第三章能量法 3-1试求图示杄的应变能。各杆均由同一种材料制成,弹性模量为E。各杄的长度相同。 =F/ =F/ 解:(a)V 2F4 2EA 2E 2F 2F- 47F (b)h=22EAE(202+2+n28Ed2 (c)取dx长的微段(如图),在均布轴力∫的作用下,它具有的应变能: V2=FN(x)d 式中:F(x)=Fx,dA=E=Fxd =F/ EA EAl 杆具有的应变能:K=5dp1F= 2/ EAL 6EA 题(d)与题(c)同理,得杆的应变能 F(1+ vs=odvs=o Fn(x)d4=J F(1+r) 7F21 I EA 3-2试求图示受扭园轴内的应变能(d2=1.5ad1) 解:应变能 =-T TI(I1+In2) 4G1n1/ 式中:1下d,h2=d2=2(1.)5.06m4 90+2a 394 d1.5.060d1d 厌此V T13949672l 4Gπdπd
( D 1 (G ) O G ( ) O ($ ) O 9 E 1 (G O) (G O ) ( G O ) ($ ) O 9 L L L ¦ u F G [ I 9 ) [ G G 1 [ O ) )1 [ [ ($O )[ ($ ) [ [ G G G 1 ' ³ ³ O O ($ ) O [ ($O )[ O )[ 9 9 G G G F ³ ³ ³ O O O ($ ) O [ ($ O [ ) O [ 9 9 ) [ ) 1 G G G G G S S S S S S *, , 7 O , , *, O 7 *, O 7 7 9 7 7 MM S S , G , G G G S S S S G G G G G , , , , u G* 7 O * G 7 O 9 ) G G G G G I ) O G ) ) I ) O [ I ) O ) [ I ) O 0H 0H O O
3-3试计算图示梁或结构内的应变能。略去剪切的影响,EⅠ为已知。对于只受拉伸(或 压缩)的杆件,考虑拉伸(压缩)时的应变能。 解:(a)梁的弯矩方程式: < 利用对称性,得梁的弯曲应变能 d 2EⅠ F213 Fx)dx (b)梁的弯矩方程式 (x1) (0≤x1≤ 梁的应变能 V6 2EFUSM'()dx+u2M(2)dx, q82+平8 2E)dx+292-29) 2EI15364015360EI (c)刚架的弯矩方程 (0≤x1≤D M(,=gl 0≤x2≤l) 江A 刚架的应变能 VE =OM (r, dx,+ oM(x2)dx, 2EI Jo9qx1)dx1+Jo6a12)2dx,] 2EⅠ20420EI (d)结构中梁的弯矩方程 F M(x1) (0≤x1≤D), )=-Fx2(0≤ 3F 拉杆的轴力F 结构的应变能等于梁的弯曲应变能与拉杆的拉伸应变能的和,即
(, D O 0 [ )[ [ dd ³ G O [ (, 0 [ 9 ³ G O (, ) O )[ [ (7 E O 0 [ TO[ [ dd O 0 [ TO[ T[ [ dd > G G @ ³ ³ O O 0 [ [ 0 [ [ (, 9 (, TO T O O TO (, TO[ [ TO[ T[ [ (, O O @ > G @ G > ³ ³ F 0 [ T[ [ dd O 0 [ TO [ dd O > G G @ ³ ³ O O 0 [ [ 0 [ [ (, 9 (, T O T O T O (, T[ [ TO [ (, O O @ > G @ G > ³ ³ G [ [ O ) 0 [ dd O 0 [ )[ [ dd 1 ) ) ) $ O ) ) [ O T $ O TO [ TO [ O ) $ O O T $ O O T O $ T O $ [ ($ O O [ ) ) ) ) [ $ $
FNG IoM()dx+oM(x2)dx21 2EⅠ 3F (2)dx+(c)dx1+3 F2133F21 16El 4EA 3-4图示三角架承受荷载F,AB,AC两 杆的横截面积均为若已知4点的水平 位移4x(向左)和铅垂位移4A(向下),试 按下列情况分别计算三角架的应变能,将t V表达为4。,4的函数。 (a)若三角架由线弹性材料制成,EA为已 知 (b)若三角架由非线性弹性材料制成,其应 力位关系为(=B(则图,B为常数t论 解:(1)由图(a)的变形儿何关系得 AA,=4 ALB=AA=(A,A-A,D)sin 30 =(△ay-△ 4 tan30 三角架积累的应变能 I EAAl V=FB△lB+Fc△lc AB,△la+2 1EA△lA 341)2+(4)2 3a EA +8√3)42-634,4,+3421 (b)若此三角架是由非线性弹性材料制成,其应力—一应变关系为a=B√E见图(b),B 为常数,这一关系对拉伸和压缩相同。 由应变能密度公式得到v2=5oda=BVEd=2B2 3 结合题(a)说明的情况得 2B22B△lB 2B.(4 344x) )2 2B_2B△L32_2B
