第Ⅱ册第一章弯曲问题的进一步研究 1-1截面为16a号槽钢的简支梁,跨长1=4.2m,受集度为q=2kN/m的均布荷载作 用,梁放在=20°的斜面上。试确定梁危险截面上A点和B点处的弯曲正应力。 解:16a号槽钢的几何性质为 2=866.210-m4,1y=73.310-8m4 W2=108.3×10m,Wy=16.3×10-6m3 l22×(4.2)2 =4.42kn.m max 88 max =M max CoS =4.42 x cos 20=4.15 kN.m Mymax =M max sin =4.42 x sin 20=1.51 kN.m A=w+ymax-4.15×103-1.5110=-13mpa W W 108.3×10-6× 16.3×10-6 槽钢截面对于y不对称,规格表中所给W=16.310-6m3对点A而言,不适用于点B, 故求B时不能引用。 =Mzmax+-Jmax X18x10- W Iy 4.15×1031.51×1018×1-3 108.3×10-6+ 73.3×10-8=38.4+37.1=75.5mpa 1-2矩形截面木檩条的跨度l=4m,荷载及截面尺寸如图所示,木材为杉木,弯曲许 用正应力[]=12MPa,E=9GPa,许可挠度为/200试验算檩条的强度和刚度 解:q=1.6×sin2634′=0.713kN/m y=1.6×cos2634=1.430kN/m 1y=×0.16×0.113=1.77×10-5m4 2634 =1×0.11×0.163=3.76×10.5m4 (1)檩条的强度验算: 9×12 max= 8 b×12 × 2 + × h I2 2 0.713×103×42×0.111.43×103×42×0.16 = 16×1.77×10- + 16×3.76×10 =4.44×10+6.11×10=10.55Mpa<o 满足强度条件。 (2)檩条的刚度验算 沿z方向的挠度:W2=5 2384EI y 沿y方向的挠度:w,=5 384EI 157
,, D O P T N1P $ M $ % D P , ] u P , \ u P :] u P :\ u N1 P PD[ u TO 0 $ FRV FRV 0 ] PD[ 0 PD[ M u N1 P $ 0 \ PD[ 0 PD[ VLQM uVLQ N1 P PD[ PD[ u u u u \ \ ] ] $ : 0 : 0 V 03D \ P :\ u $ % V % \ \ ] ] % , 0 : 0 PD[ PD[ u u V 03D u u u u u u O P >V @ 03D ( *3D O u VLQ c N1P $ T] u FRV c N1P $ T\ P , \ u u u P , ] u u u PD[ K , O T E , O T ] \ \ ] u u u u V u u u u u u u u u u 03D > @ u u V ] \ ] ] (, T O Z \ ] \ \ (, T O Z T O $ % M N1P O qc
384E 2)+ 0.713×103 384×9×109W1.77×10 3.76×10-5 5×256×5.55×10 2.05×10-m 384×9×10 容许挠度为[w =2.00×10-2m 200200 w=[w]尚可认为满足刚度要求。 1-3图示跨长为l=4m的简支梁,由200mm×200mm×20mm的等边角钢制成,在 梁跨中点受集中力F=25kN作用。试求最大弯矩截面上A,B和C点处的正应力 解:200×200×20角钢的截面儿何性质为 Wa=32206×106m3,W0=146.55×106m3(对于点B的) I20=455455103m2,I0=110.04×10-3m M M,omax Momax 25 x cos 45=17.7 kN.m f0 M,omax×61×10 177×103177×103×61×10 322.06×10 1.180×10-5 550×10-913×106=-1463MPa 17.7×10 =+121.3MPa 14655×10 M 51×10 =+55-91.3=-36.3MPa 1-4由木材制成的矩形截面悬臂梁,在水平对 称面内受到F1=16kN作用,在铅垂对称面内受 到F2=0.8kN作用,如图所示。已知 b=90mm,h=180mm,E=10GPa。试求梁 横截面上的最大正应力及其作用点的位置,并求 梁的最大挠度。 如果截面为园形,d=130mm,试求梁的横截面上的最大正应力 解:矩形戴面时 σmx发生在定端截面上,F1F2分别作用下的正应力图如图所示 M W 在FF2共同作用下,最大拉应力在固定端戴面上点1处,而最大压应力在该截面上点 158
¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § ] \ \ ] ] \ , T , T ( O Z Z Z ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § u u ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § u u u u u P u u u u u u P > @ u O Z Z >Z@ O P PPhPPhPP ) N1 $ % & hh P P :] u :\ u % P P , ] u , \ u N1 P PD[ u 0 PD[ PD[ u FRV N1 P $ 0 \ 0 ] PD[ PD[ \ \ ] ] $ , 0 : 0 u u V u u u u u u 03D u u 03D PD[ u u \ \ % : 0 V 03D PD[ PD[ u u \ \ ] ] & , 0 : 0 V ) N1 ) N1 E PP K PP ( *3D G PP V PD[ ) ) ] ] : 0 PD[ V PD[ \ \ : 0 PD[ V PD[ ) ) O ) $ % & ) ] R \ E ) ) P P
3处,两者的值相等。 Mm=F2×1=0.8×1=0.8kN·m M=F1×1=1.6×2=3.2kN·m 0×1802×10 9 W 4.86×10 6 bh180×902×10 2.43×10-m 6 6 0.8×10 3.2×10 4.86×10 243×1014.8MPa 最人挠度wm=WB=yw2B+w2B l:=2x=4.86×0W +×l Flac. Fl XIcH ×10-3=4.37×10-5m4 0.8×103×13 0.8×10×1 ×1=0.152×10-2m 3×1.0×10°×4.37×10352×1.0×100×4.37×10 b 1,=w,×=2.43×10××10=1.09×10 1.6×103×23 3EI3×1.0×10×1.09×10 .09×10-=391×10-m 故v==√(0152×x103)2+(391×103)2=392×103m 圆形截面时: 由于此时梁在F1,F2分别作用下,在固定端截面上产生的最大正应力不在同一点处,故 不可能如矩形截面梁中那样判定最大正应力作用点位置及最大正应力。注意到,圆截面对于 任何形心轴的抗弯截面模量均为=兀d3,故可将固定端截面上由于F引起的弯矩 M和由于F引起的弯矩M取矢量和求得最大弯矩。 M2+M2 0.82=3.298k x W=(6.13)3=2.157×10 3.298 15.3 MPa 1-5Z形截面简支梁在跨中受一集 中力作用,如图所示。已知该截面对通 60kN 固性矩和惯性积分别为裕 12=575×10m,l,=1.83×10m4 159
\ \ ] ] : 0 : 0 PD[ PD[ V PD[ 0 ]PD[ ) u u N1 P 0 ]PD[ ) u u N1 P P u u u EK :] P u u u EK :\ 03D PD[ u u u u V ZPD[ Z% Z Z\%\% &% ] $& ] $& \% \& \& &% O (, ) O (, ) O Z Z u O u T P u u u u u K , ] Z] u u u u u u u u u u u u u Z\% P u P u u u u u E , \ Z\ \ $% ]% (, ) O Z P u u u u u u u P PD[ Z u u u ) ) : G ) 0 \ PD[ ) 0 ] PD[ N1 P PD[ PD[ PD[ 0 0 \ 0 ] P : u 03D P N1 PD[ u V = \] P P , ] u , \ u ] \ ] ] : 0 PD[ V PD[ \ \ : 0 PD[ V PD[ P N1 $ & % ] [ P ] \ \
