第九章压杆稳定 9-1在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细压杆,按图a所示坐标系及挠曲线形状,导出了临 界力公式 = EI 试分析当分别取图b,c,d所示坐标系及挠曲线形状时,压杆在F作用下的挠曲线微分方程是否 与图a情况下的相同,由此所得的F公式又是否相同。 解:按图a所示坐标系及微变形得出挠曲线微分方 程EIw"(x)=-Fw(x),从而导出临界力公式为: Fr= EI 按图b情况,因曲率w(x)为正,而w(x)为 负,微分方程右边Fw(x)前必须加一个负号,才 δ 能使等式两边正负号一致,故仍有: Elw"(x)=-Ferw() 从而F公式也与按图a所得者相同。 按图c情况,曲率w(x)为正,w(x)为负,仍有 Elw"(x)=-Frw(x) 而F公式与按图a所得者相同。 按图d情况,曲率w"(x)为负,w(x)为正,挠曲线微分方程中F(x)前应加负号,才能使 等号两边正负号相同,即:EIw"(x)=-Frw(x) 从而F公式与按图a所得者相同。 显然,临界力F计算公式与分析中所取坐标系无关。 9-2图示各杆材料和截面均相同,试 问杆能承受的压力哪根最大,哪根最小 (图f所示杆在中间支承处不能转 动)? 解:对于材料和截面相同的压杆,它们第 能承受的压力与成反比,此处,μ 与约束情况有关的长度系数。 日 (a)=1×5=5m 777 (b)=0.7×7=4.9m (c)=0.5×9=4.5m (d)l=2×2=4m (e)l=1×8=8m (f)l=0.7×5=3.5m 故图e所示杆F最小,图f所示杆F最大。 9-3图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接,但第一根杆(图a)的基础放在弹性地基上,第 135
c D FU O (, ) E F G )FU D )FU D FU (,Zcc [ ) Z [ FU O (, ) E Zcc [ Z [ FU ) Z [ FU (,Zcc [ ) Z [ )FU D F Zcc [ Z [ FU (,Zcc [ ) Z [ )FU D G Zcc [ Z [ FU ) Z [ FU (,Zcc [ ) Z [ )FU D )FU I PO P D PO h P E PO h P F PO h P G PO h P H PO h P I PO h P H )FU I )FU D E D \ [ )FU G \ [ )FU G \ [ )FU G [ )FU G \ ) ) ) ) ) )
根杆(图b)的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为F=xBm?为什么?并 由此判断压杆长度因数是否可能大于2 螺旋千斤顶(图c)的底座对丝杆(起顶杆)的稳定性有无 影响?校核丝杠稳定性时,把它看作下端固定(定于底座上)、 上端自由、长度为l的压杆是否偏于安全? 解:图b所示细长压杆的基础放在刚性地基上,当杆受F作用而 产生微弯时,A端截面不转动,其挠曲线的2倍,相当于两端铰 支杆的挠曲线(正弦曲线波形)因此=2,故 丌EI 图a所示细长压杆的基础放在弹性地基上,当杆受F作用而 产生微弯时,A端截面转动,产生转角φ,因此,当其挠曲线相 当于两端铰接杆的挠曲线时,则大于2l,所以大于2(4>2) 丌:EⅠ 故不能用F (2)公式计算。图a的F小于图b的F, 所以校核螺旋千斤顶(图c)丝杠的稳定性时,要考虑底座的刚 性程度,若把下端不加分析地视为固定端,而采用μ=2时,其 计算的结果是偏于不安全的。 9-4试推导两端固定,弯曲刚度为EA,长为l的等截面中心受压直杆的临界力F的欧拉公式 解:受压直杆距根部x处截面上弯矩为: M(x)=Fw-Mo 式中M为约束反力偶矩,代入挠曲线方程 Elw=-M(x) El=M-Fw 令k 则上式化为 E k 此方程的特解 故方程的通解为: w=C sin kx +C cos kr +t (1) w=Ck cos kx-C2k sin h (2) 在x=0处,w=0,v=0,代入上式得 C1=0 在x=1处,w=0代入式(1) 136
E PLQ FU O (, ) P F O E )FU $ P PLQ FU O (, ) D )FU $ M Oc O P P ! PLQ FU O (, ) D )FU E )FU F P ($ O )FU [ 0 [ 0)Z 0 (,Zcc 0 [ (,Zcc 0 )Z (, ) N 0 ) N Zcc N Z ) 0 Z3 ) 0 Z & N[ & N[ VLQ FRV Z & N N[ & N VLQFRV N[ c [ Z Zc & ) 0 & [ ZO ) ) ) [ $ [ M $ Z [ ) ) 0 0