($ O ) 0 [ [ 0 [ [ (, 9 O O > G G @ 1 ³ ³ ($ ) O (, ) O ($ O ) [ )[ [ )[ (, O O G G @ > ³ ³ ) $% $& $ $ $[ $\ 9 9 $[ $\ D ($ E V % H % D $& $$ $[ 'O WDQ VLQ $ \ $ [ $ \ $ [ O$% $$ $ $ $ ' ' ' ' ' $ $ $& $& $& $% $% $% $% $% $& $& O O ($ O O O ($ O 9 ) O ) O @ > $ \ $[ $ [ D D ($ ' ' ' > @ $[ $[ $ \ $ \ D ($ ' ' ' ' E üü V % H E % ³ ³ H H H V H H H G G % Y % D @ > D % O % % O Y $ \ $ [ $% $% $% $% ' ' H D % O % % O Y $[ $& $& $& $& ' H $ % 0 [ [ )O ) q $ R V H % V % H & ) $ q % & ' ( $ $c $ $% 'O $& 'O
三角架的应变能 =y.+v lA+vl·A 2B 2a4+ 3aa Ba 6√a 3-5试求习题3-4两种情况下的余能。 解:用应变能密度的方法计算 2E2 △l 4,-√34-) E 4-√31 △la 三角架的余能 E ea LA E(4y-√34) E/4 4[42-63A1,A1+(9+83)42] 48a (2)单位体积余能 Jo ado=fondo 3B B△l 4r) (4 A BAlAC=B 三角架的余能 laA+val·A )2√3a B2(4,-√4}+√3BA(、3As Ba 3
9 9 $% 9 $& Y $%O$% $ Y $&O$& $ D$ D % D$ D % $[ $ \ $[ ¸ ¹ · ¨ © § » » » ¼ º « « « ¬ ª ' ' ' $ [ $ \ $ [ D %$ D %$ ' ' ' ³ V V H H V G ( ( YF O D D O $ \ $[ $ \ $ [ $% $% $% ' ' ' ' H O D O $ [ $& $& $& ' H 9F 9F$% 9F$& Y$%O$% $ Y $&O$& $ O $ ( O $ ( $& $& $% $% H H D $ D ( D$ D ( $ \ $[ $[ ¸ ¹ · ¨ © § » » ¼ º « « ¬ ª ' ' ' > @ $ \ $ \ $[ $[ D ($ ' ' ' ' ³ ³ F G G V V H V H V V H V % % % % % Y F » » » ¼ º « « « ¬ ª D % O % % O Y $ \ $ [ $% $% $% $% ' ' H $ \ $[ D D % ' ' F $[ $& $& $& $& % O % % O Y ' H 9F 9F$% 9F$& Y $%O$% $ YFF $&O$& $ D$ D % D $ D D % $ [ $ \ $ [ ' ' ' $[ $ \ $ [ D %$ D %$ ' ' '
3-6试用卡氏第二定理求习题3-3各分题中截面A的铅垂位移。 F213 解:(a)由习题33(a)题的解中,知梁的应变能为V=96 由卡氏第二定理得A截面处的铅垂位移 V F3 由截面A处添加一集中荷载F,梁的应变能: dx,+5o F 1 - qx2)dx, 2E 由卡氏第二定理得截面A处的铅垂位移 2=qx1·x1dx;+f(2( (c)在截面A处添加一集中荷载F,此时结构的应变能 qx1)dx1+0( 2)2dx2 截面处的铅垂位移 dx+Jo2-9l.Idx21 (向下) 2EⅠ2 gEl (d)截面A处的位移 由题3-3(d)解,知结构的应变能 223F2l 16EI 4EA av F- 3Fl 4 3-7试用卡氏第二定理求图示各刚架截面A的位移和截面B的转角。略去剪力F和轴 力FN的影响,EI为已知
