第三章扭转 3-1一传动轴作匀速转动,转速n=200r/min,轴上 装有五个轮子,主动轮Ⅱ输入的功率为60kW,从动轮 I,,,依次输出18kw,12kw,22kW和8k 试作轴的扭矩图。 解:M1=9.55×=0.8595knm 1.75m.52.5m5 200 T/kN.m M3=9.55=0.5730kn-m 0.8595 ⊕ x 22 M4=9.55×200 =1.0505knm 0.3 82 1.432 M=9.55×=0.3820kn-m 200 2.0055 3-2一钻探机的功率为10kW,转速n=180r/min。钻 杆钻入土层的深度1=40m。如土壤对钻杆的阻力可看作M 是均匀分布的力偶,试求分布力偶的集度m,并作钻杆的 M 扭矩图。 θ 解:T=9.55× 180 =0.5305knm m==0.5305 140 =0.0133knm/m 3-3圆轴的直径d=50mm,转速为120r/mi。若该轴横截面上的最大切应力等于60MPa,试 问所传递的功率为多大? π(50)3 解:t=故T=tmax×16+10-9 max W 即T=60×106× π×1.25×105 16×10 =1470nn 又T=9550×=1470 故P= 1470×120 9550=18.47kw 15
Q U PLQ N: N: N:N: N: 0 u N1 P 0 u N1 P 0 u N1 P 0 u N1 P N: Q UPLQ O P P 7 u N1 P O 7 P N1 P P G PP UPLQ 03D S PD[ : 7 W PD[ 7 W u u 1 P u u u 7 u u u 3 7 NZ u 3 0 0 0 0 0 , P P P P [ 7 N1 P 0 H P 0H 7 [
3-4空心钢轴的外径D=100mm,内径d=50mm。已知间距为l=2.7m的两横截面的相对扭 转角φ=18°,材料的切变模量G=80GPa。试求 (1)轴内的最大切应力 (2)当轴以n=80r/min的速度旋转时,轴所传递的功率。 解 ,故T p 180l T× F 2_πD_18×8.0×10元x0.1 46. 6MPa plp×18072×1802×2.7×180 18×8×102(1004-504) 180×2.7 21 9550 则P 9550×180×2.732×102 3-5实心圆轴的直径d=100mm,长l=1m,其两端所受外力偶矩M。=14kNm,材料的切变 模量G=80GPa。试求 (1)最大切应力及两端截面间的相对扭转角 (2)图示截面上A,B,C三点处切应力的数值及方向 (3)C点处的切应变。 T 14×10 7X 16 14×103×1 8x1010z×1004 71. 4 MPa 2 d/2 0.446×10 3-6图示一等直圆杆,已知d=40mm,a=400mm,G=80Ga,qp=1°。试求: (1)最大切应力; (2)截面A相对于截面C的扭转角。 解:(1)由已知得扭矩图(a) Ma180 PDB =p +PcB=p LX M G p180a M.dGdπ×80×10×40×10 M xm=1n2=3600=360×400×103 =698×10°=698MPa
' PP G PP O P $ M * *3D Q UPLQ 3 u *, 7O M O *, 7 M 3 3 S 3 PD[ u u u u O * ' , O ) *, 7 , ' 7 M M W 03D u u u u u 3 7 u u u u u u u u u u u u u u 3 N: G PP O P 0H N1 P * *3D $ % & & S PD[ : 7 W 03D u u u $ 3 u u u u u u *, 7O M 03D W $ % WW PD[ 03D PD[ u G & W W u * & & W J G PP D PP * *3D $ M '% $ & D M '% M '& M&% M '& $ $ 3 H *, 0 D D * , 0 3 H D G *G , 0 3 H W PD[ u u u u u u 03D u $ % $ % 2 & 0 H 0 H ' D D D & % $ 0 H 0 H 0 H ' & % $ 0H 0H 7
