第二章考虑材料塑性的极限分析 2-1一组合圆筒,承受荷载F,如图a所示。内筒材料为低碳钢, 横截面面积为A,弹性模量为E1,屈服极限为σ;外筒材料为铝合 金,横截面面积为A2,弹性模量为E2,屈服极限为σ2。假设两种 材料均可理想化弹性-理想塑性模型,其应力-应变关系如图b所示。 试求组合筒的屈服荷载F和极限荷载F 解:(1)求屈服荷载F 低碳钢刚出现屈服时,F=σ1A1=σ。A4 此时铝仍处于线弹性阶段,且其应变与低碳钢相同,即 故 F=OA=EEA=EEsA 屈服荷载F=F1+F2=141+E2EsA2 (2)求极限荷载F 此时铝刚达屈服 F1=G141,F2=02A2 F=F1+F2=1A1+a2A2 2-2一水平刚性杆AC,A端为固定铰链支承,在B,C处分别与两根长度l、橫截面面 积A和材料均相同的等直杆铰接,如图所示。两杄的材料可理想化为弹性-理想塑性模型, 其弹性模量为E、屈服极限为σ。在刚性杆的D处承受集中荷截F,试求结构的屈服荷载 F。和极限荷载F 解:(1)由图22a,∑M4=0.F,2a=FBa+F3a 2F=FR+3FC (1) 在线弹性阶段 8= FRl =36 Fc=3F8 (2) 代入式(1),得FB=F,F=F ∑F=0,FA=0 ∑F=0.FA==F (2)显然杆C先达到屈服,此时 三O A 0, F=-Ao,F=-Ao 3 (3)杆C屈服后,杆C受力保持FσA,杆C失去约束作用,使杆B也达屈服,此 时杆B应力达σ 166
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FR=OA MA=0,F·2a=Fna+F.3a 即 F.2a=Aa+oA·3a=4dAa 故 F=20A 2-3例题2-1中的三杆铰结超静定结构,若在荷载达到极限荷 载F=,A(1+2cosa)后,卸除荷载,试求中间杆3内的残余 应力 解:由例题2-1结果知,三杆均处于弹性阶段时 O1=0 A(+cos a)'3 A(1+2cos a) 杆3屈服时,即σ3=a FS=0s A(1+2 cosa) 因此式(1)可改写为 cos a (3) 当1,2,3杆均屈服时: G1==03=0 此时,极限荷载为:F=σ,A(1+2cosa) (5) 所以:= (6) F 1+2 cos3 当荷载至F,立即反向卸载,反向卸载时三杆呈线弹性状态,反向荷载为-F,即将F-F 代入式(3),得: △ F F 卸载结束时,由式(4),(7)得残余应力 (1-) (1 2cos a(1-cos a) sin 2a sin a G(压) 1+2 cos a 1+2 cos 注:杆3为残余压应力,杆1、2为残余拉应力,但杆1、2、3均为残余拉应变。 2-4等直圆轴的截面形状如图所示,实心圆轴 的直径d=60mm,空心圆轴的内、外径分别为 do=40mm,D。=80mm。材料可视为弹性理想 塑性,其剪切屈服极限τ,=160MPa。试求两轴的 极限扭矩 167
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解:Tm=后2 oprs dp=a,22×160×105×303×103=905Nm dd 2 160×10 2t prdp=2t 3 3140-2031×109=18.75kN·m 2-5一半径为R的等直实心圆轴,材料可视为弹性 理想塑性,如图所示。在扭转时处于弹性-塑性阶段,即横 截面上的扭转T处于T故2+δ≈2,42+82≈42) W4, 所以
N1 P G V V VX u u u u ³ G 7 G U W U W > @ N1 P G V V KX u u u ³ ' G 7 ' G U W U W 5 7 7V 7 7X V V W 7 U 5 G G V V V V 5 U U U U 7 5 U U ³ ³ W W U U W U U W U V V W 5 W U V W 7 U 5 V W 7 U 5 :V : G U V :: K E :V : ³ ³ V F W F : 6 6 6 \ G $ U VLQM U GTG G VLQT G GT UU ³ ' ' ' ' : G G u > @> @ G G G G G U U U U U G G G G G G U U U U U U U U U G G U !! G U | U GG | UU V U U : : G G R V W R W J \ ] 2 T GT G $ \ ] 2 & K E