$ D D (, ) O 9 $ (, )O ) 9 $\ w w ' $ ) G @ G > [ T[ [ ) TO[ )[ [ TO[ (, 9 O O ³ ³ $ w w $\ ) ) 9 ' G @ G > ³ ³ O O [ [ TO[ [ [ TO[ T[ (, (, TO F $ ) G @ G > ³ ³ O O )[ T[ [ )O TO [ (, 9 w w $\ ) ) 9 ' (, TO T[ [ [ TO O [ (, O O G @ G > ³ ³ G $ G ($ ) O (, ) O 9 ($ )O (, )O ) 9 $ w w ' $ % )6 )1 (, $ % 0H D $ % O $ % , O $ % ) , , , , T ) ) O O ) O $ [ ($ O O ) $ T $ O [ [ ) T O $ [ ) O O
M 一(M2+MA) -(M+M (1)求截面A的水平位移4 截面A处添加一水平集中荷载F,刚架的应变能 V=nn2(a+F)3x2dx+f(M.+2Fa-1)2dy+5(Fy2)dy2 m1C24x+2M(2-+2yd]-12 M 6El (向右) (2)求截面A的转角64 截面A处添加一集中力偶矩M4,刚架的应变能 [(.+M)x-M,] dx+om-dy 0aM,|0=2EI M。x(x-1)d (逆) BEl (3)求截面B的转角OB B处添加力偶矩Ma,刚架的应变能 B)x dx+Jo(.+mg)'dy +joma dy2 5M a M 顺) 2EI 2ardx+[2M dy +09= 3EI 解:(b) /2 ,Ax
D $ '$+ $ ) » ¼ º « ¬ ª ³³ ³ DD D ) [ [ 0 )D )\ \ )\ \ D 0 (, 9 H H G G G (, 0 D [ [ 0 D \ \ \ \ D 0 ) 9 DD D $ ) G G G H H H + » ¼ º « ¬ ª w w ³³ ³ ' $ T $ $ 0 $ ¿ ¾ ½ ¯ ® ³ ³ D D $ $ 0 0 [ 0 [ 0 \ (, D 9 H H @ G G > (, 0 D [ D [ 0 [ 0 (, D 9 D 0 $ $ $ G H u H w w ³ T % T % % 0 % °¿ ° ¾ ½ °¯ ° ® ³ ³ ³ » ¼ º « ¬ ª D % D % D % 0 0 [ [ 0 0 \ 0 \ (, D 9 H H G G G (, 0 D [ [ 0 \ D 0 [ 0 (, D 9 D D 0 % % % G G H H H ¿ ¾ ½ ¯ ® ³ ³ w w T E $ % 0H D ) D 0H ) [ ) D 0 H ) $ % 0H [ 0 H 0 $ D 0$ 0 H 0 $ D $ % 0H [ 0H 0 % D 0% 0H 0% D $ % O TO ) TO ) [ [ TO O ) ) TO ) TO O [ TO ) $ % [ O O TO 0 $ O [ [ O TO 0 $ 0 $ O O TO 0 % O [ O TO 0 % % TO 0%
(1)求截面A的铅垂位移Av 截面A处添加一铅垂集中力F,刚架的应变能 2E So(qly)dy+5[ql--(ql+ F)x], +l' ay2)dy,+3[912+(qI-F)x,]'d 4V32%agy2-kx(-)dx1+2 lx2](--)dx 3l4 32E(向上) (2)求A截面水平位移A1 截面A处添加一水平面的集中力F,刚架的应变能 VE 2E (Jo[ql+F)y 1 dy+Jol(ql+F-g+ F)xi 'dx 2 +jo(qy2)dy2+5[ql+(+ F)x21 dx23 d,、Ol 2EⅠ {02h2dy1+∫2(q2-x1)-(-x1) +的2142+14dx}=3 (向右) 4EⅠ (3)求截面A的转角6 在截面A处,添加一集中力偶M4,刚架的应变能 (q4+12-(+Mxdx +l'cay2)dy2+olal )x2]2dx2} 62202、9、x)dx+b20为)7} 48EⅠ (4)求截面B的转角6B 截面B添加一集中力偶MB,刚架的应变能 r(alv) ' y,+nr (+M1)x2dx+(M-2)dy} (逆) 2EⅠ 解:(c) (1)截面A处的铅垂位移4 令作用于A处的集中力F=F1,刚架的应变能 Fx)dx+ (FI+ Fy)d
