角Arg与割线20的倾角相等。由于 lim →tot-te =i'(to) 因此,若z(to)≠0,则 lin Arg Arga(to) t→to 即,若曲线C上的点0=2(t)处的切线存在,则此切线的倾角为arg(to), 如图1.1所示
SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY △σ 图1.2导数的几何意义 设函数=f(2)将z平面上的曲线C映射成v平面上的曲线T,如 图1.2所示。 记△z=2-20,其指数形式为 △ i
SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY 其中模|△表示向量动的长度,辐角表示向量c与实轴正向的夹角, 如图1.2(a)所示。 相应地,△=-0的指数形式为 △U=|△ole 在平面上表示向量ao,它的模|△表示向量mb的长度,辐角φ表 示向量b与实轴正向的夹角,如图1.2(b)所示。 当z沿z平面上的曲线C趋于x时,与它对应的点也就沿曲线r 趋于uo,弦02和m分别趋于上述两条曲线在点0和0的切线.函数 =f(2)在点20的导数f(a)是△当△z趋于0时的极限: f(zo)= lim △ 之一 0△x△2-01△
SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY 导数的模为 f(a)=m2△2|=m△G=d 其中△σ和Δs分别表示曲线C和r上弧长的增量,即 ds=f(zo)do 式(1)表明:曲线T上过点0的无穷小弧长△s与曲线C上过点z 的无穷小弧长△a之比的极限是定值|f(0),它反映了在映射f(2)下,z 平面上曲线C在2点处弧长的伸缩率,这就是导数的几何意义.且伸缩率 f(o)只与点有关,而与过0点的曲线C的形状无关,此性质称为伸 缩率的不变性
SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY 由于导数f(x0)的辐角为 Argf(0)=9-6, 它表示在和处的两条切线与实轴正向之间的夹角之差。这说明曲 线T在点0的切线方向可由曲线C在点0处的切线方向旋转一个角度 Argf(x0)得到。称Argf()为函数m=f(x)在点处的旋转角,此即 为导数辐角的几何意义。由于Argf(a0)仅与x0点有关,而与过该点的曲线 形状无关,此性质称为旋转角的不变性。 设从点20出发有两条连续曲线C1和C2,它们在点x处切线的倾角分 别为61和b2,曲线C1和C2在映射m=f(2)下的像分别为从o=f(0) 出发的两条连续曲线I1和T2,它们在uo处的切线倾角分别为1和g2
SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY C u=f(2) 62 则由旋转角不变性有 62 62-61
SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY 由于62-61是曲线C1和C2之间的夹角,而y2-91是曲线I1和T2之 间的夹角,所以式(1.3)表明:若f(20)≠0,则过点的任意两条连续曲线 之间的夹角,与其像曲线在u0=f(20)处的夹角大小相等且方向相同。如图 13所示。 定理1.1,1设函数U=f(2)在区域D内解析,为D内一点,且f(20)≠ 0,则映射=f(z)在点20具有如下两个性质: 1.伸缩率不变性.即通过点20的任何一条曲线的伸缩率均为|f(0),而 与其形状与方向无关. g.保角性,即通过点知的两条曲线间的夹角与经过映射后所得两曲线的 夹角在大小和方向上保持不变
SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY 例1.1.1求映射v=z3在z=i处的旋转角和伸缩率 解10=f()=23在全平面解析,且f(x)=3:2,f(i)=-3=3e, 故在z=i处,f(x)的旋转角为π,伸缩率为3。■ 例11.2试判断映射v=f(x)=z2+22在平面上哪部分被放大?哪部分 被缩小? 解由于|f(=)=|2+2,故当|2+1>是时被放大,当|2+11<号被缩
SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY 8112保形映射的概念 定义1.1,1设函数=f(x)定义在点如的邻域内,若它在点具有保角 性和伸缩率不变性,则称=f(x)在如0处为保角.若U=f(x)在区域D 内的每一点都是保角的,则称U=f(2)是区域D内的保角映射(第一类 保角映射)。 若仅保持夹角大小不变,但方向相反,则该保角映射称为第二类保角映 射。 一般地,若=f(x)是第一类保角映射,则=f(2)为第二类保角映射