和I2=2.59×10+m4。试求梁的最大正应力。 解:12-mx=M、Fl60×10×4 =60×10N yp=200 mm,zp =-10mm 由公式(1-1)得: Mma (p1 -zp1v) 60×10[200×103×1.83×10--(-10)×103×2.59×10 183×10-×5.75×10-4-2.592×10 61.645×10Pa≈6l.6MPa 1-6由两种材料制成的矩形截面组合梁如图1-6a所 示。在对称纯弯曲时橫截面上的弯矩为M,其中性轴 位置由图中的yn定出,试证明: E,A (1)中性轴位置yn为 E,Ycl +E, EA+E2A, (2)中性层曲率为 M PE121+E212 (3)弯曲正应力为 (i=1,2) E,+el 各式中,E1,E2;A1,A2;yc1,yc2:Ia,Ⅰa2分别为材料1和材料2的弹性模量;截面面积; 截面形心到横截面底边的距离;截面对中性轴的惯性。而y为所求点的坐标 证:如图1-6所示,yn,y1,yc2均从z轴为起始位置,即2z1为中性轴,yc1为材料1 的截面形心坐标。 由平面假设成立,得E=2(p为中性层曲率),因而材料1与2两部分的弯曲正应力 分别为 G1=E1 =E2 y (1) 由横截面上应力的合成等于内力的静力关系,得(纯弯曲时) dA,+Lo2dA2= FN=0 (2) yo,dA,+L yoda,=M 将式(1)代入(3),得 E1 ny。a4+2 da= M 令1=yd,2=Jnyd4,则由式(4)得 P E1+Erl2
P , \] u 1 P PD[ u u u )O 0 ] 0&] \' PP]' PP PD[ PD[ \ ] \] ] ' \ ' \] ' , , , 0 \ , ] , V V > @ u u u u u u u u u u u 3D 03D u | D 0 Q \ Q \ Q ( $ ( $ ( $ \ ( $ \ \ & & ] ] ( , ( , 0 U L ( , ( , 0( \ ] ] L VL & & ] ] ( ( $ $ \ \ , , \ Q & & \ \ \ ] ] & \ U \ U U V U V \ ( \ ( ³ ³ G G 1 $ $ V $ V $ ) ³ ³ G G $ $ \ $ \VV $ 0 ³ ³ G G $ $ \ $ 0 ( \ $ ( U U ³ ³ G G $ $ , \ $ , \ $ ( , ( , 0 U \ & & ] ] ($ ($ E
即原命题第2条得证。 再将式(1)代入(2),得 E,,+E2Lyd A2=0 令图1-6中,x=A2/b,则上式化为 EI bdv+e bEl be 即=[(yn-x)2-(h-yn)2]+=2[y2-(yn-x)2]=0 化简得:bE[(2h-2x)yn+x2-h2]+bE2(2xyn-x2)=0 E,[2b(h-x)y,+2E,= E,b(h-x)+e,bx (6) h 因b(h-x)=A1,bx=A2 sy2c2,代入式(6),得 x 2 (EA+ E,A,,=ErA ycu+ E,A,yc? 所以 EAJCL+ Er A,yo ELA+ErA 原命题(1)得证。 1-7一用钢板加固的木梁承受集中荷载 F=30kN,如图所示。钢和木材的弹性模量分别为 E.=200GPa及E=10GPa,试求危险截面上钢 和木材部分的最大弯曲正应力 解:由两种材料构成的组合梁,在受力弯曲时, 我们假定梁的变形仍然满足平面假设。因此纵向线应 变沿截面高度的变化仍服从公式:E=y 为了便于叙述,设木材为材料1,钢板为材料2 而正应力沿横截面的变化,根据胡克定律有:}平 E 设z轴是整个橫截面的中性轴,根据轴向合力为零,有式: σ1dA+|,a2dA2=0 d a yd A 显然Inyd4是横截面的部份对轴(中性轴)的静矩。用S表示 ydA1,同理S2 da 于是式(3)为:E1S21+E2S2=0 (4) 即10×10×[100×200×(h2-100)]+200×10×[10×100×(h2+5)=0 h,=47.5mm 根据横截面上的内力元素σdA对中性轴之矩的和,应等于该截面的弯矩,有
³ ³ G G $ $ ( \ $ ( \ $ [ $ E ³ ³ \ [ K \ \ \ [ ( \ E \ ( \ E \ Q Q Q Q G G > @ > @ Q Q Q Q \ [\ E( \ [ K \ E( > @ Q E( K [ \Q [ K E( [[\ Q Q ( >E K [ \ @ ( E[\ ( E K [ E[( & &\ [ \ K [ E K [ $ E[ $ Q & & ( $ ( $ \ ( $ \ ( $ \ Q ( $ ( $ ( $ \ ( $ \ \ & & ) N1 *3D (V *3D (Z U H \ U V H \ ( ( U V \ ( ] ³ ³ G G $ $ V $ V $ ³ ³ G G $ $ \ $ ( \ $ ( U U ³ G $ \ $ ] 6] G ³ $ 6] \ $ ³ G $ 6] \ $ (6] ( 6] > @ > @ u u u u u u u u KK K PP V G $ ) P P \ ] V V V
