工程力学(C) (17) 北京理工大学理学队力学系韩斌
工程力学（C） 北京理工大学理学院力学系 韩斌 (17)
§7力糸的平衡 本章内容是静力学部分的核心,包括: (1)力系的平衡条件。 ★(2)求刚体系统平衡时的约束力或平衡时的位置。 ★(3)求桁架(二力直杆系统)的内力。 (4)带有摩擦的平衡问题。 关于“平衡”的概 1)物体或物体系统的平衡相对于惯性参考 空间静止或匀速直线平移。 (2)平衡力系—即零力系,力系的主矢和主矩 均为零
§7 力系的平衡 （1）力系的平衡条件。 （2）求刚体系统平衡时的约束力或平衡时的位置。 （3）求桁架(二力直杆系统）的内力。 （4）带有摩擦的平衡问题。 本章内容是静力学部分的核心，包括： 关于“平衡”的概 念（1）物体或物体系统的平衡——相对于惯性参考 空间静止或匀速直线平移。 （2）平衡力系——即零力系，力系的主矢和主矩 均为零。 ★ ★
区分以下几个概念: 意 力系的平衡,单个刚体的平衡,刚体系的平衡, 变形体的平衡 (1)单个刚体的平衡 力系的平衡 单个刚体的平衡<一力系的平衡 (2)刚体系的平衡 力系的平衡 刚体系的平衡←关力系的平衡 (3)变形体的平衡=→刚化后仍平衡→力系平衡 变形体的平衡刚化后仍平衡力系平衡 (4)仅在静力学中: 单个刚体的平衡←力系的平衡
注意 区分以下几个概念： 力系的平衡，单个刚体的平衡，刚体系的平衡， 变形体的平衡 （1）单个刚体的平衡 力系的平衡 单个刚体的平衡 力系的平衡 （2）刚体系的平衡 力系的平衡 刚体系的平衡 力系的平衡 （3）变形体的平衡 刚化后仍平衡 力系平衡 变形体的平衡 刚化后仍平衡 力系平衡 （4）仅在静力学中： 单个刚体的平衡 力系的平衡
§7.1力系的平衡条件及平衡方程 平衡力系所要满足的条件称为力系的平衡条件; 1空间力系的平衡方程 任意空间力系平衡的充要条件是:力系的主矢F 和对任一确定点O的主矩M全为零。 FR=∑F=0 (71) Mo=∑M0(F)=0
§7 .1 力系的平衡条件及平衡方程 1.空间力系的平衡方程 平衡力系所要满足的条件称为力系的平衡条件； 任意空间力系平衡的充要条件是：力系的主矢 和对任一确定点O的主矩 MO 全为零。 FR 即 FR MO = = n i MO Fi 1 ( ) = 0 = 0 = = n i Fi 1 （7.1）
在O点建立Oxyz直角坐标系,以上两个矢量方 程可写为6个独立的代数方程 ∑F=0.∑5=0.∑F ∑Mn=0.∑M=0∑M=0 y注意 (7.2) x(1)解题时,矩心O可任选;力的投影轴、取矩 轴也可斜交;力的投影轴、取矩轴也可不一致, 但要保证6个方程是独立的。 (2)巧妙选择投影轴、取矩轴,可使每个方程只 含一个未知量,避免解联立方程组
在O点建立Oxyz 直角坐标系，以上两个矢量方 程可写为6个独立的代数方程： O Di Fi FO FR = MO x y z l1 l3 l2 0, 0, 0 0, 0, 0 1 1 1 1 1 1 = = = = = = = = = = = = n i i z n i i y n i i x n i i z n i i y n i i x M M M F F F (7.2) 注意 （1）解题时，矩心O可任选；力的投影轴、取矩 轴也可斜交；力的投影轴、取矩轴也可不一致， 但要保证6个方程是独立的。 （2）巧妙选择投影轴、取矩轴，可使每个方程只 含一个未知量，避免解联立方程组
(3)任意空间力系,独立的力的投影方程只 有3个,但矩方程最多可有6个 特殊的空间力系及独立平衡方程个数: (1)空间汇交力系—3个独立方程 各力交于O点∴∑M()=0 平衡方程仅有F=∑F=0 即∑F=0.∑F=0∑F=0 (2)空间力偶系—3个独立方程 R=∑F=0 平衡方程仅有M0=∑M1=0 即∑Mn=0,∑Mn=0∑M=0M3
