《材料力学课后习题解答》第6章 动荷载 交变应力

第六章动荷载·交变应力 6-1用钢索起吊P=60kN的重物,并在第一秒钟内以等加速上升2.5m。试 求钢索横截面上的轴力FN(不计钢索的质量) 12=2x25 解:h=at2,a=7=12 =5m/s 2 5 F=P(1+-)=60(1+)=90.6kn 6-2一起重机重P=5kN,装在两根跨度1=4m的20a号工字钢梁上,用钢索起吊 P2=50kN的重物。该重物在前3s内按等加速上升10m已知[=170mpa,试校核梁的强度 (不计梁和钢索的自重) 2h2×1020 解:a=== t 329 1/2 P2=P2(1+-) P=P+P2=P+P2(1+)=5+50×(1+20=66.34kN g 9.8×9 M=634x4 =66.37knm Omax=dmax=66.34×103 =140×106=140MPa W237×2×10-6 6-3用绳索起吊钢筋混凝土管如图所示。如管子的重量 P=10kN,绳索的直径d=40mm,许用应力[a]=10MPa, 试校核绳索的强度。 F P 解:F=P,2 F NcoS445°=F,FN== 45 F √2√2 慢慢起吊:s==P4 sA2xπd2 10×103×4 √2π×402×10-6 =5.62MPa],不安全,因此吊重物必须慢慢起吊。 6-4一杆以角速度绕铅垂轴在水平面内转动。已知杆长为l, 杆的横截面面积为A,重量为P1。另有一重量为P的重物连接在杆 的端点,如图所示。试求杆的伸长。 解:(1)求轴力 杆AB受力如图6-4a,其中轴向惯性分布力:P1(x)=2x Ig 为求轴力,用截面法,在x截面截开,取右半部分,如图6-4b,图 中未示出重力,则 225

 g  3  N1 P )1G     PV        u W K K DW D   N1   1G     u   J D ) 3  3  N1 O  P D 3  N1 V P >V @  03D         u W K D   G  J D 3 3   N1          G   G  u     u  J D 3 3 3 3 3  N1 P     G G PD[ u 3 O 0   03D         G PD[ PD[ u u u u  : 0 V  3  N1 G  PP >V @  03D ) 3    FRV   1 1 ) 3 ) ) ) $  1 VW   G 3 $ ) u u V  > @ V u u u u  03D          V V u   03D ! >V @ G G VW N  Z O $ 3 3  $% D [ OJ 3 S [ ,     Z [ E )1G D 3 D 3 O   O   q 3 ) q ) )1 )1 q Z O 3

FN(x)=-o21+ g (2)求杆伸长 FN(r) Al=O EA ∫6a+o3(2-x2)]dx EA FN(r) Po212 Po 1 0212 (3P+P) gEA 3gEA 3EAg 6-5图示钢轴和钢质圆杆CD的直径均为10mm,在D处有一P=10N的重物。已知钢的密度 p=795×103kg/m3。若轴AB的转速n=300r/min,试求杆AB内的最大正应力 解:F1=-lm2+5ma2xdx g Plo 212d Pl F=F+P+P=-+4p0212d2+P+lpg=114.3N MA=0.,F×200=F×300,F8=F=76.2N F×100×107=7.62N 77.6 MPa W丌×103×10-9 6-6图示机车车轮以等角速n=300r/min旋转,两轮之间的连杆AB的横截面为矩形, h=56mm,b=28mm;又l=20m,r=250mm。连杆材料的密度p=775×103kg/m3。试 求连杆AB的横截面上的最大弯曲正应力 解:此题是动应力问题。由于两轮半径相等,AB杆处于平移状态,其上任一点的惯性力的方 向同于A点(或B点),始终在圆周的法线方向,背离圆心。由此可视AB杆为一受均布荷载q的简 支梁,当AB杆运动至轮的最下部时,惯性力方向与梁轴线垂直向下,梁自身重力亦向下,使梁弯 曲的均布荷载q达到最大: qmax =pbha 2×300、2 =775×103×28×10-×56×10-×( 0.25+7.75×10°×9.8×28×107×56×10 =3.12×103N/m=3.12kN/m 均布荷载的简支梁,最大弯矩在跨中截面,且 M=1cn2=1×312×2=156kNm 矩形截面梁的弯曲截面系数是 26

