第十二章 动量矩定理
第十二章 动量矩定理
§12-0引言 均质轮受外力作用而绕 其质心O作定轴转动,它有 O FA 角速度和角加速度,但对于 轮的动量为: P=mvc =mvo=0 外力的矢量和为:FR=Fox+F+F=0 这个问题不能用动量定理来描述轮绕其质心作定 轴转动是的运动
§12－0 引言 F ox F oy F o A 均质轮受外力作用而绕 其质心O作定轴转动，它有 角速度和角加速度，但对于 轮的动量为： P = mvC = mvO = 0 ( ) F = Fo x + Fo y + F = 0 e 外力的矢量和为： R 这个问题不能用动量定理来描述轮绕其质心作定 轴转动是的运动
§12—1动量矩 动量矩:动量对某点(轴)之矩。 质点的动量矩 1、质点对某点之矩:质点在某瞬时的动量对O点之矩 定义为质点在某瞬时对点O的动量矩。 Mz(mv M。(mv
( )xy r xy mv x y z o mv M Z (mv) θ M O (mv) r §12－1 动量矩 一、质点的动量矩 动量矩：动量对某点（轴）之矩。 1、质点对某点之矩：质点在某瞬时的动量对O点之矩 定义为质点在某瞬时对点O的动量矩。 A
质点A对点O的动量矩:M。(m)=F×m 质点A对Z轴的动量矩: 大小:M(m)=[M1(m=nx(m) 方向:M(m)是代数量,它的正负可以通过右手 定则判断;即:手心握转动轴(坐标轴),四指的指 向为质点动量的方向,大拇指指向为该动量矩的方向 若方向与坐标轴正向相同为正、相反为负。 或:从坐标轴正向看去,逆时针为正、顺时针为负。 单位:kgm2/s
M mv r mv 质点A对点O的动量矩： O ( ) = 质点A对Z轴的动量矩： z O z xy M (mv) =[M (mv)] = r x y (mv) 方向： 是代数量，它的正负可以通过右手 定则判断；即：手心握转动轴（坐标轴），四指的指 向为质点动量的方向，大拇指指向为该动量矩的方向， 若方向与坐标轴正向相同为正、相反为负。 或：从坐标轴正向看去，逆时针为正、顺时针为负。 M (mv) z 单位： 大小： kg m s 2
、质点系动量矩 对点的动量矩:L0=∑M2(m 2、对轴的动量矩(即上式在各轴上的投影): L2=∑M(m) 3、刚体的动量矩 (1)平移刚体:刚体上任意点的速度均与其质心速度 相同。故可将其看作为质量集中与质心的一个质点。 对点的: ∑M,(m)=C∑ mr×vce=Momc 对轴的:L=M[mvc
二、质点系动量矩 1、对点的动量矩： ( ) 1 O i i n i O L M mv = = 2、对轴的动量矩（即上式在各轴上的投影）： = ( ) z z i i L M m v 3、刚体的动量矩 （1）平移刚体：刚体上任意点的速度均与其质心速度 相同。故可将其看作为质量集中与质心的一个质点。 ( i) C O ( C ) O O i i i L =M (mv ) = m r v = M mv 对点的： 对轴的： ( C ) z z L = M mv
(2)定轴转动刚体对转动轴的动量矩: L=∑M(mn)=∑m2 定轴转动刚体对z轴的转动惯量 (3)平面运动刚体的动量矩 平面运动刚体对垂直与其质量对称平面内任 固定轴的动量矩为: L:=M(my)+jca 即:其对z轴的动量矩等于刚体随质心作平移时的动 量对该轴的动量矩,与其绕过质心的轴作定轴转动时 对该轴的动量矩之和
（2）定轴转动刚体对转动轴的动量矩： i i v =r L z =M z (mi vi ) =mi ri = J z 2 J z − − 定轴转动刚体对z轴的转动惯量 （3）平面运动刚体的动量矩 平面运动刚体对垂直与其质量对称平面内任一 固定轴的动量矩为： L z = M z (mvC )+ JC 即：其对z轴的动量矩等于刚体随质心作平移时的动 量对该轴的动量矩，与其绕过质心的轴作定轴转动时 对该轴的动量矩之和
§12-2动量矩定理 质点的动量矩定理 设有质点A,受外力作用, 由牛顿第二定律: ma=F且 dv ∴ y 在等式两边同时叉 乘矢径r x
§12－2 动量矩定理 一、质点的动量矩定理 设有质点A，受外力作用， 由牛顿第二定律： x y z o mv r F F dt dv m a dt dv ma F = = 且 = 在等式两边同时叉 乘矢径 r
F dt dr 左式:F×m)= d ×n1 ×21 dt dt dr 其中: (mv)=p×(my)=0 dt F×mv)=F×F dt d d 其中:dt ×mv omv dt FXF=MoF
(mv) r F t r = d d ( ) ( ) ( ) ( ) 0 d d d d d d d d = = = − mv v mv t r mv t r r mv t (mv) t 左式： r 其中： r F = M O (F) M (mv) t (r mv) t (r mv) r F t O d d d d d d = = 其中：
o(my川=MO dt 一质点对点的动量矩定理 即:质点对任一点 的动量矩对时间的 7mv 导数等于作用在质 omv 点上的力对该点之 矩 y
M O (mv) M O (F ) x y z o mv r F M (mv) M (F) t O = O d d －－质点对点的动量矩定理 即：质点对任一点 的动量矩对时间的 导数等于作用在质 点上的力对该点之 矩
上式向坐标轴投影后得: M, ( mv=M,F) dt 质点对轴的动量矩定理 即:质点对固定轴的动量矩对时间的导数等于作用在 质点上的力对该轴之矩
上式向坐标轴投影后得： M (mv) M (F) t Z = Z d d 即：质点对固定轴的动量矩对时间的导数等于作用在 质点上的力对该轴之矩。 －－质点对轴的动量矩定理