（3）任意空间力系，独立的力的投影方程只 有3个，但矩方程最多可有6个。 特殊的空间力系及独立平衡方程个数： （1）空间汇交力系 ——3个独立方程 MO (Fi ) 0 ∵各力交于O点 平衡方程仅有 FR =Fi = 0 即 Fi x = 0,Fi y = 0,Fi z = 0 （2）空间力偶系——3个独立方程 Fi O F3 F2 F1 Mi O M3 M2 M1 FR =Fi 0 平衡方程仅有 MO =Mi = 0 即 Mi x = 0,Mi y = 0,Mi z = 0
(3)空间平行力系3个独立方程,/F 设各力平行于z轴,则有 ∑F=0∑5=0,∑M=0-“x 平衡方程仅有 ∑F=0∑M=0,∑M=0 (4)其他 例如:空间各力与某轴l相交仅有5个独 立的平衡方程 各力对l轴之矩恒为零
（3）空间平行力系 x y z 设各力平行于z 轴，则有 Fix 0,Fiy 0,Mi z 0 平衡方程仅有 Fi z = 0,Mi x = 0,Mi y = 0 —3个独立方程 （4）其他 例如：空间各力与某轴 l 相交 l ——仅有5个独 立的平衡方程 各力对 l 轴之矩恒为零 Fi F3 O F2 F1
2平面任意力系的平衡方程 各力均位于Om平面内,故平衡 方程(71)中 ∑F≡0,∑M2≡0,∑MD=0 故平面任意力系的平衡方程为 ∑F=0.∑F=0.∑M=0(73) 平面任意力系的平衡方程还有以下三种常用形式: (1)在平面内任取点A 矩式∑F=0∑F=0∑M(F)=0(74) 称它为平面力系平衡方程的基本形式。由于其中只 有一个力矩式,故常称一矩式
2.平面任意力系的平衡方程 （1）在平面内任取点A： x y O Fi 各力均位于Oxy平面内，故平衡 方程（7.1）中 Fi z 0,Mi x 0,Mi y 0 A 0 1 = = n i Fix 0 1 = = n i Fiy ( ) 0 1 = = n i M A Fi 称它为平面力系平衡方程的基本形式。由于其中只 有一个力矩式，故常称一矩式。 一矩式 (7.4) 故平面任意力系的平衡方程为： Fi x = 0,Fi y = 0,Mi z = 0 (7.3) 平面任意力系的平衡方程还有以下三种常用形式：
(2)在平面上任取A,B两点及不垂直于AB连线的x轴: 二矩式∑M(F)=0∑MF)=0∑F=0(75) 且x轴与AB不垂直 证明(a)必要性:已知平面力系平衡,证明二矩式成立 n 由力系平衡FR2=0M0=2M(F)=0 因此,对任一轴,∑F=0 B ∑MA(F)=∑M0(F+AO×FR X i=1 同理∑M2(F)=0必要性得证
（2）在平面上任取A,B两点及不垂直于AB连线的x轴： 由力系平衡 = 0 FR ( ) 0 1 = = = n i MO MO Fi 因此，对任一轴x， 0 1 = = n i Fix 且 ( ) ( ) 0 1 1 = + = = = R n i O i n i M A Fi M F AO F 同理 ( ) 0 1 = = n i MB Fi 必要性得证。 二矩式 ( ) 0 1 = = n i M A Fi ( ) 0 1 = = n i MB Fi 0 1 = = n i Fix 且x轴与 AB 不垂直 (7.5) 证明：(a)必要性：已知平面力系平衡，证明二矩式成立。 x A B Fi O
(b)充分性:二矩式成立,则平面力系平衡。 由M1=∑MA(F)=0MB=∑Ma(F)=0 将A、B点视为简化中心,则力系不可能简化为力偶, 而只能是通过A、B两点的合力。 又由于x轴与AB不垂直, 若F不为零,则其在x轴的投影必不 为零; B 这与F=∑F2=0矛盾。 所以F2=0充分性得证
(b)充分性：二矩式成立，则平面力系平衡。 由 ( ) 0 1 = = = n i M A M A Fi ( ) 0 1 = = = n i MB MB Fi 将 A、B 点视为简化中心，则力系不可能简化为力偶， 而只能是通过A、B两点的合力。 又由于 x 轴与 AB 不垂直， 若 不为零，则其在 x 轴的投影必不 为零； FR 这与 0 矛盾。 1 = = = n i FRx Fi x 所以 = 0 FR x A B FR 充分性得证