第八章组合变形及连接部分的计算 8-114号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知=0.8m,F1=2.5kN,F2=1.0k,试求危险 截面上的最大正应力。 解:危险截面在固定端 M. M 3F1 Fl Omax., W: 3×2.5×103×0.81.0×103×0.8 1/21/2 2×102×10-6 16.1×10-6 =79.1MPa 8-2受集度为q的均布荷载作用的矩形截面简支梁,其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 a=30°,如图所示。已知该梁材料的弹性模量E=10GPa;梁的尺寸为l=4m,h=160mm, b=120mm;许用应力[]=12MPa;许可挠度[w=试校核梁的强度和刚度。 1-81-8 解:M=-q,12=-qcos30-12 b 8 =2kN/m 2mx=q12=-qsin30°-12 M, cos309l2 sin 306gl2cos30sin 30930 =zmax+ymax8 W W bh 8bhh b 6 6 √31 62×103×42 +)=11.97×106Pa=12.0mpa=,强度安全 8×120×160×10-0.1600.120 w2=5q2145×12qsin3014 384EI 384Ehb3,=5q,145×12qcos3014 y 384EI 384Ebh3 sin30° Wmax=+= 5x124qcos30° 384Ebh )2+( b )2 5×12×44×2×103 384×10x10×120×160×10-60.16 2)+( 0.122 )2 =0.0202m<[w]= 4 150m刚度安全。 8-3悬臂梁受集中力F作用如图所示。已知横截面的直径 D=120mm,d=30mm,材料的许用应力=160MPa。试 求中性轴的位置,并按照强度条件求梁的许可荷载[F] 2mH 116
O P ) N1 ) N1 \ ] \ \ ] ] : ) O : ) O : 0 : 0 PD[ V u u u u u u u u 03D T $ D ( *3D O P K PP E PP >V @ 03D > @ O Z PD[ FRV 0 T O T O ] \ $ PD[ VLQ 0 T O T O ] ] $ FRV VLQ VLQ FRV PD[ PD[ EK K E TO KE TO EK TO : 0 : 0 \ \ ] ] $ $ $ $ V u > @ V u u u u u u 3D 03D VLQ (KE T O (, T O Z \ ] ] $ u FRV (EK T O (, T O Z ] \ \ $ u PD[ VLQ FRV (EK K E O T Z Z\ Z] $ $ u u u u u u u u u u > @ P P Z ) ' PP G PP >V @ 03D >)@ $ % ) ) ) ] R & O \ O \ T N1P ] E q R T O P ' q \ R ] ) )
中性轴: Fcos30°· Fsin3 zsin30°ycos30 y 64z 2(D-2d)x(D-34a) D4-2d4D4-34d4 (D4-2a).√3(1204-2×30+) 1.982 D+-34d 1204-34×30 b=6313′ G点位于弧AB上。 M D 0 DM d DM q=0 d 2/ D+-2d MI. Fl sin30° D-34d) 120+-2×30 q =1.9817 1204-34×304 63°13′= Fl cos30 sin Fl sin 30 cos (D-34d) (D-2d°) 3202(0305g+sn30ss)≤] sin63°13 cos6313′ 32×120×10-×F×2 30)×10 (120-2×30)x10≤160×10 117
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F≤12.132×103N,[F]=12.1kN 8-4图示一楼梯木斜梁的长度为l=4m,截面为0.2m×0.lm的矩 形,受均布荷载作用,q=2kN/m。试作梁的轴力图和弯矩图,并求 横截面上的最大拉应力和最大压应力。 解:F=F.=9cOs30°·1 2 =3.464kN F4x=qsin30·l=2××4=4kN FNG=2kN 杆为弯压组合变形,最大压应力和最大拉应力分别发生在跨中截面 上边缘和下边缘处: M FNO 3.464×1032×103 5.29 MPa 0.1×0.220.1×0.2 6 o.=5. 19 MPa-01 MPa= 5.09 MPa 8-5图示一悬臂滑车架,杆AB为18号工字钢,其长度为l=2.6m。试求 当荷载F=25kN作用在AB的中点D处时,杆内的最大正应力。设工字钢 的自重可略去不计。 解:18号工字钢W=1.85×10-4m3,A=30.6×10+m2,AB杆系弯压 组合变形 w+bC cOs30 ∑M1=0,Fsim301=Fx2 Fc= 25kN 12 12.6 M=Fsin30×=25×x==1625kNm m=1623×1025×10×y5 8783+707=949MPa(压) 185×10 30.6×104 8-6砖砌烟高h=30m,底截面m-m的外径d1=3m,内径d2=2m,自重P=2000kN,受 q=1kN/m的风力作用。试求:
1 ) d u >)@ N1 O P Pu P T N1P T FRV O )% )$\ $ N1 u u N1 )$[ VLQ OT u u $ N1 1 O ) $ O ) : 0 1 PD[ V FPD[ u u u u 03D 03D 03D 03D V WPD[ $% O P ) N1 $% ' P : u P $ u $% $ ) : 0 %& $ FRV V PD[ ¦ 0 $ VLQ O )%& O ) u $ )%& N1 VLQ O 0 ) %& u$ uu N1 P PD[ u u u u u V 03D K P PP G P G P 3 N1 T N1P q T % $ q T % $ )% )$\ )$[ )1 $ & % ' ) O q O )$[ )$\ ) q O $ ' )%& %
(1)烟卤底截面上的最大压应力 (2)若烟囱的基础埋深h=4m,基础及填士自重按P2=1000kN计算,土壤的许用压应力 ]=0.3MPa,圆形基础的直径D应为多大? 注:计算风力时,可略去烟囱直径的变化,把它看作是等截面的 解:烟囱底截面上的最大压应力 1×10×30 2000×10 3/2 =0508MPa+0.212MPa=0.72MPa(压) 上壤上的最大压应力σ: p+p h(+h0) (2000+1000×101×103×30×(30 ≤0.3×10° 丌D 3.82×10°5.81×10 O3≤0.3×10 即0.3D-382D-581=0 解得:D=4.17m 8-7螺旋夹紧器立臂的橫截面为a×b的矩形,如图所示。已知该夹紧器工作时承受的夹紧力 F=16kN,材料的许用应力]=160MPa,立臂厚a=20mm,偏心距e=140mm。试求立臂 宽度b。 解:截面上轴力FN=F,弯矩M=Fe F Fe F 6Fe a w ab ab ] bb- F b+6e≤o b2-b-6e≥0 b÷1+1+24ca/FF(1+√1+24eda/F 16×10[1+y1+24×140×10×20×103×160×100/16×10°) 2×20×10-3×160×10 =0.0673m=67.3mm 8试求图示杆内的最大正应力。力F与杆的轴线平行
K P 3 N1 >V @ 03D ' PD[ u u u u u : TK $ 3 V 03D 03D 03D V PD[ V d > @ V PD[ ' K K TK ' 3 3 PD[ d u u u u u ' ' V d u u u ' ' ' ' ' P D u E ) N1 >V @ 03D D PP H PP E )1 ) 0 )H V d > @ V PD[ DE )H DE ) : )H $ ) d > @ V E H D E ) > @ ) D E E H V d > @ E ) D E H V d > @ E HE t ) D V > @ > @ > @ > @ V V V V D ) HD ) ) D HD ) E t > @ u u u u u u u u u u u u P PP ) T P P 3 ' ) H E
解:S=4a×a×(-2a)+4a×2a×a=0,z为形心主 固定端为危险截面,其中 轴力FN=F,弯矩M,=-2F,M2=-2Fa a(4a) 4a(2a) 4a·a3,2a(4a)3 B A点拉应力最大 A 151F 12a232a4 26420.572 B点压应力最大 F B=4-1 F 2Fa 2Fa a 17F -0.258 12a232a4 11a 2 66 因此σ=0.572 8-9有一座高为12m、厚为0.3m的混凝十墙,浇筑于牢固的基础上,用作挡水用的小坝。试求 (1)当水位达到墙顶时墙底处的最大拉应力和最大压应力(设混凝土的密度为 245×10°kgm3) (2)如果要求混凝土中没有拉应力,试问最大许可水深h为多大 解:以单位宽度的水坝计算: 水压:q0=pgh=1.00×103×9.8×1.2=1176kN/m 混凝十对墙底的压力为 F=pghb=245×103×9.8×1.2×0.3=864kN 墙坝的弯曲截面系数:W=-×1×0.32=1.5×10-2m 墙坝的截面面积:A=0.3×1=0.3m 墙底处的最大拉应力G为 h h 3F=176×12×1038.64 )×10-°MP A6×1.5×10 0.3 0.188-0.0288=0.159MPa 0.188+0.0288=0.217MPa 当要求混凝士中没有拉应力时:σ1=0