M·2a180 (2)=q4B 7某小型水电站的水轮机容量为50W,转速为300r/min,钢轴直径为75mm,若在正常运转下 且只考虑扭矩作用,其许用切应力=20MPa。试校核轴的强度。 P 解:T=9550 9550 050 T 3009550×50×16 7×75×10-300×75×105=192×10=19MPa< 16 故该轴强度满足。 3-8已知钻探机钻杆(参看题3-2图)的外径D=60mm,内径d=50mm,功率P=7.355kW, 转速n=180rmin,钻杆入土深度1=40m,钻杆材料的G=80GPa,许用切应力[以]=40MPa。 假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的,试求: (1)单位长度上十壤对钻杆的阻力矩集度m; (2)作钻杆的扭矩图,并进行强度校核 (3)两端截面的相对扭转角。 7.355 解:M=950× l80=0.390kNm =0.00976kNm/m TD/2 390×32×30×10 π(D-d”)丌(60-50)×10 =1776MPa<z]安全 dx m12 9.76×40 GIn"2Gl2×80×10°xx(604_5)102x8.49 32 3-9图示绞车由两人同时操作,若每人在手柄上沿旋转的切向作用力F均为0.2kN,已知轴材料的 许用切应力]=40MPa,试求 (1)AB轴的直径 (2)绞车所能吊起的最大重量 解:摇于柄T=F×400×10-3 钢轴内 T=400P×10-=400×10-×0.2×10=80Nm 可] 16 80×16 40×10
$ $ 3 H *, 0 D M $& M $% N: UPLQ PP >W @ 03D Q 3 7 W u > @ W u u u u u u 03D 3 PD[ : 7 ' PP G PP 3 N: Q UPLQ O P * *3D >W @ 03D P N1 P 0 H u N1 PP H O 0 P PD[ u u u u ' G 7' W 03D >W @ G S S $ u u u u u u ³ O *, PO *, P[ [ M $ ) N1 >W @ 03D $% 7 ) u u u u u 7 3 u 1 P W d > @ W PD[ G 7 d u u u u G $ % 0H P $ 3 % G
AB轴直径:d书 0×16×10 =21.6mm ×40×10° I轮的切向力F1= 2F×400×10-3 800N 200×10 I轮的外力偶M=800×350×10-3 故P×250×10-3=800×350×10 故 P≈800×350 =1.12kN 10直径d=50mm的等直圆杆,在自由端截面上承受外力偶矩M。=12kNm,而在圆杆表 面上的A点将移动到A点,如图所示。已知Δs=AA4=6,3mm,圆杆材料的弹性模量 E=200GPa,试求泊松比v(提示:各向同性体材料的三个弹性常数E,G,v间存在G=~E 2(1+v) 的关系。) 解:全杆扭矩T=M d q∞12 江9=+- M。lxd GⅠ2 M。bodE 2△sl 2(1+v) E△ E△sl 兀E△-1=x×200×10×6.3×103×503×100 l=1.2885-1≈0.289 32M.00 32×12×103×1.0 3-11直径d=25mm的钢圆杆,受轴向拉力60kN作用时,在标距为200mm的长度内伸长了 0113mmo当其承受一对扭转外力偶矩M。=0.2kNm时,在标距为200mm的长度内相对扭转了 0.732°的角度。试求钢材的弹性常数E,G和v。 F·l 解:△ F·l E A△l 60×10×200×10 E =216 GPa 0.113×xx25 10
$% PP u u u u G , 1 W u u u ) ) 0 u u 3 u u u u N1 u 3 G PP 0H N1 P $ $ 'V $$ PP ( *3D Q ( * Q Q ( * 7 0H S H *, 0 O22 M22 V G 22 ' M V G *, 0 O22 ' S H S H Q ' ( V, 0 O G * 22 H H 3 ' ' 0 O G G ( V 0 O G ( V, 22 22 Q H u u u u u u u u u ' 22 0 O ( VG | G PP N1 PP PP 0H N1 P PP $ ( * Q $ O ) O ( ($ ) O O ' ' *3D u u u u u u ( S , 7 O * M 2 P P 2 2 $ $ 0 H