             1 O O [ OJ 3 [ OJ 3 O J 3 ) [ Z  ZZ           O [ OJ 3 O J 3 Z  Z   ³ ³   O O O [ [ OJ 3 O J 3 ($ [ ($ ) [ O   1       @G  >  G   ' Z Z             3 3 ($J O J($ 3 O J($ 3 O   Z Z Z  &' PP ' 3  1   U u NJP $% Q  UPLQ $%  ³ O O $ [ [ J 3 )    , Z U Z G  G     O J 3OZ UZ   UDG V  Q Z 1  G       ,       JO G O 3 J 3O ) ) 3 3 UUZ Z ¦ u u  1   0 $  )  )%  % ))  PD[   0 )% u u  1 P 03D       PD[ u u u  : 0 V  Q  UPLQ $% K  PPE  PP O  PU  PP   U u NJP $% $% $ % $% T $% T T UEK U  UZ JEK  PD[            u u u u u       u u u               u u u u u u   1P  N1P  u    N1 P       PD[ PD[ 0 OT u u Z 3 )$ $ O J 3  Z O 3 [ [ OJ 3 S [   ,  Z   1 ) [ O J 3  Z O  [ O OJ 3  Z [ OJ 3  Z & $ % ' 3   Z O $ % 2 2 U O E

W:=bh2_I ×28×10-3×(56×103)2=146×10°m 于是,得最大正应力 1.56×1 107×10°N/m2=107MPa W14.6×10-6 *67图示重量为P、长为l的杆件AB,可在铅垂平面内 绕A点自由转动。当杆以等角速o绕铅垂轴y旋转时,试求:4 (1)a角的大小; (2)杆上离A点为x处横截面上的弯矩和最大弯矩: (3)杆的弯矩图 P 解:任意x截面处,重力的线集度是q2h方向竖 P 1 直向下;惯性力的线集度是4(x= /xsin a,a2,方向水平向外。使杆发生弯曲效应的应是 垂直于杆轴线的横向力。在此处的横向力应是分布力q1与q2在垂直于杆轴方向上的分力的代数和, q(x)=q,(x)sina-g2(x)cos a (1)当所有外力对A点的矩之和为零,即∑M4=0时,a角即为所求。对A点之矩,由积 分求得 ∑M4=0q(x)xdx=Jog1(x)sina-q2(x)cosaldx Pa . sina xsin a·cosa]dx=0 lg 解得c0sa=38:sina=1-(n38)2 210 所以a=arco3 (2)从上知杆AB受横向分布力q(x),为平衡q(x)所必须的横向支反力FA为: Plo F=oq()dx=jo[q, (r)sina-q2(r)cosa]dx= Psina--sin 2a 任意x截面处的弯矩M(x)(我们规定图中F4引起正向弯矩)是 M(x)=Fx-lolqu (x )sin a-g, (x )cosa](x-x)dx P P (Psin a 49Sin 2a)x sin a Pox, inacosa](x-x1dx Plox Pxsin a 4g sin2a_Pr2 2/SIna+Pair Ig v210 将M(x)对x求导,并令M(x)=0,得方程式 dx

              P        :] EK u u u u u   1P 03D         PD[ PD[ u u u  :] 0 V  3 O $% $ Z \  D  $ [  [     O 3 T [   VLQ    [ ZD O J 3 T [ T T T[ T [VLQD  T [ FRV D  $ ¦ 0 $  D $ ¦ ³ ³  O O $ 0 T [ [ [ T [ T [ [ [       G >  VLQ   FRVDD @ G ³  O [ [ [ 3 O 3   VLQ FRV @ G  OJ > VLQ DD Z D    FRV Z D O J      VLQ   Z D O J     DUFFRV Z D O J  $% T[ T[ )$ ³ ³   O O $ J 3O )   T [ [ T [ T [ [ 3    VLQ     G >  VLQ   FRV @G VLQ D Z D D D [ 0 [ )$  ³   [ $ 0 [ ) [ T [ T [ [ [ [          >  VLQ   FRVDD @ G   ³   [ [ [ [ 3 [ O 3 [ J 3O 3       VLQ FRV @ G OJ VLQ   > VLQ   VLQ DD Z D D Z D D Z D D Z D VLQ  OJ VLQ  VLQ   VLQ     3 [ O 3[ J 3O [ 3[               OZ J O [ O 3[   0 [ [  G G   [ 0 [ \ $ % D Z \ $ % D Z  T T

3x2-4lx+l2=0 解得:x。1 当x=-时,得弯矩的极大值 P M=M02=420-3y-2 27V210 6-8在直径d=100mm的轴上,装有转动惯量 飞轮,制器 Do=0.5kN·m·s2的飞轮,轴以300rmin的匀角速度旋转,如图 所示。现用制动器使飞轮在4秒内停止转动,试求轴内的最大切应力-[ +士- (不计轴的质量和轴承內的摩擦力) 解:设轴为等减速转动,其角减速度为 ,T=l0 r==1g=10=0.5×10×3002×16 W Wt兀×1003×10-9×4×60 =20×100Pa=20MPa 69重量为P=5kN的重物自高度h=10mm处自由 下落,冲击到20b号工字钢梁上的B点处,如图所示。已知 钢的弹性模量E=210GPa。试求梁内最大冲击正应力(不 计梁的自重) 解:K=1+,1+ 5×103×1.63 3E3×210×109×2500×10-81.3×10-3m=1.3mm 2×10 K=1 5.05 1.3 5×10°×1.6 Kdos=Kd=kd 5.05 =161.6MPa≈162MPa 250×10 P 6-10重量为P=5kN的重物,自高度h=15mm处自 由下落,冲击到外伸梁的C点处,如图所示。已知梁为20b 号工字钢,其弹性模量E=210GPa。试求梁内最大冲击正 应力(不计梁的自重)。 P(l+a)a 5×103×3×12 3EI 3×210×100×2500×10-=9.524×10+m=0952mm K=1+,/36 2×15 1+|1 6.70 0.952 4=KOa=K4=6,70 5×103×1 250×106=134MPa 228

