第六章简单超静定问题 6-1试作图示等直杆的轴力图。 解:取消A端的多余约束,以FA代之,则△,=F1A·4a FA EA (伸长),在外力作用下杆产生缩短变形。 ⊕ EA 一 =2F3a ,F.a 2F EA EA 因为固定端不能移动,故变形协调条件为:△A=△ 故4a23aa EAEA EA 故FA=7F 4 6-2图示支架承受荷载F=10kN1,23各杆由同一材料制成,其横截面面积分别为 1=100mm2,A2=150mm2和A3=200mm2。试求各杆的轴力。 解:设想在荷载F作用下由于各杆的变形,节点A移至A此时各杆的变形1,△l2及△3如 图所示。现求它们之间的几何关系表达式以便建立求内力的补充方程。 ab= Ac-Aa-bc 2 △1△3△ tan30°sin30°sin30°tan30° 即:√3△2=2△1-2△13-√3△12 亦即:√3△2=△1-△13 FNI"- 2 FN3I 将△l1=3,△2=N2,△l3=3 EA EA, EA3代入,得: 3FN22FL2FN3 A2√3A1√3A3 即:3FN2=2FN2F 150√3×1003×200 亦即:N2=FN1FN3 15050100 2FN2=2FN1-FN3 1) 此即补充方程。与上述变形对应的内力F1,FN2,FN3如图所示。根据节点A 的平衡条件有: √3 F=0:F+F2=F3 F 亦即:√3F1+2FN2=√3FN3 (2) F,=0;FN+FN3=F, 88
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亦即: F+Fm=2F N3 (3) 联解(1)、(2)、(3)三式得: Fx F=0.845F=8.45kN(拉) 3+2√3 F=0268F=2.68kN(拉) 2(2+√3) F=1.153F=11.53kN(压) 3+ -3一刚性板由四根支柱支撑,四根支柱的长度和截面都相同,如图所 。如果荷载F作用在A点,试求这四根支柱各受力多少 解:因为2,4两根支柱对称,所以F2=FN4,以它们为多余约束力X, 在F力作用下 ∑M3=0,FN1×2acos45=F(acos45-e) 二a-e)(压) a+e)(压) Q △l1= 2a2a-e),(缩短) EA F (a+e)(缩短) EA 在2X用下:FN1x=FR3x=X(拉),△1x=A3x EA 在F、X共同作用下: Fl√2 √2aEA EA Fl√2 aeA 2 EA 则B点的位移为 日十 A。=△,+ X Fle 2 2aEA 2 EA√2aEA I F 柱2利柱4在X作用下被压缩M=H EA 变形协调条件:M2=4B XI/ F F 则X Fa= F EAEA 2
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由整体平衡:∑M3=0 F×(a-e)=2FN2×a+F1√2a +F F FN3=F-FNI-2FN2=F-( F-2×-=( DF 44 6-4刚性杆AB的左端铰支,两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和 EF使该刚性杆处于水平位置,如图所示。如已知F=50kN,两根钢杆的横 截面面积A=1000mm2,试求两杆的轴力和应力。 解:∑MA=0,FNa+FN2x2a=3F FNI+2FN2=3F (1) 又由变形几何关系得知 F F, 「2 (2) 联解式(1),(2),得F,、6 F=60kN, FM=30KN t FEr= Fn2=60kN, Fcp= FNI= 30kN 60×103 60MPa A1000×10 FCD30×10 4100×10-6=30MPa 6-5图示刚性梁受均布荷载作用,梁在A端铰支,在B点和C点由两 文已H0的m普 解:以杆DB为多余约束,则FDB=X,平衡条件:∑MA=0 FCE×1+30×3×1.5-3X=0 F=135-3X (1) 变形协调条件:4B=3McE 30kN/ m X×18l3(135-3X) 200E 400E 解得:X=32.2kN=FD FCE=38.4kN 32.2×103 =16MPa<o],强度够 An200×10 FCE384×10 A400100=960MPa<[],强度够
