第五章应变分析·电阻应变计法基础 5-1用45°应变花测得构件表面上一点 处三个方向的线应变分别为 =700×10-6 5=350×10 E=-500×106。试作应变圆,求该点处 主应变数值和方向。 解:应变圆的作图法 (1)定-2坐标系如图所示。 E1=750 (2)从轴上量取0作垂直线A,与4=50×10° E轴交于A;量取E4作垂直线BB与E轴 交于B;量取￡。作垂直线DD′,与E轴交于D (3)平分AD得圆心C。 (4)在DD垂线上向上量取DD"=CB (5)连DC即为应变圆半径,作应变圆交E轴于c1及s3两点,则,E3为主应变数值。 (6)连CA",∠A"CE1=2a0 证:在直角三角形CDD"及三角形CBB”中,CD"=CB"=应力圆半径。 ACDD"ACBB",故DD"=CB 52用45°应变花测得构件表面上某点处E=400×10 E5=260×10,co=-80×10°。试求该点处三个主应变的数值 和方向。 (400-80)±√2(140+340) ×10(320±520) 61=420×10,s3=-1 d=arctan- 4s -(E +E) 2×260-320 100×1 arctan 480,a=113 5-3用电阻应变计法测得受扭转圆杆表面上两个相交45 '=500×10-,a”=375×10。已知杆材料的弹性常数 E=200GPa,v=0.25;圆杆的直径d=100mm。试求扭转 外力偶矩M
g e H $ u H $ u H $ u J H H H $$c H $ $ H %%c H % $ H ''c H ' $' & ''c ''cc &% 'cc& H H H H H &$cc$cc& DH &''cc &%%cc &'cc &%cc '&''cc # '&%%cc ''cc &% e H $ u H $ u H $ u ^ > @` H H $ H $ r H $ H $ H $ H $ > @ u r r H u H u $ $ $ $ $ $ DUFWDQ DUFWDQ u D H H H H H D e D H c u H cc u ( *3DQ G PP 0H \ [ H H H q q H H q H q H q H J H $ H $cc % %cc %c $c ' & 'cc 'c D q u u D H H 2 \ [ H H H q q H q u u D H H H q H q H q H J H % $ H ' & D u u q q H H 2 0H 0H Hc Hcc q D
解:E=E,=0 (a,+E +-(8r-E)cos 2a+-yu sin 2a=-yu sir 2 sin(90°+2a)E g′5.00×10-4 tan 2a= 3.75×10-43 sin 2a=0.8 e 28 M=n pT WG sin 2a 16 2(1+v) sin 2a 兀×0.13×200×10°×2×500×10- 一=1.96×10N.m=196kN.m 16×2×1.25×0.8 54由电阻应变计法测得钢梁表面上某点处c=500×10,E,=-465×10,已知 E=210GPa,v=0.33。试求σ,及σ,值 E 解: e va 210×10 1-0.33|500×10-6+0.33×(-465×10)=81.7MPa 210×10 465×10+0.33×(500×10-°)=-70.7MPa 1-0.33 55有一处于平面应力状态下的单元体,其上的两个主应力如图所示。设 E=70GPa,v=0.25。试求单元体的三个主应变,并用应变圆求出其最大切应变ymxo R, vo 80 80 MP: E-E=70×10(-023)=8.37×10 E2=8.57×10 E2x(0.25×80×1 Vo VO2 )=-5.72×10 70×10 由应变圆可知: y 2 =8.57×10-+5.72×10+=14.29×10
H [ H \ H HD H H H H D J D J VLQ D VLQ FRV [ \ [ \ [\ [\ c VLQ H H J D D cc $ $ [\ H H D D cc c VLQ VLQ $ WDQ u u cc c H H D VLQ D S H S : 0 : 7 W D H W J VLQ c ** [\ D H D Q H W VLQ VLQ H S S c u c G ( 0 : : * 1 P u u u u u u u u u u N1P H [ u H \ u ( *3DQ V [ V \ ° ¯ ° ® \ \ [ [ [ \ ( ( H QH Q V H QH Q V > @ 03D u u u u V [ > @ 03D u u u u V \ ( *3DQ PD[ J ( ( V QV H u u u H u ( ( QV QV H u u u u u PD[ J H H PD[ J HH u u u 03D 03D
5-6一直径d=20mm的实心铟圆轴,承受轴向拉 力F与扭转力偶矩M。的组合作用,如图所示。已知轴材 料的弹性常数E=200GPa,v=0.3,并通过应变花45 测得圆轴表面上a点处线应变为E=32×10-3 E45=565×10,c0=-96×10。试求F和M的数值。 (a +8,)+-(8-8)cos 2a+=r Sin 2a Er+r y 45--E y=284-60-590 ×20 F=Ao:=AEE, =AEEo ×10-6×200×10×32×10-3=20.1kN 4 E丌d 2(1+v)16 200×10丌×20 ×10”×(2×56.5-32+96)×10-5=109Nm 2(1+0.3)16 57在一钢结构表面的某点处,用45°应变花测得三个方向的线应变为E=56.1 -10×10-3,结构材料的弹性常数E=210GPa,v=0.28。试用应变圆 求主应变,并求该点处主应力的数值及方向 解:(1)作应变轴如图5-7-1 (2)在E轴上按比例截En,E4s,5o值,A,B,D三点应变值对应En,E4x,9o取AD中点 E,+e C为圆心,坐标 ep Eo+ E90 cB=e (3)过A作E轴的垂线AA",使AA"=CB (4)以C为圆心,CA"为半径,作圆 (5)由图中量得,E1=61×10-,c3=-15×10 由理论计算知: 56.1-10 (42 )×107=1895×10 /2 56.1+10 10-3=33.05×10-5 )2+()2=√33.052+ =OC+CA”=(2305+38.10)×10-3=61.1×10-3 222