E1 M=Loyd,+l oxyd A2 n≈EL1+E12 E 「ny2d4+22 其中1、2分别为木材和钢截面对中性轴的惯性矩,由上式得: p E,I+E,l2 将式(5)分别代入式(1)(2)得:01=E+E所米 ME,y (6) 1+E2I2 部份截面对中性轴z的惯性矩是: ×100×2003+100×200×5252=1.2179×103mm4=1.2179×10 12=,×100×10+100×10×(475+5)2=27646×10°mm4=2.7646×10°m4 最大弯矩在集力中F作用处: M 2Fl2×30×10×3 20×103N.m 木材中的最大正应力绝对值: Mmax ejhy E l+Erl2 20×103×10×10°×152.5×10 10×10°×1.2179×10-4+200×10×27646×10-6 172MPa(压) MmxE2(h2+10)×10 E11+E21 20057.5 130×10°Pa=130MPa(拉) 10152.5 18试判断图示各截面的弯曲中心的大致位置。若图示截面上的剪力F指向向下,试 画出这些截面上的切应力的指向。 解:我们用符号“A”表示弯曲中心,z轴、y轴是形心轴。 I<曰 王<
³ ³ ³ ³ G G G G $ $ $ $ ( , ( , \ $ ( \ $ ( 0 \ $ \ $ U U U V V , , ( , ( , 0 U ( , ( , 0( \ ( , ( , 0( \ V V ] PP P , u u u u u u PP P , u u u u u u ) 1 P PD[ u u u u ) O 0 PD[ Z PD[ ( , ( , 0 ( K V V u u u u u u u u u u u 03D PD[ 6 PD[ ( , ( , 0 ( K u V V 3D 03D V Z u u u )6 $ ] \ ] \ $ ] $ \ ] \ $ ] \ ] \ $ $
1-9试确定图示薄壁截面的弯曲中心A的位 解:图示加载条件下,腹板上的切应力小得可样 忽略不计。因此设翼缘板上的切应力合力分别为 F和F2,它们的合力作用点为A,由 ∑M=0.,F3y1=F32y2 (1) 同样,在图示的加载条件下,腹板上的弯曲正♀□20 应力也是很小的,因而正应力也主要作用在两侧翼 板上,在I和上分别形成弯矩M和M2。根据同一截面的两个翼板具有同一曲率半径 P1=P2 由此得: M (2) El. El,( 又因为M和M2为同一截面上两块翼板上的弯矩,故它们与剪力存在下列关系 M=f(x, Fs M,=f(x, qFs2 其中f(x,q)为与截面位置x及荷载有关的函数。将式(3)代入式(2),消去f(x,q)得: Fs,() Fs2 I,() 式(4)代入式(1),得: _1(① y21,(D) 40×360 r,() ,I,(I 代入式(5,得:_23 0.2282 y2 又y1+y2=540,与上式联立,得: 故e=100-20=80mm 1-10梁的横截面如图所示,假设腹板很 薄,其面积与翼缘的面积A相比可忽略不计。 试求截面弯曲中心A的位置。 提示:因腹板很薄,在计算截面的儿何性质时, 可略去腹板面积的影响。而翼缘内的切应力却 远小于腹板,可忽略不计,即假设剪力全部由 腹板承受 解:横截面对水平z轴对称,z为中性轴。 由于腹板很薄,略去腹板部分面积对中性轴z 的静矩,因此,腹板任一点处的静矩为常数 即S2= A,rsin a 同理,不计腹板面积对z轴惯性矩和A1面积对自身形心主轴惯性矩。于是,由平行移 轴公式,近似地计算得截面的惯性矩为: 1=2A(rsin a) 所以,腹板上任意点的切应力为(设腹板厚度为t)