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6-6试求图示结构的许可荷载[F]。已知杆AD,CE,BF的横截面面积均为A,杆材料的许用应力 为],梁AB可视为刚体。 解:由于结构对称,故FN1=FN2,因此2FN1+FN3=F(1) 结构受力变形时,△l1=△l2=△ 故 FN1lFRN2×2 即:F1=2F N2 (2) 解得:FRNC F F FAD= FBE= FN 2F OEC A 5A =O BF 5A 2F 故G 5A 故[]≤2.5]4 7横截面为250mm×250mm的短木柱,用四根40mm×40mm×5mm的等边角钢加固,并承受 压力F,如图所示。已知角钢的许用应力[]=160MPa,弹性模量E,=200GPa:木材的许用 应力[]=12MPa,弹性模量E。=10GPa。试求短柱的许可荷载[F] 解:(1)木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件: ∑ F=0.F +F=F 由木柱与角钢间的变形相容条件,有 △l 由物理关系 EA E A 式(3)代入式(2),得 (4) 200×103×4×3.791×10-410×10×0.252 解得:FNw=206FNs 代入式(1),得:FN3=0.327F,FN=0.673F (2)许可载荷 由角钢强度条件 F、 0.327F 44×3791×10≤160×10° F≤742kN 由木柱强度条件 F.673F A 252≤12×10
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F≤1114kN 故许可载荷为:[F]=742kN -8水平刚性横梁AB上部由杆1和杆2悬挂,下部由铰支座C支承,如图所示。由于制造误差, 杆1的长度短了δ=1.5mm。已知两杆的材料和横截面面积均相同,且E1=E2=E=200GPa, A1=A2=A。试求装配后两杆的应力 解:由受力图(a),∑MC=0.2FN2p1 F1 变形谐调,由图(a):M1+2√2M1= F, 由物理方程: F2 l2 E1A+2E242 Fl EA EA eAs F1+4F2 eAS 式(1)代入式(3):(+4)F2 4EAδ F2 (16+√2) 2EAS 代入式(1):F1 4m2 (16+√2)l 2×200×109×1.5×103 =16.2MPa 16+√2 17414×1.5 4Eδ4×200×10°×1.5×10 =45.9MPa (16+√2 17.414×1.5 6-9图示阶梯状杆,其上端固定,下端与支座距离δ=1mm。已知上、下两段杆的横截面面积分 别为600mm2和300mm2,材料的弹性模量E=210GPa。试作图示荷载作用下杆的轴力图 解:变形协条条件M-=△lhA 103×1.2 210×109×600×106210×109×600×10-6 F4×103×1.2 F,×103×3.6 60kN 210×109×300×10-6210×109×600×10-6 故12×10°×10 (60+40×3) 11.2×10°×10×5F 210×600×10 103210×10.×600 4 OkN 216-126=6FA 故F4=15kN,FB=85kN
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6-10两端定的阶梯状杄如图所示。已知AC段和BD段的橫截面面积为A,CD段的横截面面积 为24;杆材料的弹性模量为E=210GPa,线膨胀系数a1=12×10℃C。试求当温度升高30℃ 后,该杆各部分产生的应力。 解:设轴力为FN,总伸长为零,故 a,4T·4a+ FNa,FN·2a,FN:a EAE.2A E 4a, ATEA+3F=0 FN=-2a1ATEA=-2×12×10-6×30×210×100A=-100.8×10°A 4=-1008M 24-50.4MPa F 100.8MPa 6-11图示为一两端固定的阶梯状圆轴,在截面突变处承受外力偶矩M。。若d1=2d2,试求固定 端的支反力偶矩MA和M,并作扭矩图。 解:解除B端多余约束TB,则变形协调条件为 0 B M. a d1 即 Mg 2M8 (2d2)d2(2d2) 解得:1B-33 由于MA+MB=M。 M 32M 故MA=M 6-12图示一两端固定的钢圆轴,其直径d=60mm。轴在截面C处承受一外力偶矩 M。=3.8kNm。已知钢的切变模量G=80GPa。试求截面C两侧横截面上的最大切应力和截面 C的扭转角。 解:取消B端约束M,变形协调条件 PiM +iBM,- M。×0.5MB×1.5
