附录I截面的几何性质 I-l试求图示各截面的阴影线面积对x轴的静矩。 解:(a)S=40×20×30×103=2.4×10-5m3 (b)S=20×65×0×109=4.23×10-5m3 (c)S=100×20×140×103=280×10 (d)S=100×40×130×10-9=5.20×10 I-2试用积分法求图示半圆形截面对x轴的静矩,并确定其形心的坐标。 解:求对x轴的静矩时,可取平行于x轴的狭长条作为面积元素,即 da= b(y)dy 从儿L何关系知b()=2√r2- 故有 于是半圆形截面对x轴的静矩是 S,= ydA=52yvr2-yc 令y= sine,则 dy=rcos a6, rcOS 原积分形式变换成 i 求形心坐标,C(x,y) 因为y轴是对称轴,所以x=0:根据静矩与形心关系有 I-3试确定图示各截面的形心位置。 解:(1)坐标轴如图所示,y轴是对称轴,因此 x=0 根据求组合截面形心坐标公式,得 80-1
, , [ \ [ & \ [ & \ & [ [ \ & D P 6] u u u u E P 6] u u u u F P 6] u u u u G P 6] u u u u , [ [ [ G$ E \ G \ E \ \U G$ U \ G \ [ ³ ³ 5 5 [ 6 \ $ \ U \ \ G G \ UVLQT G U\ FRVTGT FRVT U \ U VLQ FRV G U 6 U [ ³ T T T & \[ \ [ U 5 U $ 6 \ [ , \ [ \ [ 2 U E \ & \[ [ 2 U
∑Ay20×400×160+2×20 150×75 20×400+2×20×150 C(x 123.6mm (2)与(1)同理分别得形心坐标 150×10×85+100×10×5 =55mm 10×100+150×10 0×100×50+150×10×5 y 23 mm 10×100+150×10 (3)20号槽钢的横截面积A1=3283mm2 其截面形心C1在图示坐标系中的坐标是 . CO. y x1=-19.5mm VI 角钢80×80×10的截面积A2=1513mm2,其形心坐标 x2=23.5mm y2=23.5 组合截面的形心坐标是 F_Ar+A2x2 A +a 20 C(2, 3283×(-19.5)+1513×23.5 3283+1513 C(,y) Av+a y ·C2(x,y) 80×10 3283×100+1513×23.5 76 mm 3283+1513 1-4试求图示四分之一圆形截面对于x轴和y轴的惯性矩I,I 和惯性积I, 解:根据惯性矩的定义与圆对于圆心是极对称。因此四分之一圆截 面对x轴(或y轴)的惯性矩,为全圆对x轴(或y轴)惯性矩的 四分之一,即 C I I=l 4416 求惯性积Ix。首先取平行于x轴的宽dy的窄条单元,该单元 对其自身形心轴的惯性积,因为对称而为零。单元对x轴和y轴的 惯性积,应用平行轴定理得 xudA=(一 r2-y2)yda=dr2-y2)yr-y dy)=ly(2-y2)dy 所以整个截面对x轴和y轴的惯性积为 ydy I-5图示直径为d=200mm的圆形截面,在其上、下对称地切去两个高为=20mm的 弓形,试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x的惯性矩
PP u u u u u u u u ¦ ¦ Q L L Q L L L $ $ \ \ PP u u u u u u [ PP u u u u u u \ $ PP & [ PP \ PP uu $ PP [ PP \ PP $ $ $ [ $ [ [ PP u u $ $ $ \ $ \ \ PP u u , [ \ [ , \ , [\ , [ \ [ \ U U , , [ \ [\ , [ G\ [ \ [\ $ U \ \ $ U \ \ U \ \ \ U \ G \ G G G [ \ ³ ³ U U [\ U , [\ \ \ U \ \ G G , G PP G PP [ \ & \[ [ [ \ & \[ h /hh & [ \ & [ \ & \[ \ [ \ 2 U [ \ 2 [