G PP ) 0H ( *3DQ $ D H $ u H $ u H $ u ) 0H HD H H H H D J VLQ D FRV [ \ [ \ [\ [ H $ H \ H $ H [ \ [\ H $ H H J $ $ $ $ J H H H H HH [\ [ \ N1 u u u u u u ) $V [ H [ $($( H $ S H : 0 W * [\ WJ H S H $ H $ H $ Q J ( G 0 *: [\ u u u u u u 1 P $ H $ u H $ u H $ u ( *3DQ H $ $ $ H HH $ % ' $ $ $ H HH $' & H H H $ H $ H $ ' & $ ' [\ &% % H H J H $ H $$cc $$cc &% & &$cc H u H u u u [\ J u u $ ' &$ H H u u $ ' [\ U H H J H 2& $& cc u u 0H 0H q H q D q H q H ) q ) H q H H H U $cc % $ & 2 q H q H ' J
E2=(23.05-38.10)×10=15.05×10≈-15.1×10 011-1(e1+ve2)=1-028261.1+4028×(-151)×103=1296MPa≈130MPa E 210×10 (E2+VE1) (-151+0.28×61.1)×10-=4.70 =0.5733 56.1+10 14.91 58用45应变花测得受力构件表面上某点处 的线应变值为E=-267×10 6=-570×10及m=79×10°,及构件材 料为Q235钢,E=210GPa,v=0.3。试用应 变圆求主应变,并求该点处主应力的数值和方向。 解:作应变圆,得 e1=413×106 E3=-601×10 Cn=-54.95° e1=413×10 E3=-601×10-6 (413×106-0.3×601×10-)×210×10 1-(0.3) 54.3MPa a=(6+V)E=(-601×10°+03×413×10)×210×10 11.01MPa 1-0.09 59在一液压机上横梁的表面上某点处 用45°应变花测得E=51.6×10-6 E,=169×10,E=-117×10°。试用 应变圆求该点处两主应变的数值和方向。上横 梁的材料为铸铁,E=110GPa,v=0.25试 求该点处的主应力值。 解:作应变圆得 E1=186×10° 251×106 E1=186×10 E3=-25l×10 an=33.7° Vy E21=-251×106 a=(+)E=(186×10-025×251×10)×10×10=146MPa
H u u | u > @ u u u V QHH Y ( 03D | 03D u u u QHH Q V ( 03D V WDQ u $ ' % $ ' H H H H H D $ D $ H $ u H $ u H $ u 4 ( *3DQ $ u u D H H 03D u u u u u Q H QH V ( 03D u u u u u Q H QH V ( e H $ u H $ u H $ u ( *3DQ H u H u $ D u u u u u Q H QH V ( 03D \ [ H H q H q D q H H q H q H J H % $ & ' H D u u H q u u D H H q q H H H q H \ [ H H q H q D q H H q H q H J H ' & $ % H D u u qq H H q u u D H H
(3+V1)E(-251×106+0.25×186×10°)×110×10° 24.0 MPa 1-(0.25)2 5-10在一液压机上横梁的表面上某点处,用60°应变花测得三个方向的应变为 0=28.5×10,Ea= -2.0×103,E10=-10.0×107。已知液压机材料的弹性常数 E=210GPa,v=0.3。试用应变圆求主应变,并求该点处主应力的数值及方向 解:(1)作轴,并作L,L2,L与轴平行,且使其与轴间距为En,E,E,在L上任取B 点,作BA,BC,使其与L线成60°如图,交L于A,交L于C,作AB,BC的垂直平分线交于O 点,以O为圆心,OB为半径,画圆。过O1作的垂直线E轴,交于O,O为莫尔圆之坐标原 点,图中量得 61=29×103,3=-18×10-3,a0=5.7 (2)若利用公式计算 e +eE (n-En)2+(En-E)2+(。-6n) 28.5-2-10 √30532+82+38.52)×10-5 (5.5±23.5)×10 61=290×1033=-18:0×105 tan2ao2Ea-b-E。2×28.5+2+100.2008 a0=5.68°(主方向角) E 210×1 (3) 12(61 t ve 1-03129.0+0.3×(-18.0)x1-5=545MPa E 210×103 01-p(3+vE)1-03(-180+03×2900×103=-2MPa 0.3 E2=[0-v(σ3+G1) 210×103
u u u u u Q H QH V ( 03D e H $ u H $ u H $ u ( *3DQ J /D /E /F J J D E F H H H /E % %$ %& /E $ /D $ /F & $% %& 2 2 2% 2 J H J 2 2 H u H u $ D D E E F F D D E F H H H H H H H H H H r r u r u H u H u > @ WDQ u D E F E F H H H H H D $ D > @ 03D u u u H QH Q V ( 03D u u u H QH Q V ( > @ u u u H Q V V V ( D H q J H u H 2 % E H & % $ /D /E /F 2 D H F H q '