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2M 故 截面C左侧: M:23.8×10 2×16×3.8×102 59.8 MPa W3兀×603 3兀×21.6×104 截面C右侧:t=299MPa 2×3.8×10 0.5 兀×604 =0.713=9cB 10-42 6-13一空心圆管A套在实心圆杆B的一端,如图所示。两杆在同一横截面处各有一直径相同的贯 穿孔,但两孔的中心线构成一个B角。现在杆B上施加外力偶使杆B扭转,以使两孔对准,并穿过 孔装上销钉。在装上销钉后卸除施加在杆杄B上的外力偶。试问管A和杆B横截面上的扭矩为多大 已知管A和杆B的极惯性矩分别为ln和;两杆的材料相同,其切变模量为 解:解除Ⅱ端约束M2,则Ⅱ端相对于截面C转了β角,(因为事先将杆B的C端扭了一个β角), 故变形协调条件为B-2M2=0 M2I, M,IB BGlI I,IB+lgl 故连接处截面C,相对于固定端Ⅱ的扭转角φc2为: M,Ig BleIB 而连接处截面C,相对于固定端I的扭转角φ1为 PcI=B l4 应变能V= 9c1 Gl B21 B-1n4l 2101n+11)+210,1n+1n)2 GB IAIpB 6-14图示圆截面杆AC的直径d1=100m,A端固定,在截面B处承受外力偶矩M。=kN.m, 截面C的上、下两点处与直径均为d1=20mm的圆杆EF、GH铰接。已知各杆材料相同,弹性常 数间的关系为G=0.4E。试求杆AC中的最大切应力
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解:由图(a): EA 2 由图(b):q (M。-Fa1)1Fa1·1 4F M-Fd Fd ead GⅠ 4F Me-Fd, FdI ead 0.4El 0.4El F M。 1.6 Ad T= Fd 2+1.6 A、d; (1+1.6-)M TAB=M-Fd T 1+1.6 (1+1.6-,)M 48×7×103 兀d =30.6MPa 3.5×0.13 (2+1.6 di 6-15试求图示各超静定梁的支反力。 解(a):原梁AB是超静定的,当去掉多余的约束铰支座B时,得到 可静定求解的基本系统(图i去掉多余约束而代之以反力FB,并根 据原来约束条件,令B点的挠度wB=0,则得到原超静定梁的相 当系统(图ⅱ)。利用wn=0的位移条件,得补充方程: F(a) F(2a) FB(a) 3EⅠ 此得:F 由静力平衡,求得支反力F4,MA为: F=F-F
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F M=FB3a-F 14F 3a-2Fa 4Fa 剪力图、弯矩图分别如图(ⅲ),(iⅳ)所示。梁的挠曲线形状如图(v)所示。这里遵循这样儿 个原则: (1)固定端截 ,转角均为零 (2)铰支座处 度为零; (3)正弯矩时,挠曲线下凹,负弯矩时,挠曲线上凸 (4)弯矩为零的截面,是挠曲线的拐点位置。 (b)解:由相当系统(图ⅱ)中的位移条件wB=0,得补充方程式: M.(2a)2-F(2a)=0 因此得支反力:FB 3 根据静力平衡,求得支反力FA,MA: 3M F= FB M=M-F·2a M M/2 M 剪力图、弯矩图,挠曲线图分别如图(ⅲ)、(iⅳ)、(v)所示。 ()解:由于结构,荷载对称:此得支反力F==241:M4= MB I中 应用相当系统的位移条件64=0,得补充方程式: M 0 24EⅠ3EI6EI 注意到MA=M,于是得: 剪力图、弯矩图、挠曲线分别如图(ⅲi)、(ⅳ)、(v)所示
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1/ 其中:M=F2 -MA=-gO gl- gl- ql 4128 若x1截面的弯矩为零,则有: 1 F,x 295-M=0 0 整理:6x2-6x1+l2=0 解得:x1=0.211或x1=0.789。 6-16荷载F作用在梁AB及CD的连接处,试求每根梁在连接处所受的力。已知其跨长比和刚度 比分别为 和 B 解:令梁在连接处受力为F,则梁AB、CD受力如图(b)所示。 梁AB截面B的挠度为 F-F 梁CD截面C的挠度为 由于在铅垂方向截面B与C连成一体,因此有wB=wc 将有关式子代入得 (F-FDA Fl2 3El13E/2 变换成:-).(4y=五 FI 解得每个粱在连接处受力:F1=135F 167 7梁AB因强度和刚度不足,用同一材料利同样截面的短梁AC加固 如图所示。试求 (1)二梁接触处的压力F (2)加固后梁AB的最大弯矩和B点的挠度减小的百分数 解ε(1)梁AB与AC之间的相互作用如图(b)所示。根据梁AB截面C的挠度等于梁AC截面C
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