解:取宽为dy平行于x轴的窄条为面积单元,其面积为 da= b(y)dy d -y dy 该单元对x轴的惯性矩是y2d4=2y2=2 因此整个阴影部分为x轴的惯性矩为积分 1, =22 ydA=4 ydy d 用换元法积分:令y=sin 则dy=- cos ed, 6 2 原积分变换成 2 Sin0cos-0d6 6-sin46) d 100-20 而sinb =08,cosn=√1-sn2=06 =arcsin 0.8=0.926 rad 46=c0s26osin26= sin Bo cos60(2cos6-1)=-0.134 所以13(0.926+0.134)=530×107mm4 I-6试求图示正方形截面对其对角线的惯性矩。 解:解法1(积分法) 取平行于x轴的窄条为面积单元,该单元对x轴的惯性矩为 yb()dy=2y 所以截面对x轴的惯性矩为 Ⅰ=4 y)dy 解法2:知任意三角形对其任一边的惯性矩为一,这里b是底 边长,h是与该底边对应的三角形的高,用于此处,可得正方形截面 对x轴的惯性矩为 bh3 2a(-a) 解法3:因为任何截面对于一对相互垂直轴之每轴的惯性矩加起来的必等于截面对该
G\ [ \ \ G $ E \ \ G G G [ \ \ G \ $ \ G G [ \ \ G , \ $ \ G G [ G G ³ ³ G G VLQT G \ FRVTGT G G \ FRVT G \ G VLQ VLQ FRV G T T T T T T ³ G G , [ VLQ G G G T FRV VLQ T T T DUFVLQ UDG FRV VLQ VLQ FRV FRV VLQ T T T T TT PP , [ u , [ [ \ E \ \ \ D \ G \ G [ ³ D [ D , \ D \ \ G EK E K [ D D D EK , [ [ G [ G 2 \ [ [ \ E \
二轴交点的极惯性矩;截面对平行于边长的形心轴的惯性矩为一系已知;又对于图示x轴 和y轴的惯性矩2、I相等。于是由I2+1,=2×和112° 注:过正多边形形心有无穷多组形心主轴,且其x=Ic I-7试分别求图示环形和箱形截面 对其对称轴x的惯性矩。 解:(1)根据惯性矩的定义,环形 截面的惯性矩等于以外圆为实心截 面的惯性矩,减去以内圆为实心截 面的惯性矩的差,即 x=[(150+2×25)-150] =5.37×107mm4 (2)与(1)同理得 1=(150+2103-90×1503)=9.05×10mm I-8试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的x轴 的惯性矩 解:已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是 bh 利用平行 轴定理,可求得截面对形心轴x的惯性矩 h、2bh I +bh) 所以 bhbh bh3 再次应用平行轴定理,得 1 =1,+(bh)e) h 8bh' bh I-9试求图示r=lm的半圆形截面对于轴x的惯性矩,其中轴x与半圆形的底边平行,相
D [ \ [ , \ , D , , [ \ u D , [ [& \& , , , [ PP > @ u u S , [ PP , [ u u , $ %& [ %& EK [ K EK , [ EK EK EK EK , [ K EK EK EK , [ , [ EK , U P [ [ [ 2 [ [ E $ % & [ E $ % & [
兀d4兀r 解ε知半圆形截面对其底边的惯性矩是 128-8,用平行轴定 理得截面对形心轴x的惯性矩 Z r CI 89 再用平行轴定理,得截面对轴x的惯性矩 (1+-)2 r4 8r x+2+= 14z·124×13 3.3m I-10试求图示组合截面对于形心轴x的惯性矩 解:由于三圆直径相等,并两两相切。它们的圆心构成一个边长为d的等边三角形。该等 边三角形的形心就是组合截面的形心,因此下面两个圆的圆心,到形心轴x的距离是 上面一个圆的圆心到x轴的距离是∽d。 利用平行轴定理,得组合截面对x轴的惯性矩如下: d+πd 11d4 -11试求图示各组合截面对其对称轴x的惯性矩。 250X10 解:(a)22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是 L100×1 3.4×10mm 利用平行轴定理得组合截面对轴x的惯性矩 600×10 x2=3.4×10+2×120×10×115 =6.58×107mm4 b)等边角钢100×100×10的截面积是1926mm2,其形心距外边缘的距离是284 n,求得组合截面对轴x的惯性矩如下:
P G U [ U U U U U , [ [ U U U U U U U , , [ [ P u U U U , [ G [ G G [ G [ @ @ > > G G G G G G G , [ , [ D D u PP [ PP u , [ u u u u E uu PP PP [ [ 2 U [ P U 2 [ P [ [ 2 2 2 G G G [ h ,D [ h h /h