0.2×10°×200×107×57.3 E 81. GPa. G 0.732× 即81.8×109216×109 2(1+v) 81.8×2 216 l=1.320-1=0.320 163.6 3-12长度相等的两根受扭圆轴,一为空心圆轴,一为实心圆轴,两者材料相同,受力情况也一样。 实心轴直径为d;空心轴外径为D,内径为d0,且一0=0.8。试求当空心轴与实心轴的最大切应力 均达到材料的许用切应力(xm={小]),扭矩T相等时的重量比和刚度比。 D2-d2) 解:重量比、W 丌d D2-(0.8D)2D 因为 兀D3(1-0.8)d 16 16 D 故 d30.59d0.84 故 W空_D×0.3684×0.36=0.51 T 刚度比 D4(1-0.84) 0.59× (0.84) 0.496-1.19 3-13全长为l,两端面直径分别为d1,d2的圆锥形杆,在两端各承受一外力偶矩M。,如图所示。 试求杆两端面间的相对扭转角。 解:D,=d+-1 T=Me
*3D u u u u u u u * Q ( * Q u u u Q Q G ' G ' G W >W @ PD[ 7 G ' G : : u G ' G ' ' PD[ PD[ W W G 7 ' 7 G ' G ' u u G ' : : G ' G ' G *, *, u G ' O G G 0H [ O G G '[ G 7 0H ' G 2 2 G
tdx d -d nd G 3 d Gπ[dl+(ad2-d1)x 327 d[d1l+(d2-d1)x] G(d2-d1)[d1l+(d2-d1)x 327 GI(d2-di 3[d7+(d2-duxl 32T7 1 32TI d2+d,d,+d2 3(m(d2-d1)(d21)(d1D)33πd2d1 3-14已知实心圆轴的转速n=300r/min,传递的功率P=330kW,轴材料的许用切应力 ]=60MPa,切变模量G=80GPa。若要求在2m长度的相对扭转角不超过1,试求该轴的直 解:T=9550×=105kNm 300 按强度要求: 10.5×103 ≤60×10° 16×10.5×10 =995mm 按刚度要求:o=10.5×103×2×180°≤1 80×10°× d=64×10.5×180×10 111mm 80×10×兀 故该轴直径选用1mm 3-15图示等直圆杆,已知外力偶矩MA=299kNm,M=720kNm,M=4.21kNm许 用切应力]=70MPa,许可单位长度扭转角[]=)/m,切变模量G=80GPa。试确定该轴 的直径d 解:扭矩图如图(a) (1)考虑强度,最大扭矩在BC段,且T=4.21kNm rn4.21×103 ≤70×10 W πdi C
³ O [ O G G G * 7 [ > @ G M ³ O G O G G [ [ * 7O > @ G ³ O G O G G [ G O G G [ * G G 7O > @ G> @ O * G G G O G G [ 7O > @ u @ > G G G G G G * 7O * G G G O G O 7O Q UPLQ 3 N: >W @ 03D * *3D P $ N1 P 7 u d u u u G W PP u u u u G $ $ d u u u u u u u G M PP u u u u u G PP 0 $ N1P 0 % N1 P 0& N1P >W @ 03D > @ P $ Mc * *3D G D %& 7PD[ N1P 3 PD[ PD[ d u u : G 7 W 0 H 0 H 0 $ P P $ % & 0 % 0&