6] D u D u D D u DD u ] )1 ) 0 \ )D 0 ] )D D D D D D D D D D , ] u u D D D D D D , \ $ $ \ \ $ ] 1 ] $ ] , 0 \ , 0 $ ) V D D )D D D )D D ) D ) D ) % % \ \ % ] ] % ] , 0 \ , 0 $ ) V D D )D D D )D D ) D ) D ) PD[ D ) V P P u NJP K N1P T U Z JK u u u N1 ) UJKE u u u u P : u u u $ u P V PD[ $ ) : K T K V WPD[ 03D u u u u u u 03D 03D VFPD[ V W ) D D D D % \ ] D & $ D T P
h 即23-F A p.gh.h 即 288×103=0 98×103(h)3 288×10 h3=265×10-3,h=0.642 8-10受拉构件形状如图,已知截面尺寸为40mm×5mm,承受轴向拉力F=12kN。现拉杆开有 切口,如不计应力集中影响,当材料的]=10MPa时,试确定切口的最人许可深度,并绘出切 口截面的应力变化图。 F 解 A 12×10 12×103××10-3 100×10 (40-x)×5×1065×(40-x)2×10-9 整理得:x2-128x+640=0 解得:x=5.25mm 11—园截面直杆受偏心拉力作用,偏心距e=20mm,杆的直径为70mm,许用拉应力为 120MPa。试求杆的许可偏心拉力值。 解:圆截面面积A 兀×7032×10 =38.5×10-m 圆截面的弯曲截面系数W=7×703×10-9 337×10-6m =n=+×20×10≤ F×20×10 38.5×10 337X10≤120×10° 8.5F=120×104,[F]=141kN 8-12图示一浆砌块石挡土墙,墙高4m,已知墙背承受的土 压力F=137kN,并且与铅垂线成夹角a=45.7°,浆砌石 的密度为235×103kg/m3,其他尺寸如图所示。试取lm长 的墙体作为计算对象,试计算作用在截面AB上A点和B点处 的正应力。又砌体的许用压应力G]=35MPa,许用拉应力刀 a]=014MPa,试作强度校核。 解:W1=1×4×0.6×23=552kN
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W,=1 23=73.8kN Fa=Fcos45.7=137×0698=95.5KN Fax=Fsin45.7=137×0.716=98.0kN 铅直力W=W+形2+F=552+73.8+955=224.3kN M=Fax×1+W1×0.8-W2×0.033-Fa×0.7 98.0×1+55.2×0.8-73.6×0.033-95.5×0.7 1.10.7 =729kN.m M w W A 72.9×10.224.3×10 -0.0905-0.102=-0.193MPa M W 0.0905-0.102=-0.0116MPa 故满足强度要求。 mom 8-13试确定图示十字形截面的截面核心边界 解:2=1 0.2×0.6+2×-×0.2×0 =3867×10+m4 对应于零应力线① a=0.3m a 3867×10 =-0.06445m 20×10-×0.3 y 应于零应力线② a,=+0.4m +0.4m 3867×104 =-0.0483m Ao 20×10-2×0.4 Vp2= 1238.67×10 =-0.0483m 20×10-2×0.4 由于圆形对称于z轴及y轴,利用对称关系可得核心边界其他点,核心边界为一正八边形,其 中有四个顶点在z轴及y轴上,另四个顶点在45°斜线上
N1 u u : u $ )D\ )D FRV u N1 $ )D[ )D VLQ u N1 : : : )D\ N1 0 )D[ u: u : u )D\ u u u u u N1 P $ : : 0 ] V $ u u u u u 03D 03D $ : : 0 ] V % > @ V $ V W , ] , \ u u u u u P u D] P D\ f P u u u ] \ ] 3 $D , D L\ ] \3 D] P D\ P P u u u ] \ 3 $D , ] P u u u \ ] 3 $D , \ ] \ ] \ $ $ )D[ 3 3 )D\ % P P P \ [