In=,×10×600+2×250×10×3052+4×1926×(300-28.4)2=1.21×100mm4 1-12试求习题13a图所示截面对其水平 形心轴x的惯性矩。关于形心位置,可 利用该题的结果 解:形心轴x位置及几何尺寸如图所示 惯性矩Ⅰ计算如下 l2=×400×20+400×20×364+2××20×1503+ 2×20×150×(123.6-75)2=363×107mm4 I-13试求图示各截面对其形心轴x的惯性矩 解:(a)首先求形心轴x的位置y。以下底边为参考轴,有 y=-100100+300×600 =425mm 截面对x轴的惯性矩为 I=,×1000×100+1000×100×(650-425)2+×300×600+ 12 300×600×(425-300)2=1.34×10°mm (b)以最下底边为参考轴,求形心轴x的位置,有 25×150×275+150×200×125+100×50×25 y=25×1504150×200+100×50 截面对x轴的惯性矩为 1100 1=,×25×1503+25×150×(275-127)2+×200×1503+、1 ×100×503+ 100×50×(127-25)2=1.987×103mm4 (c)先确定形心轴x的位置 2140×1150×575-×79024×790 2140×1150--×7902 =735mm 截面对x轴的惯性矩是
PP , [ u u u u u u u u , ,D [ [ [ , PP u u u u , [ u u u u u u u , [ D [ \ PP u u u u u u \ [ PP u u u , [ u u u u u u E [ PP u u u u u u u u u \ [ PP u u u , [ u u u u u u u u F [ PP u S u S u u u S u u \ [ [ [ [ [ P P P U P 2
2140×11503+2140×1150×(735-575 R4兀R24 (y-)2]} 230 2140×11503+2140×1150×160 兀×79048×790 丌×790 4×790 (735 )2=1.34×10mm4 (d)先求形心轴x的位置 445×9×722.5+220×14×711+16×674×367+180×14×23+220×16×8 y 445×9+20×14+16×674+180×14+20×16 =382mm 组合截面对轴x的惯性矩是 445×9 445×9 Ix=445×9×(72.5-382)2+220×14×(711-382+×16×6743+ 16×674X(382-3672+180×14×(382-23)+22682-8) =2.03×10mm 180×14 180×14 1-14在直径D=8a的圆截面中,开了一个2a×4a的矩形孔,如图所示,试求截面对其水 平形心轴利竖直形心轴的惯性矩I2和。 解:先求形心主轴x的位置A1y-A2(a+y)=0 即x60-y-8a2.(a+y)=0 a 0.1893a D4,4a(2a)3 +4a2a·a2] 兀D+324(8a)432 3=(64-4=19044 In=1x1-4y2=1904a4-(16a2-8a2)×(0.1893a)2=1889a4 1=xD420(4a3_8a)_2a(4a)A0-13=1904 64
PP @` ^> u u u u u u u u u u u u u 5 \ 5 5 5 5 , [ G [ PP u u u u u u u u u u u u u u u \ [ PP u u u u u u u , [ u u u u u u , ' D D u D [ , \ , [ $ \ $ \D \ D \D D D D \ @ > D D D ' D D , [ D D D D D ' , , $\ D D D DD [ [ u D D ' D D D D D , \ [ h h h h h [ h h h h h [ ' D D
100.,100 I-15正方形截面中开了一个直径d=100mm的半圆形孔,如图 所示。试确定截面的形心位置,并计算对水平形心轴和竖直形 轴的惯性矩。 解:(1)先求形心轴位置 令(, πd (2d)2·d =0.9769d=9769mm La=l1-Ae 122x64-1(2d)2、xd2 =2d)兀 -]·(1-0.9769)2d 8 20 兀x1004 128)-(4-)×0.02312×1001 =130686475mm4=1.3069×103mm (2d)πd200兀×100 =130878964mm4=1.309×103mm 122×6412 I-16图示由两个20a号槽钢组成的组合截面,若欲使截面对两对称轴的惯性矩Ⅰ和Ⅰ,相 等,则两槽钢的间距a应为多少? 解:20a号槽钢截面对其自身的形心轴x、y的惯性矩是l0=1.78×10mm4 1o=1.28×10°mm4;横截面积为A=2883mm2;槽钢背 到其形心轴yo的距离是x=20.1mm。 根据惯性矩定义x和平行轴定理,组合截面对x,y轴的 惯性矩分别是 12=2l0;1=2l1o+2A(+x)2