hh、bh2 (2)W=S。+S1=2S。=2(b·× 6 bb bh (3dy)=4 2 bh 故 2.00 w bh 2-7图示T形截面梁的材料可视为弹性理想塑μ70 性,其屈服极限σ=235MPa,试求该梁的极限弯 解:1.求极限塑性中性轴位置 70=70×(8-y)+62×8,y=7.543mm W=S1+S。=70 y y·+70×=(8-y) +62×8×[(8-y)+31=1760lmm Mn=H,=235×10×17601×107=4.14kNm 2-8矩形截面简支梁受载如图所示。已知梁的截 面尺寸为b=60mm,h=120mm;梁的材料可视为 弹性理想塑性,屈服极限,=235MPa。试求梁的.C,D. 极限荷载。 解:由图2-8a ∑M4=0FB=3F 5 5 M W 5 W F F=-bh ×60×1202×1039×235×10°=30456N≈30.5kN 2-9受均布荷载作用的简 支梁如图所示。已知该梁的材料 可视为弹性理想塑性,屈服极++ 限G,=235MPa。试求梁的极易
V F W F K K EK : 6 6 6 E u ³³ ³ $ $ K ] EK \ \ K E E , \ $ \ \ \ G G G EK K , : ] V EK EK : : 7 03D VV \ u \ u \ PP V W F \ \ : 6 6 \ u uu> \ @ PP N1 P X V V u u u 0 V : E PPK PP 03D V V D ¦ 0 $ % )) ¦)\ $ )) 0 ' 0 ) ) PD[ u V EK K EK : u 0 X VV :V X V EK ) V 1 N1 V X u u u u u | ) EK V 03D VV \ ] ) ) $ % & ' P P P E ) ) $ % & ' )% )$ T P \ D ]
限荷载。 解:由图 250y=(50-y)×250+25×200+50×100 y= W=S1+S。=250×45××10+(50×100×230+25×200×105 250×5×25)×103=1.931×10 M=gn q1 12=aW 235×106×1.931×10 =227×103N/m=227kN.m 2-10图2-a所示端固定、一端铰支的超静定 梁,承受均布荷载q。梁的材料可视为弹性-理想塑 性,已知其极限弯矩为M,。试证明梁的极限荷载 为qn=11.66Mn/12。 提示:除固定端的塑性铰外,另一塑性铰的位置与弹性分析中的M←位置不同。令另 塑性铰距固定端为a,可由dqn/da=0,求得另一塑性铰的位置a 证:如图,设距定端A为a处为另一塑性铰位置,则 (0)=F--qnl=-M (a)=F(-a)-qn(-a)2=M dm(a) q(-a) 式(1)+式(2),得 FB(22 (2-2l+a)=0 式(3)代入上式,得 q(-a)(2l-a) %(212-2la+a2)=0 化简,得:a2-4al+212=0(0≤a≤1 解得: √2) 代入式(3),得:FB=(V2-11 代入式(1),得:(√2-1)q1P2-1g12=-M 化简,得:%=(06+A5个110 证毕
D \ \ u u u \ V W F u u u u u u : 6 6 u u u u P u X V V PD[ 0 TO 0 V : V V X T O V : V V X u u u u O : T V 1P N1 P u D T 0 X X X T O0 0 PD[ D G G TX D D $ D X X 0 0 ) TO 0O $ % X X 0 D ) O D OT 0D % G G ) TX DO D 0 D % )% O D TX O DOD TX O D O D TX O DOD D DO O D dd O D O ) T O % X X X X T O T 0O X X X O 0 O 0 T | TX D $ % )$ )% O 0 $ TX O D % )% 0X )6