$ '$9 $ ) ¿ ¾ ½ ¯ ® ³ ³ @ G G > TO\ \ TO TO ) [ [ (, 9 O O ³ ³ O O T\ \ TO TO ) [ [ @ G G > G ` @ G > @ ^ > 9 ³ ³ w w O O [ [ [ TO TO[ [ TO TO[ ) (, 9 '$ ) (, TO $ '$+ $ ) ³ ³ O O ) [ [ TO TO ) \ \ TO ) O (, 9 @ G ^ > @ G > ³ ³ O O ) [ [ TO T\ \ TO @ G ` G > ³ ³ w w O \ $ ) [ O [ [ TO TO\ \ TO ) (, 9 + G ^ G ' (, TO TO TO[ [ [ O G ` ³ $ T $ $ 0 $ ³ ³ O O $ [ [ O TO 0 TO\ \ TO (, 9 @ G ^ G > ` @ G G > [[ TO 0 T\ \ TO O O $ ³ ³ w w 0 $ $ $ 0 9 T G ` G ^ ³ ³ O O [ O [ [ TO [ TO O [ [ TO TO (, (, TO % T % % 0 % 9 ` G @ G G > \ T\ [ [ 0 O TO 0 TO\ \ TO (, OO O % % ¯ ® ³³ ³ (, TO F $ '$9 $ ) ) ³ ³ O O ) O )\ \ (, ) [ [ (, 9 G G
aF, IFi-F2EL 2Ex-dx+ 4ET J(FI+Fy)/d y 126(向下) (2)求截面A处的水平位移AH 令作用于B处的集中力F=F2,则刚架的应变能 =I(Ex)dx+ AEr J(fl+Ey)dy 4、O 4B52(H+F1)d,5F73 (向右) 12E (3)求截面A的转角 于截面A处添加一力偶矩M,则刚架的应变能 =1[(M4+Fxx*4(AM++)dy 2Fxdx+ 2(FI+ Fy)d (顺) 2El dEl 4EⅠ (4)求截面B的转角Og 在截面B处添加一力偶矩MB,则刚架的应变能 (Fx)dx+ (FI+M8+ Fy) dy 2EⅠ OM,Mm"HE a(F+ F)dy=3E72 (顺) 解: (d) 2/x (1)求截面A处的水平位移Am 刚架的应变能 [(F+ 4EⅠ -gx dx+ 2EⅠ ( Fyd y gl 29rjrdx+ El 48El (2)求截面A的转角O
³ ³ w w O O $ ) ) ) O )\ O \ (, ) [ [ ) (, 9 9 G G ' (, )O $ '$+ % ) ) ³ ³ O O )O ) \ \ (, )[ [ (, 9 G G '$+ ) ) ) 9 w w ³ O (, )O )O )\ \ \ (, G $ T $ $ 0 $ ³ ³ O O $ $ 0 )O )\ \ (, 0 )[ [ (, 9 G G T $ w w 0 $ 0 $ 9 (, )O )O )\ \ (, )[ [ (, O O G G ³ ³ % T % % 0 % ³ ³ O O % )O 0 )\ \ (, )[ [ (, 9 G G T % w w 0% 0 % 9 (, )O )O )\ \ (, O G ³ G $ '$+ ³ ³ O O )\ \ (, [ T[ [ TO ) (, 9 G @ G > ³ ³ w w O O $ )\ \ (, [ T[ [ [ TO ) ) (, 9 + G @ G > ' (, TO (, )O $ T $ $ % , O ) ) , ) [ $ % , O ) , [ ) ) $ % ) , ) [ 0 $ $ % , ) , [ ) 0% $ % , , , T ) ) TO ) TO ) O [ $ , , , ) ) O TO 0 ) $ O TO 0 ) $ [ T 0 $
截面A处加一力偶矩MA,刚架的应变能 V=-. 4E7(+y gx]dx+ 2Et Jo(Fy)dy 于是6AaM 42(F+)x-x-](7-1)d x 4F2+q(逆 48El (3)求截面B的转角 因为刚架的AB段未承受横向力,所以AB段未发生弯曲变形,转角b等于转角64 3-8试用卡氏第二定理求图示刚架上的点A,B间的相对线位移和C点处两侧截面的相 对角位移。各杆的弯曲刚度均为 解:(a)在铰点C加一对大小相等,方向相反的力偶矩 Mc,分别作用于铰点C的两边如图(b),结构的应变能 1F )d 2EⅠ J+A ) d eMC ) dx (/3M)吗-2]dx2 点C两侧截面的相对角位移 -=a1-22-32x+12-B2124x20 解:(b) (1)求A、B间的相对位移AB 刚架的应变能 'dy+k(F)2dx 2EⅠ .、OV1 Fa adx] 7Fa(离开) 12El (2)求点C两侧截面的相对转角b C处加一对大小相等,方向相反的力偶Mc,刚架的应变能