, G PP PP S S S G G G G G G G G \ , , $H [& [ @ @ > G > G G G G u @ > u u u PP u PP PP u u G G , \& u PP , D [ , \ , D D [ \ , [ u PP , \ u PP $ PP \ [ PP [ [ \ [ [ , , [ D , \ , \ $ [ \ , , G & & & &[ [ [ \ [ D 2 \
1=2lo+2A(a +x 等式两边同除以2,然后代入数据 1.78×10=1.28×10°+288×(+20.1) 于是(+20.1) 17.8-1.28)×10 2883 所以,两槽钢相距 a=2(756-20.1)=11lmm 17试求图示截面的惯性积I? 解:将截面分成如图所示的I、Ⅱ两部分。该两部分各自的形心轴, 也是各自的对称轴。因此,它们对各自形心轴的惯性积等于0。然 后,利用惯性积的平行轴定理,求得截面的惯性积为 =l1+lnn=90×10×5×55+100×10×5×50=4.975×103mm4 I-18图示截面由两个125mmx125mm×l0mm的等边角钢及缀板(图中虚线)组合而 成。试求该截面的最大惯性矩m和最小惯性矩li 解:将角钢与缀板对形心主轴xc,yc的惯性矩分开计算 (1)先计算角钢 =2×57389cm4=1148cm4 1c=2(1+Ad2)=2(14946+24273×[(345+05)xV2]}=1820cm -19试求图示正方形截面的惯性积In和惯性矩lx,In,并作出相应的结论。 解:正方形截面对x轴,y轴的惯性矩和惯性积分别是
[ D , [ , \ $ u u u D u D D PP , [\ , , ,, , [\ ,,[\ ,,,[\ uu u u uu u PP , PPu PPu PP PD[ , PLQ , 2 2 [ \ &[ \ &\ ] & &[ &\ , [& u FP FP ^ > @ ` FP , \& \ $G, u u , [\ , [ , \ , [ \ [ D 2 \ \ [ [ \ 2 [
Ⅰ=0 利用转轴公式,可得 L-1.+.1-\cos 2a-Isin 2a )cos 2a-0 sin 2a=- 2121221212 2coS 2a +I sin2a= 2Sin 2a-l cosa=l 4 1x-1 )sin2a-0·cos2a=0 结论:正方形截面的任何一对形心轴均为形心主惯性轴。事实上正多边形(包括圆)的任何 一对形心轴均为形心主惯性轴。 I-20确定图示截面的形心主惯性轴的位置,并求形心主 惯性矩。 解:(a)因截面形状是极对称的,所以形心C位于腹板中 心。过C作坐标Cx,Cy,分别平行于翼缘和腹板。 求对所给形心轴的惯性矩Ⅰ,,和惯性积Ⅰ 1=2x×200×40+2×200×40x180 ×20×320=5.75×10°mm 400×203+2×1×40×1802+2×40×180×1002=1.83×103m I=2×40×180×(-180×100)=-2.59×103mm1 求形心主惯性轴的位置: -2×(-2.59×105)5.18 =1.320 (575-1.83)×1033.92 因为分子,分母均为正,所以2a0位于第I象限。 2ao=52°5,a0=26°26 应用转轴公式求形心主惯性轴矩la、ln
D , , [ \ [\ , FRV D VLQ D [\ [ \ [ \ [ , , , , , , FRV VLQ D D D D D DD FRV VLQ D , , , , , , [\ [ \ [ \ \ DD VLQ FRV VLQ FRV D D DD D D , , , , [\ [ \ [ \ , D & & &[ &\ [ , \ , [\ , PP , [ u u u u u u uu u PP , \ u u u u u u u u u , [\ u uu u u PP WDQ u u u [ \ [\ , , , D D , D q D q [ , \ , D D [ \ \ [ & \ & [