C sin kl +c. cos kl+ 0 (3) 方程(3)要有非零解,即 cos kl+-0=0 F cos kl=1 k=2n兀 取n=1时,k=2兀 k F4π 12, F=I EI 4πEI 9-5长5m的10号工字钢,在温度为0℃时安装在两个固定支座之间,这时杆不受力。已知钢的 线膨张系数ax1=125×10-(O),E=210GPa。试问当温度升高至多少度时,杆将丧失稳定? 解: =47 Ea FN 42×33×10-8 AT a,A12125×10-×14.3×10-4×52 9-6两根直径为d的立柱,上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接,如图所示。试根据杆端的 约束条件,分析在总压力F作用下,立柱可能产生的儿种失稳形态下的挠曲线形状,分别写出对应 的总压力F之临界值的算式(按细长杆考虑),确定最小临界力F的算式 解:在总压力F作用下,立柱微弯时可能有下列三种情况: (a)每根立柱作为两端定的压杆分别失稳: =0.5 EⅠ丌3Ed 2 051)20.1251281 (b)两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面內失稳 失稳时整体在面内弯曲,则1,2两杆组成一组合截面。 64 (2)2 (d2+4a2) (c)两根立柱一起作为下端固定而上端
VLQ FRV ) 0 & NO & NO FRV ) 0 NO ) 0 FRV NO NO Q Q NO O N O N (, O ) O (, ) FU O (, ) P *3D u DO ( 7 O 7 O O D ' D ' H $ O (, $ ) ( PLQ 1 V H PLQ $O , DO'7 PLQ u u u u u u $O , 7 DO ' G ) ) )FU ) D P FU D O (G O (, O (, ) u E P @ > G G D , u FU E G D O (G O (, ) F G G D )
自由的体系在面外失稳 兀E×2 643Ed (2)2 128l 故面外失稳时Fx最小 F- Ed4 128l 9-7图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成,在点B铰支,而在点A和点C固定, D为铰接点,=10π。若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能力,试确定作用 结点D处的荷载F的临界值 解:杆DB为两端铰支μ=1,杆DA及DC为·端铰支一端固定,选取μ=0.7。此结构为超静定 结构,当杆DB失稳时结构仍能继续承载,直到杆AD及DC也失稳时整个结构才丧失承载能力, For=Fer1)+2Fcn2) CoS30 153E/兀2 F (0.7× cos30° =2E1-2×153Emx2、3361Er 9-8图示铰接杆系ABC由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。若由于杆件在平面ABC 内失稳而引起毁坏,试确定荷载F为最大时的θ角(假设0<θ<-)。 解:当AB杆及CB杆同时达到临界值时F为最大 丌E丌EI Fsin e c CB) (ul)2(Isin B) (1) 丌2EⅠπ2EI =Fcos e (2) (ul)(l cos B) 由式(1)得F= ZEl / sinBsin 8 由式(2)得F 丌EⅠ l2cos2B·cos 丌EI 丌EⅠ l2sin2f·sinl2cos2B·cos 由此得O= arctan(cot2B) 138
P FU F O (G O G ( ) u u )FU )FU O (G $%&' G % $ & ' G O $%&' ' ) '% P '$ '& P '% $' '& $ )FU )FU )FU FRV FU O (, ) FU FRV O (, O (, ) u $ FU O (, O (, O (, ) u u $%& $%& ) T T $% &% ) T P E VLQ VLQ FU ) O (, O (, )&% ) &% T P E FRV FRV FU ) O (, O (, )$% ) $% VLQ E VLQT O (, ) FRV E FRVT O (, ) VLQ E VLQT O (, FRV E FRVT O (, DUFWDQ FRW T E )FU )FU )FU q $ & q ' ) % % ) $ E & T q