8-14试确定图示各截面的截面核心边界。 解:(a)①截面儿何 兀d2=(800 ×540-)×10 =4.11×10-1m ×540)×10 =2996×10-m i =0.0729m ②截面核心 设中性轴为AB边,a1=400mm,a,=∞ 0.0729 y1= =-0.182m 0×10 相应荷载作用点为点1:;利用对称性,同样可得荷载作用点2,3,4。因此截面核心为点1,2,3, 4组成的正方形,该正方形的对角线长度 l13=0.182×2=0.364m=364mm (b)①截面儿何 A=b-cd=(100×200-50×100×106 =1.50×10-m (100×2003-50×1003)×102 =6.25×10-5m4 ba' dc 1 1212 (200×100-100×50°)×10-2 1.56×10-m 1,6.25×10 4.17×10-3m A1.50×10 1.56×10 2=A1.50×10→1.04×103m ②截面核心 设中性轴为AB边,则 a,=50mm,a2=0 荷载作用点1 i2-104×10 0.0208m 50×10
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设中性轴为BC边,则 a,=∞0,a=100mm 荷载作用点2: 4.17×10 0 =-0.0417m 100×10 由对称性得,荷载作用点3,4,且截面核心对角线长: l13=0.0208×2=0.0416m=41.6mm l24=0.0417×2=0.0834m=834mm (c)①截面儿何 A= =×4002×10=6.283×10-2m d2×400×10 =8.49×10-m l ds 4004×10-2=6283×10 2×642×64 1,=10-Az0=12-Az0 =6.283×10+-6.283×10-2×8.492×10 =1.754×10-4m 6.283×10 100×10-2m2 A6.283×10 1.754×10 6283×102≈2.79×10m ②截面核心 设中性轴为AB边,a.=-8.49×10-2m,a,=∞,则相应的荷载作用点1的坐标为 2.79×10 =+0.0329m a.-8.49×10 y1=0 分别设中性轴与点A、B和C相切,则其截距以及相应的荷载作用点2,3和4的坐标分别为 中性轴截距:a2=∞,a1=±200mm;a2=ll5mm,a,=∞ 相应点坐标: 50mm;z4=-24.3mm,y4=0 中性轴由点A的切线绕角点A转至AB边和由AB边绕角B转至点B的切线,相应的荷载作用 点的轨迹为直线,故分别以直线连接点1、2和点1、3。中性轴从点A的切线沿半圆弧ACB过渡到 B点的切线(始终与圆周相切),则相应的荷载作用点的轨迹必为一曲线,于是以适应的曲线连接点 2、4、3即得该截面的截面核心,如图8-14c-1中阴影区域所示,为一扇形面积。 8-15曲拐受力如图示,其圆杆部分的直径d=50mm。试画出表示A点处应力状态的单元体,并 求其主应力及最大切应力。 解:A点所在的横截面上承受弯矩和扭矩作用,其值 M,=3.2×10°×90×107=288Nm T=3.2×103×140×10-3=448N.m
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它们在点A分别产生拉应力和切应力,其应力状态如图8-15a,其中 ,32×288 =23.5×10Pa=23.5MPa W兀×503×10 16×448 3.2kN Wnπ×503×1O=183×10Pa=183MPa T==一 23.5 13 )2+1832 =11.8±21.7= 9.95 r=9-a=3 5+9.95 =21.7MPa 注:剪力在点A的切应力为零 -16铁道路标圆信号板,装在外径D=60mm的空心圆柱上,所受的最大风载p=2kN/mˉ G|=60MPa。试按第三强度理论选定空心柱的厚度。 解:忽略风载对空心柱的分布压力,只计风载对信号板的压力,则信号板受风力 F=丌x0.52 兀×0.52×2×103 393N 空心柱固定端处为危险截面,其弯矩: M=F×0.8=314N 扭矩:T=F×0.6=236N VM+T < πD3d 32 d4≤D(32M2 D 32√M2+T 32√3142+236 d<D 丌D=60×1031 兀×603×10-9×60×10° 54.7×10-m=54.7mm d、D-d60-54.7 2.65mm
$ D 3D 03D u u u u \ \ : 0 V 3D 03D S u u u u : 7 W r W r V V V 03D r V 03D PD[ V V W $ ' PP S N1P >V @ 03D 1 u u u u ) S 0 ) u 1 7 ) u 1 V d > @ V : 0 7 U d ^ ` V > @ ' ' G 0 7 > @ ' V 0 7 G ' d > @ u u u u u d ' V 0 7 G ' P PP u t ' G G PP $ N1 W V $ P