工程力学(C) (下册) (39) 北京理工大学理学队力学系韩斌
工程力学（C） 北京理工大学理学院力学系 韩斌 ( 39) （下册）
§21达朗贝尔原理 动力学问题达朗贝尔原理 静力学问题 动能定理 (动静法) 联 平衡方程 立动量定理 ∑F=0 求动量矩定理 解 r两点速度、 运动学关系加速度关系 ∑ 复合运动 §21.1惯性力的概念 惯性力—一人为引入的假想力, 无施力者,与观察者有关,与真实力同 样有运动、变形效应
§21 达朗贝尔原理 §21.1 惯性力的概念 动力学问题 动能定理 动量定理 动量矩定理 运动学关系 两点速度、 加速度关系 复合运动 联 立 求 解 静力学问题 平衡方程 = 0 FR = 0 MO 达朗贝尔原理 （动静法） 惯性力——人为引入的假想力， 无施力者，与观察者有关，与真实力同 样有运动、变形效应
1第一类惯性力 在非惯性系中引入,使牛顿第二定律形式上仍成立: F=ma=m(a +a, +a) 在非惯性系中F+(m)+Gm)=m(21.1 其中:牵连惯性力、科氏惯性力 2第二类惯性力 在惯性系中引入,使动力学形式上转 化为静力学问题: F+F=ma(212) a F+F+(-m)=0(21.3) 达朗贝尔惯性力F=-ma(214)
1.第一类惯性力 在非惯性系中引入，使牛顿第二定律形式上仍成立: 2.第二类惯性力 在惯性系中引入，使动力学形式上转 化为静力学问题: ( ) F ma m ae ar ac = = + + 其中：牵连惯性力、科氏惯性力 x y z x’ y’ z’ m F a x y z m F a FN 在非惯性系中 F mae mac mar +(− ) +(− ) = (21.1) F FN ma + = (21.2) F + FN +(−ma) = 0 (21.3) FI ma 达朗贝尔惯性力 = − （21.4）
§21.2达朗贝尔原理 1质点的达朗贝尔原理 F+FN+(-ma)=0(21.3) 达朗贝尔惯性力F=-md(214) 共点力系 平衡方程 F+F+F=0(215) 质点的达朗贝尔原理:质点在运动的任 瞬时,主动力、约束力和达朗贝尔惯性力 n 组成一个形式上的平衡共点力系。 FIF
F + FN +(−ma) = 0 (21.3) FI ma 达朗贝尔惯性力 = − （21.4） F + FN + FI = 0 共点力系 (21.5) 平衡方程 质点的达朗贝尔原理：质点在运动的任一 瞬时，主动力、约束力和达朗贝尔惯性力 组成一个形式上的平衡共点力系。 §21.2 达朗贝尔原理 x y z m F a FN 1.质点的达朗贝尔原理
2.质点系的达朗贝尔原理 对质点系中F+FN+(-m1a)=0216) 任意质点 达朗贝尔惯性力Fn=-m1a(21.7) n个平衡的 共点力系 F+E+f=0(21. 8) 其中内力系自平衡,故外力系与达朗贝尔惯性力系平衡。 质点系的达朗贝尔原理:质点系在运动的任一瞬时,外 力系和达朗贝尔惯性力系组成一个形式上的平衡力系。 达朗贝尔原 ∑F+∑F=0 理平衡方程 (21.9) ∑MA(F)+∑MA(F)=0
FIi mi ai 达朗贝尔惯性力 = − （21.7） Fi + FNi + FIi = 0 (21.8) n个平衡的 共点力系 质点系的达朗贝尔原理：质点系在运动的任一瞬时，外 力系和达朗贝尔惯性力系组成一个形式上的平衡力系。 2. 质点系的达朗贝尔原理 Fi + FNi +(−mi ai ) = 0 对质点系中 (21.6) 任意质点 0 ( ) + = i Ii i e Fi F 达朗贝尔原 理平衡方程 ( ) ( ) 0 ( ) + = i A Ii e i i M A F M F （21.9) 其中内力系自平衡，故外力系与达朗贝尔惯性力系平衡
达朗贝尔原 ∑F+∑F=0 理平衡方程 (219 ∑MA(F°)+∑M(F)=0 记 R=∑F° R=∑F M=∑M(F()Ma=∑M(F) 达朗贝尔原 )+F=0 理平衡方程 (219) Me)+M.=0 达朗贝尔原理的平衡方程中,矩 方程的矩心A点可以任意选取