9-9下端固定、上端铰支、长l=4m的压杆,由两根10号槽钢焊接而成,如图所示,并符合钢 结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢,强度许用应力 ]=170MPa,试求压杆的许可荷载 解:=2×198.3×10-8=396.6×10-8m 1n=2×(256×103+1274×10+×3282×10)=3253×10-8m 325.3×10 3.573×10-m AV2×12.74×10 10.7×4 78.4,=0.697 i3.573×10 ]k=q]=0.697×170=1185MPa Fn=4l1=2×12.74×10×1185×10°=301.9×103N=3019kN 9-10如果杆分别由下列材料制成 (1)比例极限σ=220MPa,弹性模量E=190GPa的钢: (2)σn=490MPa,E=215GPa,含镍3.5%的镍钢; (3)on=20MPa,E=11GPa的松木。 试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。 解:(1)A≥ E2×190×10 220X10°=923 (2)A≥ R2E_厘×215×10=65.8 V490×105 (3)A Ex2×11×109 =73.7 9-11两端铰支、强度等级为TCl3的木柱,截面为150mm×150mm的正方形,长度l=3.5m, 强度许用应力a=10MPa。试求木柱的许可荷载。 解:x=以=-1×35=80.8<91 i43.3×10 由公式(9-12a),q= =0.393 8 )21+(∞)2 Fn=q]4=0.393×10×10°×1502×10=884×10N=884kN 9-12图示结构由钢曲杆AB和强度等级为TC13的木杆BC组成。己知结构所有的连接均为铰连接, 在B点处承受竖直荷载F=13kN,木材的强度许用应力[]=10MPa。试校核杆BC的稳定性。 解:由节点B(图9-12a)平衡 ∑F2=0,Fcos45°=FCos(45-36.87°) F=0714F=0714×1.3×103=928N
O P E 4 >V @ 03D P , ] u u u P , \ u u u u u u u u u u $ , L \ P u u M P O L O > @ > @ 03D V VW VM u > @ FU VW uu uu ) $ V 1 N1 u 03D V S ( *3D 03D V S ( *3D 03D V S ( *3D S u u u t V O ( S u u u t V O ( S u u u t V O ( 7& PPhPP O P >V @ 03D u u L PO O D O M > @ 1 N1 FU u u u u u ) VM $ $% 7& %& % ) N1 >V @ 03D %& % D FRV FRV $ $ $ ¦ )[ ) )%& 1 )%& ) u u )
0.58×10°Pa=0.580MP A402×10 AV12a2=V12×40 10-6=11.5×10-3m 1×2.5 F=L3kN 217>91 i11.5×10 由公式(9-12b) 28002800 =0.0595 an=p=00595×10=0.595MPa 9=45° <aa安全 0=3687° 9-13一支柱由4根80mm×80mm×6mm的角钢组成(如图),并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为铰支,柱长l6m,压力为450kN。若材料为Q235钢, 强度许用应力[]=170MPa,试求支柱横截面边长a的尺寸。 F 450×10 解: 4A。4×9.9M0x=11.7×105Pa=1197MPa (查表:A4=9397×10-m2,o=5735×10-8m4) a=o}=2=197 =0.704,查表得:A=77.5 170 ll×6 =0.0774 77.5 =Ai=4A40=4×9397×10-×0.0774=0.2253×10 [o+A0(-21.9)×10 2253 o)×10 57.35)×10-×10 a=221.9+y4 -]=2(21.9+ )=191mm Ao 9397×10-4 9-14某桁架的受压弦杆长4m,由缀板焊成一体,并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受 压杆的要求,截面形式如图所示,材料为Q235钢,[]=170MPa。若按两端铰支考虑,试求杆 所能承受的许可压力 解:由型钢表查得125×125×10角钢: A=24.37×10-m 4.85×10-2m 1×4 士 == =82.5 4.85×10 2-L125×125×10 2-L125×125×10 查表得:q=0.672 故[F]=g]4=0.672×170×2×24.37×10=55kN