$ 0 $ ³ O $ $ [ 0 O TO 0 ) (, 9 > ³ O )\ \ (, T[ [ G @ G T $ w w 0 $ 0 $ 9 (, )O TO [ O [ [ T[ TO ) (, O @ G ³ % T % $% $% T % T $ $ % & (, D & 0& & E ³ ³ O O \ \ ) \ \ ) (, 9 G G ^ H ³ @ G > O & [ [ O 0 O ) ) @ G ` > [ )O [ O 0 ) O & ³ & w w 0& & & 0 9 T G ` @ G ^ ³ ³ O O [ O )O [ [ )[ O [ )[ )O (, E $ % '$% ³ ³ G @ > G D D [ D )\ \ ) (, 9 '$% ³ ³ w w G @ > G D D [ )D D )\ \ ) (, 9 (, )D & T& & 0& » » ¼ º « « ¬ ª ¸ ¹ · ¨ © § ³ ³ ³ ³ D & D D D & & & [ D 0 [ 0 \ 0 )\ \ 0 ) (, 9 G G G G & O ) ) & ) D D D D ) $ % ) O ) O 0 ) & [ ) O 0 ) & [ 0& / 0 ) & / 0 ) & 0& ) ) & ) ) D D $ % [ & ) ) [ 0& 0& [
aM M-o"E[D 2Fy2 d y2+52 2dx,1=4EL 相对转角O的方向同于外加力偶M 解:(c) (1)求A、B间铅垂方向的相对位移ABy 刚架的应变能 ((Ex, 'dx,+(Fa)dy,+ IF(a-x2)d 2EⅠ0 +h(Fx, ) ',b(2Fa) 'dy2+h [F(2a-x4Pdx4j OF 2EI C2Exi'dx,+52Fa'dy,+2F(a-x,)2 +52Fx]dx,+5 8Fady2+2F(2a-x,)'dx4j (左向上,右向下) A、B间的相对位移△ay的方向是点A铅垂向下,点B铅垂向上 (2)求A、B间的相对水平位移4BH A、B两截面加上一对大小相等,方向相反的力F1,刚架的应变能 (Ex, 'dx,+(Fa+ Ey) 'dy+ Iea+ f(a-x)'d +h(Ex, )dx,+T(2Fa-Ey2'dy2+[Fa-F(2a-x)dxs +2(-y)dy+2-F2x-x)kdx}=-2 相对水平位移ABH的方向是相向靠拢。 3-9试用卡氏第二定理求位于水平平面内的开口圆环上A,B两点 间的相对位移。弹性常数E,G及环杆直径d为已知,两F力沿铅垂 方向作用。 解:(1)求A、B间相对铅垂位移AB、将原图用俯视投影图表示 (图b)以符号“⊙”和“⊕”分别表示铅垂向上和铅垂向下的集中力 任意θ橫截面上的弯矩和扭矩分别是: M(0=FRsin 8, T(0)=FR(1-cos B 刚架的应变能 (FRSin b)rde+ E 2GL. J,IFR(-cosO)]Rdo 2 aF FR sindo+- FR( 8)d8
w w 0& & & 0 9 T ³ ³ G @ > G D D [ )D )\ \ (, (, )D T& 0& F $ % '$%9 ³³³ D DD )[ [ )D \ ) D [ [ (, 9 ^ G G > @ G ³ ³³ D DD )[ [ )D \ ) D [ [ G G > @ G ` '$%9 ³³³ w w DD D )[ [ )D \ ) D [ [ ) (, 9 ^ G G G ³ ³³ DD D )[ [ )D \ ) D [ [ G G G ` (, )D $ % '$%9 $ % $ % '$%+ $ % ) ³³ ³ DD D )[ [ )D ) \ \ ) D ) D [ [ (, 9 ^ G G > @ G ³ ³ D D )[ [ )D ) \ \ G G ³ D ) D ) D > [ @ G [ '$%+ w w ) ) 9 ³ ³ D D )D\ \ ) D [ D [ (, ^ G > @ G ³ D )D \ \ G ³ D ) D [ D [ > @ G ` (, )D '$%+ $ % ( * G ) $ % '$%9 E T 0 T )5VLQT 7 T )5 FRVT ³ ³ S > FRV @ G VLQ G T T T 5)5 T *, )5 5 (, 9 '$%9 ) 9 w w ³ ³ S FRV G VLQ G T T )5 T T *, )5 (, D D ) $ % ) [ [ [ [ ) $ % ) [ [ [ [ ) ) $ % ) ) 5 $ ) ) 5 % 7 T T