0 ( ) + = i Ii i e Fi F 达朗贝尔原 理平衡方程 ( ) ( ) 0 ( ) + = i A Ii e i i M A F M F （21.9) 0 ( ) + IR = e FR F 达朗贝尔原 理平衡方程 0 ( ) + IA = e M A M （21.9)’ 记： = i e i e FR F ( ) ( ) = i FIR FIi = i M IA M A FIi ( ) = i e A i e M A M (F ) ( ) ( ) 达朗贝尔原理的平衡方程中，矩 方程的矩心A点可以任意选取
§21.3质点系的达朗贝尔惯性力系的简化 简化为一等效力系(主矢+主矩) 1质点系达朗贝尔惯性力系的简化 (1)达朗贝尔惯性力系的主矢 =∑F=∑(m)=m 代入∑+∑F=0→F=∑F=ma ′即质心运动定理 m-质点系(刚体)的总质量 d--质点系(刚体)质心C的加速度 达朗贝尔惯性力系主矢FR=-md (21.10)
§21.3 质点系的达朗贝尔惯性力系的简化 ——简化为一等效力系（主矢+主矩） 1.质点系达朗贝尔惯性力系的简化 (1)达朗贝尔惯性力系的主矢 c i i i i FIR FIi m a ma = = (− ) = − 0 ( ) + = i Ii i e Fi F 代入 即质心运动定理 c i e i e FR F ma = = ( ) ( ) m----质点系（刚体）的总质量 aC ----质点系（刚体）质心C的加速度 FIR mac （21.10） 达朗贝尔惯性力系主矢 = −
达朗贝尔惯性力系主矢FR=-mna (21.10) (2)达朗贝尔惯性力系对任意一固定的O点的主矩: Mn=∑mG6)=∑ r:x-m X 根据 n=2∑G×m1)=∑G×ma) 达朗贝尔惯性力系对固定的O点主矩: dt (21.11 由(219第2式,令A点为O点: M1o=0 M 对固定点O的 IO dt动量矩定理
（21.10） FIR mac 达朗贝尔惯性力系主矢 = − (2)达朗贝尔惯性力系对任意一固定的O点的主矩： = ( )= (− ) IO O Ii i mi ai M m F r 根据 = ( ) =( ) i i i i i i O r m v r m a dt d dt dL dt dL M O IO = − 达朗贝尔惯性力系对固定的O点主矩： (21.11) 由(21.9)’第2式，令A点为O点： ( ) 0 I e MO + M O = dt dL M e O O = ( ) 对固定点O的 动量矩定理
(3达朗贝尔惯性力系对质点系质心C(可为 动点)的主矩 利用对不同点的动量矩之关系: =lc+OC×(mic) 求导,并利用 ○x d。di,dOC +vx(mvc)+0C m +mn×vn+OC×m dtdt dt dt dt dt +OC×ma dt dt
(3)达朗贝尔惯性力系对质点系质心C（可为 动点）的主矩： 利用对不同点的动量矩之关系： ( ) O C C L L OC mv = + 求导，并利用 C v dt dOC = ( ) = + + t v mv OC m t OC t L t L C C O C d d d d d d d d = + + t v mv v OC m t L C C C C d d d d C O C OC ma t L t L = + d d d d x y z C i r i r C r mi O i a C v
dlo dl +OC×ma dt dt 由于FR=-ma dt 根据力系对不同点主矩之关系,有:0∠。x =Mc+OC×FR 质点系质心C的主矩: 达朗贝尔惯性力系对 (21.12) dt 由定义M=∑M)Me=2M(G) 由(219第2式,令A点为质心C点: dl C+M (e)对质心C的 IC 0 dt 动量矩定理
C O C OC ma t L t L = + d d d d t L M O O d d I = − FIR mac 由于 = − 根据力系对不同点主矩之关系，有： MIO MIC OC FIR = + ( ) C i n i M C M FI 1 I = = ( ) ( ) ( ) e 1 e C i n i MC M F = 由定义 = 由(21.9)’第2式，令A点为质心C点： x y z C i r i r C r mi O i a C v ( ) 0 I e MC + M C = (e) d d C C M t L = 对质心C的 动量矩定理 t L M C IC d d = − (21.12) 达朗贝尔惯性力系对 质点系质心C的主矩：