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9-15图示结构中BC为圆截面杆,其直径d=80mm;AC为边长a=70mm的正方形截面杆 已知该结构的约束情况为A端固定,B,C为球铰。两杆材料均为Q235钢,弹性模量E=210GPa, 可各白独立发生弯曲互不影响。若结构的稳定安全因素n=2.5,试求所能承受的许可压力。 解:(1)杆AC临界力 A1 11 0.7×3 105>22=10 B 80×10 El,π2×210×109×804×10-12 (1) (0.7×3)2×64 (2)杆BC临界力 Av12a 6 2 121>A 2×70×10 F x2×210×10×70x10-12 1036.7×103N 取两临界力中较小值,得许可荷载: F 945KN 378kN 9-16图示一简单托架,其撑杆AB为圆截面木杆,强度等级为TC15。若架上受集度为q=50kN/m 的均布荷载作用,AB两端为柱形较,材料的强度许用应力]=MPa,试求撑杆所需的直径d 解:取H以上部分为分离体,由∑Mc=0,有 Fn. sin30°×24=50×32 FAR=214 kN 设g=0.68.[]=068×]=78MPa 214×10 d2=36.4×10-3,d=0.191 则A 1×2.77 0.191 58.0 58.0+20 q=102-0.55( 求出的φ与所设φ基本相符,故撑杆直径选用d=0.191m =,7图示结构中C与CD均由Q23钢成c,D两处均为球较,已知d=20m,b=100m 180mm;E=200GPa,σ.=235MPa,σ,=400MPa;强度安全因数n=2.0,稳定安 全因数n=30。试确定该结构的许可荷载
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解:(1)杆CD受压力FD 梁BC中最大弯矩M2F 3 個 (2)梁BC中 M2F×64F F≤bh2235×10°×100×1802×100 95175N=952kN 4×2.0 (3)杆CD 11×1 =200 10 F,=B=E死d 兀3×200×10°×204×10-2 =15.5×103N=15.5kN 64 F=3FCD=3F(由梁力矩平衡得) F1,==153x3 15.5kN 3.0 3.0 9-18图示结构中钢梁AB及立柱CD分别由16号工字钢和连成一体的两根63mm×63mm×5mm 角钢制成,杆CD符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。均布荷载集度 q=48kN/m。梁及柱的材料为Q235钢,[]=170MPa,E=210GPa。试验算梁和立柱是否 解:(1)求杆CD所受轴力FCD diiiiiii3B sql 384EI F13 48EI F/kN (因杆CD压缩变形相对梁弯曲挠度小得多,故未计 杆CD压缩变形) 5948 FCD/AR 384EⅠ48EI IB=120KN (2)梁AB的强度验算: 由梁AB平衡得,FA=F8=36kN Mc=36×2--×48×22=-24kNm M/KN.m M=24kNm 16号工字钢,W=141×10°n
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24×10 141×10=170MPa= 强度够 (3)柱CD稳定性校核: 每个63×63×5等边角钢由型钢表中查得 A=6.14×10m,ic=ix=1.94×10m 此组合截面,1<l,而i=i,于是 l×2 =103 1.94×10 q=0.584 l]=po]=0.584×170=993MPa 而acD=D 120×10 97.7 MPa 安全 A2×6.14×10
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