$ )6 )6 $ ¦ 6 6 0 $ ) \ \) , ,, 0 0 U U , ,, \ (, \ 0 (, 0 0 0 6 0 I [ )T 6 0 I [ )T I T[ [ I T[ ,, , 6 6 \ \ , , ) ) ,, , \ \ , , \ \ ,, , u u \ \ , , \ \ \ \ \ \ H PP $ $ ] ] ] VLQD 6 $ U ] ] $ , $ UVLQD ] W $ $ ) )6 ,, )6 , \ $ $ U D D R D D ] M W
FSS SARsina Fs I I 2A(rsin a)'t arts 腹板上的切应力是均匀分布,如图1-10a所示。 由于翼缘上的切应力比腹板上的小,故略去不计,因此有: F Tdg·t·r= 2rt sin a F[dφ F sin a Sin a sIn a 1-11开口薄壁圆弧截面如图所示 已知截面上的剪力F平行于y轴,试 求 (1)截面上的切应力及其方向 (2)弯曲中心A的位置。 解:(1)切应力: 任意截面θ一侧对中性轴的静矩 (图1-11a) S:=(Sdo)rsin(a-p)=8r?(cos(a-O)-cosal 1:=2(Srd p)[rsin(a-p)]=20(- sina cos a) Fss. Fs cos(a-8)-cos d dr. a-sin a cos a 切应力x的方向与截面的中心线相切 (2)弯曲中心A的位置 由Fe=[(z·cd)r=F a-0)-coscd 0= Fs 2(sin a-a cosa) - sin a cos a a-sinc cos a Sina-a cos a a-sin a cos a 1-12图示一半径为Rc=40mm的钢制曲杆,杆的横截面为圆形,其 直径d=20mm。曲杆横截面m-m上的弯矩M=-60N·m。试按计算 歹的精确公式和近似公式分别求出曲杆横截面m-m上的最大弯曲正应力 并与按直梁应力公式计算的结果相比较。 解:(1)按精确解计算圆形截面有 =39.365mm 8R[-1-(2n-)]8×40× 2Rc 2×40 于是形心到中性轴距离:j=R-r=40-39365=0635mm
D D D VLQ VLQ VLQ 6 6 6 UW ) $ U W ) $ U , W ) 6 ] ] D M D W M D D G VLQ G 6 6 ³ ³ UW ) U W ) H U W U ³ D D D M D 6 6 VLQ G VLQ ) U ) U D D VLQ U H | )6 \ $ T D ³ T G M D M G D T D U6 G VLQ UU >FRV FRV @ ] ³ D D D D G M D M G VLQ FRV U, G > VLQ @ UU ] D D D D T D G G W VLQ FRV FRV FRV 6 6 U ) , ) 6 ] ] W $ ³ ³ D D D D D D D D T D D D D T D W G T 6 6 6 VLQ FRV VLQ FRV G VLQ FRV FRV FRV ) H U G U ) U U) D D D D D D VLQ FRV VLQ FRV H U 5& PP G PP P P 0 1 P \ P P V PD[ PP @ > @ > u u u & & 5 G 5 G U \ & U5 PP U D D R \ G U D D R \ ] )6 H $ D T T M GM W P P R G
曲杆的最大弯曲正应力发生在杆的内侧,与之对应的y与p(y)为 y=-(-)=-(--0.635)=-9.365mm p()=30 mm 曲杆的最大弯曲正应力为 4M4×(-60)×(-9365×103) =93.9MPa msSo()xd2yp()丌×202×10-×6.35×10-×3×10 (2)按近似公式计算 按近似公式有:j =0.625mm 16R16×40 曲杆内侧到中性轴距离:y=(-y)=-(10-0.625)=-9375mm 于是 4×(-60)×(-9.375×107) =95.5N/m2=955MPa 丌d2jp(y)x×202×106×0.625×10-3×30×10 (3)按直梁公式计算 32×60 d3×20x10~s=764×10°N/m2=764MPa
\ U \ PP \ G \ U \ PP 03D PD[ u u u u u u u u u G \ \ 0\ 6 \ 0\ M U V PP u 5& G \ PP \ G \ 1P 03D PD[ u u u u u u u u u G \ \ 0\ U V 1P 03D PD[ u u u u u G G 0 : 0 V