第十五章 虚位移原理 (静动法)
第十五章 虚位移原理 （静动法）
§15-1约束、虚位移、虚功 约束及其分类 狠制质点或质点系运动的条件称为约束,限制条件的数学方 程称为约束方程 1、几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束 限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束。 2、定常约束和非定常约束 约束条件随时间变化的称韭定常约束,否则称定常约束
§15-1 约束、虚位移、虚功 一、约束及其分类 限制质点或质点系运动的条件称为约束，限制条件的数学方 程称为约束方程。 1、几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。 限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束。 2、 定常约束和非定常约束 约束条件随时间变化的称非定常约束，否则称定常约束
3、其余分类 约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分或有限形 式的约束称韭完整约束,否则为完整约束。 约束方程是等式的,称双侧约束(或称固执约束),约束方程 为不等式的,称单侧约束(或称韭固执单侧约束)。本章只讨 论定常的双侧、完整、几何约束。 虚位移 在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何无 限小的位移称为虚位移。 虚位移的表示方法:δf Sx. d 般表示法 线位移 角位移
3、 其余分类 约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可能积分或有限形 式 的约束称非完整约束，否则为完整约束。 约束方程是等式的，称双侧约束（或称固执约束），约束方程 为不等式的，称单侧约束（或称非固执单侧约束）。本章只讨 论定常的双侧、完整、几何约束。 二、虚位移 在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无 限小的位移称为虚位移 。 虚位移的表示方法： r, x, 一般表示法 线位移 角位移
、虚功 力在虚位移中作的功称虚功。即: OW=F·SF 或 δW= FOxsin g SW=M(Fbg 四、理想约束 如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和等 于零,称这种约束为理想约束。 DW=∑δWM=∑F67=0
三、虚功 力在虚位移中作的功称虚功。即： W = F r W = F x sin W = M z (F) 或 四、理想约束 如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等 于零，称这种约束为理想约束。 WN =WNi =FNi ri = 0
§15-2虚位移原理 质点系在力的作用下处于平衡状态 某质点受力如图示,且 F+F=0 为该质点设定虚位移δ且 W,=F1·Sn;+FSF;=0 且∑F·67,+∑F:7=0 ∑ SW=o 虚功方程 所表达出的原理 虚位移原理
§15-2 虚位移原理 一质点系在力的作用下处于平衡状态 某质点受力如图示，且： Fi + FNi = 0 FNi Fi Wi = Fi ri + FNi ri = 0 为该质点设定虚位移 ri 且 i r + Ni i = 0 i i 且 F r F r = 0 W i 虚功方程 虚位移原理 所表达出的原理
虚位移原理(虚功原理):对于具有理想约束的质点系,其平 衡的充分必要条件是:作用于质点系的所有主动力在任何虚位 移中所作的虚功之和等于零 投影后的解析式为: ∑(Fx,+F,y+F2D2)=0
虚位移原理（虚功原理）：对于具有理想约束的质点系，其平 衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位 移中所作的虚功之和等于零。 (Fxi xi + Fyi yi + Fzi zi ) = 0 投影后的解析式为：
例1:图中所示结构,各杆自重不计,在G点作用一铅 直向上的力F,AC=CE=CD=CB=DG=GE=1 求:支座B的水平约束力
例1： 图中所示结构，各杆自重不计，在Ｇ点作用一铅 直向上的力Ｆ， 求：支座Ｂ的水平约束力。 AC =CE =CD =CB = DG =GE = l
解:解除B端水平约束,以力FBx 代替,如图(b) G 由虚位移原理得: E B Sw= F&xp+ Fsv=o dxB 各虚位移关系为: (b) b=2l cos 6, yg=3 sin 8 axB =-2lsin 88, Svg=3/cos 008 带入虚功方程得:F(-2snB)+F·31cos6=0 FBr=-Fcot 8
解:解除B端水平约束,以力 代替,如图 (b) FBx wF = FBxxB + FyG = 0 2 sin , 3 cos 2 cos , 3 sin x l y l x l y l B G B G = − = = = 由虚位移原理得： 各虚位移关系为： 带入虚功方程得： FBx (− 2lsin )+ F 3l cos = 0 FBx F cot 2 3 =
解法二: 如图在CG间加一弹簧,刚度K, 且已有伸长量S,仍求FBx 在弹簧处也代之以力, 之 如图(b),其中 D E D E FC=FG=kOo SW=0 F·Og+F·o-Fe·ve+F·ve=0
如图在CG间加一弹簧，刚度K， 且已有伸长量 0 ，仍求 FBx 。 解法二： 在弹簧处也代之 以力， 如图（b)，其中 0 0 0 + − + = = = = Bx B C C G G G F C G F x F y F y F y W F F k
xB=21cos0, yeIsn 0, y=3lsin 0 axg =-2lsin 000, Svc=lcos 600, Sg=3l cos 008 代入虚功方程得: FR- (2lsin 680+koolcos680-koo 3L cos58 +f3l cos 000=0 解得: fcote-ko cot e
xB = −2lsin , yC = l cos, yG = 3l cos xB = 2l cos, yC = lsin , yG = 3lsin 3 cos 0 ( 2 sin cos 3 cos 0 0 + = − + − F l F l k l k l Bx 代入虚功方程得： cot cot 2 3 0 F F k 解得： Bx = −