16×4.21 d3V70x105=00674m=674mm(1) T/KN. (2)考虑变形 4.21 4 GIP qT180 T d2 32×180T|32×180×4.21×10 0.0744m=74.4mm(2) 比较式(1)、(2),取d≥744mm 3-16阶梯形圆杆,AE段为空心,外径D=140mm,内径∠ d=100mm;BC段为实心,直径d100mm。外力偶矩 M4=18Nm,MB=32kNm,M=14kNm。已(G十 知:[]=80MPa,[]=1.2()/m,G=80GPa。试校 核该轴的强度和刚度。 T/kN-m 解:扭矩图如图(a) (1)强度 TT 16 167116×14×10 =713×10°=713MPa<[z]=80MPa 兀×0.13 18×10×16 Wn,元D 16(1-(2)1×1403×103×-G) =451×10°=45MPa<[z] 故强度满足。 (2)刚度 BC段:9=180 14×10×180 80×10°×7×0.14 =1.02°<[q]=1.2(°) AE段:9=22、180 18×103×180 80×10°×xx0.14 =0462< 32 AE段刚度满足,显然EB段刚度也满足
P PP u u G t *, 3 7O M 3 u d *, 7 O M d G * 7 P PP u u u u u u t * 7 G G t PP $( ' PP G PP %& G PP 0 $ N1 P 0 % N1 P 0& N1 P >W @ 03D > @ P $ Mc * *3D D S PD[ G 7 : 7 W %& 03D > @ 03D u u u u W G 7 @ > > @ S PD[ u u u u u ' ' G 7 : 7 $% W u 03D >W @ %& > @ P S c q u u u u u u M M $ $ $ *, 7 O $( > @ M M c u u u u u u $ $ @ > S *, 7 O $( (% & % $ 7 N1P 0& & 0 $ 0 % $ ( % & % $ 7 N1P
17习题3-1中所示的轴,材料为钢,其许用切应力[以]=20MPa,切变模量G=80GPa,许 可单位长度扭转角[]=025()/m。试按强度及刚度条件选择圆轴的直径。 解:由3-1题得:T=2006kNm ≤20×10 ×10 2.006×16×10 丌×20×1 2.006×103×32×180 8×10丌d兀×10 d≥/2-006×32×180×10 8×10×兀XO5=87.5mm 故选用d=87.5mm。 3-18一直径为d的实心圆杆如图,在承受扭转力偶矩M。M。 后,测得圆杆表面与纵向线成45方向上的线应变为E。试导 以M,,d和E表示的切变模量G的表达式 解:圆杆表面贴应变片处的切应力为 M 16M 圆杆扭转时处于纯剪切状态,图(a) 16M 切应变=GπdG (1) 对角线方向线应变 CC COcos 45 d cos 45 =y·cos24 (2) 式(2)代入(1):2e=16M。 d 8M 3-19有一壁厚为25mm、内径为250mm的空心薄壁圆管,其长度为1m,作用在轴两端面内的外 力偶矩为180kN·m。试确定管中的最大切应力,并求管内的应变能。已知材料的切变模量 G=80GP 180×103×150×10 32×180×150×1 解:zmx= 65.6 MPa 丌(3004-2504) 10 ×42×10 32
>W @ 03D * *3D > @ P $ Mc 7PD[ N1 P PD[ d u u u G W PP u u u u G t P $ $ u u u u u c G M PP u u u u u u G t G PP G 0H $ H 0H G H * H S H G 0 : 0 W D G * 0 * H W J O && O & & $ cFRV c H O O $ $ FRV FRV J FRV J J $ J H G * 0 H H H H G 0 * PP PP P N1 P * *3D 03D PD[ u u u u u u u u u W q 0H 0H $ % ' & O & c q J W &