      [   OO[  O [ [ O  O [ 0 PD[                          Z OZ 3O J O O J O O O 3 O 0     G  PP   ,  N1 P V  UPLQ  D Z D G   ,7 W   3D  03D              S  S  S G PD[ u u u u u u u u u  : W , : , : 7 ZD W  3  N1 K  PP E % (  *3D VW G    K .    P PP                VW u u u u u u u   (, 3O     G   u .    03D  03D         G G VW G G | u u u u  : 3O . : 0 . . $ V V  3  N1 K  PP & E (  *3D   P PP                   VW u u u u u u u u    (, 3 O D D          VW G u     K .  03D         G G VW G u u u u  : 0 . . % V V Z 3 % $ P 3 % $ P P &

6-11重量为P=40N的重物,自高度 h=60mm处自由下落,冲击到钢梁中点E处,如 图所示。该梁一端吊在弹簧AC上,另一端支承在弹 弹A 簧BD上,冲击前梁AB处于水平位置。已知两弹簧 的刚度系数均为k=25.32N/mm,钢的弹性模量 E=210GPa,梁的截面为宽40mm、高8mm的矩 弹 形,其自重不计。试求梁内最大冲击正应力 解:弹簧变形A=2 =0.790mm 梁的最大挠度 .83×12 48Er-48×210×10°×40×83×10 1.19×10-3m=1.19m A=4+4,=1.19+0.790=1.98mm K=1+,1+ 2h =8.85 P 可=kaxM=K4=8.85 6×40×0.8 4×40×82×10 166×10°Pa=166MPa 6-12图示为等截面刚架,重物(重量为P)自高度h处自由下落冲 刚架的A点处。已知P=300N,h=50mm,E=200GPa。试求截 面A的最大竖直位移和刚架内的最大冲击正应力(刚架的质量可略去不 计,且不计轴力、剪力对刚架变形的影响)。 解:4 3ET+O,I=pr P1·l4Pl 3El El BEI 4×300×13×12 3×200×10×40×303×10-≈0.0222m=222mm 2h 2×50 =1+,1+ =3.346 M.k. pl3.346×300×1×6 d o Wbh240×302×10 167.3MPa=167MPa 4=K44=3346×22=743mm 6-13长l=400mm,直径d=12mm的圆截面直 杆,在B端受到水平方向的轴向冲击,如图所示。已知 AB杆材料的弹性模量E=210GPa,冲击时冲击物的 动能为2000N·mm。在不考虑杆的质量的情况下,试求 杆内的最大冲击正应力 解:动能全部转换成杆的变形能

  3  1 K  PP ( $& %' $% N  1PP (  *3D PP PP PP    N N 3   P PP                 u u u u u u u u   (, 3O VW  N    PP         VW G u    K .     G G VW G G            u u u u u u EK 3O . : 0 . . ( V V   3D 03D  u  3 K $ 3  1 K  PP (  *3D $ (, 3O O (, 3O O (, 3O O (, 3O %        VW  T  P PP               u u u u u u u u           VW G u     K .     G PD[ G VW G          u u u u u EK N 3O : 0 . . & V V 03D 03D Z$ .G VW  u  PP  O  PP G  PP % $% (  *3D 1gPP $ % '   3  & ( % $ 3 & P    % $ 3 & O O $ % 3 Y

E 2=1E 27E 2×0.4×2×4 VEAV210×10××122×10°0.2596×10-3m=0.2596mm Fa/ 0/ EA E AE 0.2596×10-3×210×10°/0.4=136×10Pa=136M 6-14重量P=2kN的冰块,以v=1m/s的速度沿水平方向冲击在木 桩的上端,如图所示。木桩长1=3m,直径d=20m,弹性模量P E=11GPa。试求木柱的最大冲击正应力(不计木桩自重)。 2×103×33×64 解: 3E3×11×10×兀×2004×10-2=0.0208m 2×103×3 K Vg.V98×0288×200 169×10°Pa=16.9MPa 32 *6-15重量为P=20N的物体,以ν=5m/s的速度,沿水平方向冲击到与圆柱螺旋弹簧相连、 重量为P=15N的物体上,如图所示。已知弹簧的平均直径D=40mm,簧杆直径d=6mm 弹簧有效圈数n=12,其切变模量G=80GPa。若将冲击物P和物体P当作刚体,弹簧的质量可 略去,求弹簧内的最大冲击切应力 解:P撞上P1时动量守恒 PP+p P P+p 1,P+B v P+pp P2y2 此时动能E=( g g P+p 2g(P+B1) 全部转换成弹簧变形能 1 TI 2 2 GI, 2g(P+P)'s 丌G T= Py =P以d = Pyd g(P+) 328(P+P) T Dn V32 Dng(P+ P) Pyd 32Dng(P+P) 16Pv 丌d πdV32Dg(P+P) 16 16×20×5 80×10 330 8MPa=33I MPa 兀×6×10 32×40×10-3×12×98×35

  N G G G     O ($ ( )    N G           u u u u u u u ($ O(   P PP  u  ( O ($ ) OG G G V       G   G u u u  O ( V   3D 03D  u  3  N1 Y  PV O  P G  PP (  *3D P                 VW u u u u u u u u  (, 3O     VW  G G VW           u u u u u : 3O J Y V . V   3D 03D  u  3  1 Y  PV 3  1 '  PP G  PP Q  *  *3D 3 3 3 3 Y 3 3 3 Y Y J 3 3 Y J 3                            N J 3 3 3 Y Y 3 3 3 J 3 3 Y J 3 3 (     N    S        9 ( J 3 3 3 9 *, 7 O 9  J 3 3 'Q * 3YG J 3 3 O *, 7 3Y        S      G   'QJ 3 3 * 3Y          G     S PD[ 'QJ 3 3 * G 3Y G 'QJ 3 3 * 3Y : 7   W                 u u u u u u u u u u u   03D 03D Y 3 G 3 3 Y

6-16试计算图示各交变应力的应力比和应力幅 MPa 6 解:(a)应力比r= 应力幅△a=60-(-20)=80MPa (b)应力比r=-=-,应力幅△a=20-(-60)=80MPa 603 -301 (c)应力比r 602 ,应力幅△σ=-30-(-60)=30MPa (d)应力比r=0 0,应力幅△a=0-(-60)=60MPa 6-17图a所示为直径d=30mm的 钢圆轴,受横向力F2=0.2kN和轴向拉力 F1=5kN的联合作用。当轴以匀角速o转 动时,试绘出跨中截面上k点处的正应力随 时间变化的曲线,并计算其应力比和应力 解:跨中截面上k点正应力 Ok=oN +Ow 4F 32F sin o= 4×5×10332×0.2×103×0 snot ×302×10-64x×303×10 (7.07-2546sino)×10°Pa =(7.07-2546 sin or)MPa 其应力比r= 247.5 -0.946 261.7 应力幅△a=261.7-(-247.5)=5092MPa 6-18某装配车间的吊车梁由2a号工字钢 制成,并在其中段焊上两块横截面为120mm× 10mm、长度为2.5m的加强钢板,如图所示。吊 每次起吊50kN的重物,在略去吊车及钢梁的 自重时,该吊车梁所承受的交变荷载可简化为 F-x=50kN,F-=0,已知焊接段横截面对 中性轴z的惯性矩Ⅰ=6574×10-3m4焊接段 采用手工焊接,属于第3类构件。欲使吊车梁能 受2×10次交变荷载的作用,试校核梁的疲劳强度

  D      U 'V    03D E       U 'V    03D F       U 'V    03D G     U 'V    03D  D G  PP )  N1 )  N1 Z N N VN V 1  V : W G ) O G ) W : 0 $ ) Z VLQZ    VLQ        VLQ W                   Z   u u u u u  u u u u  VLQ   3D   ZW u   VLQZW 03D      U 'V     03D  D PPh PP P N1 )PD[  N1 )PLQ  ]     P  , ] u  h 2   V  03D W   V  03D W  V  03D W   V  03D W 2 2 2 ) ) $ % & N   Z N ] \ 2 )     ZW V ) P P P ] 

解:(1)截面危险点的应力幅 50×10×5.0 4×6574×10 8×0.120=114MPa 应力幅△σ=am-om=114MPa (2)许用应力幅 因该梁为第3类焊接构件,从表6-1中查出 C=326×102,B=3 3.26×10 2×106)3=117.7MPa △o<[△a],故梁的疲劳强度满足。 232

  V PLQ   03D          PD[ PD[ PD[ PD[ u u u u u  \ , )O \ , 0 ] ] V  03D 'V PD[ VV PLQ  >'V @        & u E >'V @  03D             u u E 1 & 'V  >'V @