T21 180×180×10°×1 v=2Gi2×8×10+x(300-250)102 0.492kNm 32 3-20一端固定的圆截面杆AB,承受集度为m的均布外力 偶作用,如图所示。试求杆内积蓄的应变能。已知材料的切 变模量为G。 解:x截面上的扭矩为r(x)=mx d 2GⅠ3 n 6G/ 3-21簧杆直径d=18mm的圆柱形密圈螺旋弹簧,受拉力F=0.5kN作用,弹簧的平均直径为 D=125mm,材料的切变模量G=80GPa。试求: (1)簧杆内的最大切应力 (2)为使其伸长量等于6mm所需的弹簧有效圈数。 16FR D125 ,C= 6.95 饣、4c+2_4×6.95+2277 1.2 4c-34×6.95-324.7 16×0.5×103×62.5×103 T=I =32 8 MPa 兀×(18) 因为A-64FRn 664×0.5×103×(625)3×103n 1000 8×10×(18)×10 6×8×10.55×10 n 64×0.5×244x1056.5圈图 -22一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F如图,簧丝直径d=10mm,上 端面平均半径R1=5cm,下端面平均半径R2=10cm,材料的许用切应力 =500MPa,切变模量为G,弹簧的有效圈数为n。试求 (1)弹簧的许可拉力 (2)证明弹簧的伸长16F啊+2)R2+R2) Gd 解:(1)许可拉力 最大扭矩发生在下底处,T=FR 由强度条件,Tm≤[n
N1 P S u u u u u u u *, 7 O 9 $% P * [ 7 [ P[ ³ ³ O O [ [ *, P *, P[ [ 9 S S G G [ O *, P S S *, P O G PP ) N1 ' PP * *3D PP PD[ G )5 W N G ' F u u F F N 03D PD[ u u u u u u W *G )5 Q u u u u u u u Q u u u u u u Q ) G PP 5 FP 5 FP >W @ 03D * Q 5 5 5 5 *G )Q 'O 7PD[ )5 > @ 7PD[ :S d W $ % P 5 ) ) 5
500×10°×2×103×10 故F≤ pn R, 16x01=981N= 2)证明: 弹簧圈任一截面处的半径R与极角a的关系为 R=R1+ R2-RDa 任一截面上的扣矩为T=FR=F[R+82-1 任一截面处微段扭转所引起的伸长为 da tdx 32FR grata (dx= rda 32F 16Fn △l=ld△ R+2-R) da (R1+R2)(R1+R2) 23图示矩形截面钢杆承受一对外力偶矩M。=3kNm。已知材料的切变模量G=80GPa,试 (1)杆内最大切应力的大小、位置和方向; (2)横截面矩边中点处的切应力 (3)杆的单位长度扭转角 解: T=M,I=ab, W=Bb h90 b 1.5由表得 a=0.294,B=0.346,yv=0.858 Ⅰ=0.294×604×10-12=381×10-8m4 W1=0.346×603×103=747×10 3000 n 40.2 MPa 74.7×10 r=r=0.858×40.2=344MPa 3000 0.564°/m 80×10×381￥×10 3-24图示T形薄壁截面杆的长度l=2m,在两端受扭转力偶矩作用,材料的切变模量 G=80GPa,杆的橫截面上的扭矩为T=0.2kN·m。试求杆在纯扭转时的最大切应力及单位长度 扭转角。 解:1=∑3h5=2×120×103×102=80×10m MDm0.2×103×10×10 =25 MPa 80×10 nGl11.15×8×100×80×10 1.56/m
> @ > @ ) 5 : ) u u u u u d 1 S W 5 D Q 5 5 5 5 D @ > Q 5 5 7 )5 ) 5 D GD G G S * G )5 5 *, 7 [ 'O G 5[ GD D D @ G > G ³ ³ ' ' Q O Q 5 5 5 * G ) O O *G )Q 5 5 5 5 0H N1 P * *3D 7 0H W , DE W : EE E K D E Q W P , u u u W P : u u u 03D W PD[ u : 7 W W PD[ c QW PD[ u 03D P $ $ u u u u c M 7 O P * *3D 7 N1P W P , ¦ KL G L u u u u 03D W PD[ PD[ u u u u , 0G W P W $ $ u u u u u c *, 7 K M 0H 0H