第五章梁弯曲时的位移 5-1试用积分法验算附录Ⅳ中第1至第8项各梁的挠曲线方程及最大挠度、梁端转角 的表达式。 解:(1)M=-M。(0≤x≤1) d21 d dr FIx+C, w= M x+cx+ D 2El e 0(0)="=0.C=0.v(0)=0D=0 dx M MI MI 2EⅠ (2)M=-F+Fx(0≤x≤l d Fl+x dx El d w (FLx+=Fx)+C Flx2+-Fx)+Cx+D EI 2 b(0)=0.C=0;v(0)=0,D=0 6E D(Fx2+1m212 2EⅠ gEl (3)M=-Fa+Fx(0≤x≤a) 由(2)解m=x2 (0≤x≤a) 6El Wa)=Fa 3EI 6El 2EI F 2EⅠ 3EI 2E (2a+3x-3a)=(3x-a)(a≤x≤l) 6El F v() 6EⅠ
H 0 0 [ dd O (, 0 [ Z H G G [ &[ ' (, 0 [ & Z (, 0 [ Z H H G G G G & 'Z [ Z T H [ (, 0 Z (, 0 O (, 0 O Z % H H PD[ T 0 )O )[ d d O[ (, )O )[ [ Z G G )O[ )[ & [ (, Z G G )O[ )[ &[ ' (, Z T & Z ' (, )O )O )O (, O [ (, )[ Z % T (, )O Z% 0 )D )[ d d D[ D [ [ D (, )[ Z dd (, )D Z D (, )D D[ [ (, ) & [ D T (, )D % & T T [ D (, )D D [ D (, )D [ D (, )D (, )D Z D d d O[ O D (, )D Z Z O % O 0 H 0 H ) O ) O D
ALiiiiiiit d lx t dx2 29/x e(0)=0C=0O=9 6 喉912x2-1c+,qx)+(x+D D=0 (612-4x+x2),w 24EI (5)q(x)=q0(1 M q 12+9x-g(x)x,x1 2~x0-9(x)x (13-312x+3x2.x3) dw M (13x-12x2+bx3-2x4)+C dx leL 6(0=0.C=0an=9 x)+Cx+D 6/EI 2 v(0)=0,D=0 w=90(02-1012 30El (6)M=MA--4x d d El
0 TO TO[ T[ (, 0 [ Z G G G G TO TO[ T[ [ (, Z TO [ TO[ T[ & [ (, Z G G (, TO & % T T TO [ TO[ T[ &[ ' (, Z Z ' O O[ [ (, T[ Z (, TO Z% O [ T [ T [ T T [ [ [ 0 T O T O[ T [ [ > @ O O [ O[ [ O T (, 0 [ Z G G O [ O [ O[ [ & O(, T [ Z G G (, T O & % T T O [ O [ O[ [ &[ ' O(, T Z Z ' O O [ O[ [ O(, T[ Z (, TO Z% [ O 0 0 0 $ $ G G [ O 0 0 [ (, Z $ $ G G O [ (, 0 [ Z $ T O T O O 0 $
d +Cx+d EI 61 2 v(0)=0.D=0 ()=0.4(12 El6 2 M,I EI 6 2 3EI 4(212+3x2-6x) dx cell 6El (7)M=8x d d-w MR d Ell d dx 2Ell Mnx Cx+D cEll v(0)=0.D=0 M. 13 v()= Cl=0 cEll M 6El 6Ell 6E 6Ell B(2-3x2) dx cell 6,=b(0)= M.9=( M 6El 3EI
[ & O [ (, 0 [Z $ GG &[ ' [ O [ (, 0 Z $ Z ' &O O O (, 0 Z O $ (, 0 O & $ [ (, [ 0 O O [ (, 0 Z $ $ (, O 0 O O [ O[ Z Z (,O 0 [ $ & $ G G O [ O[ (,O 0 [Z $ T (, 0 O (, 0 O $ % $ $ T T [ O 0 0 % (, 0 [Z GG [ (,O 0 [Z % GG [ & (,O 0 [Z % G G &[ ' (,O 0 [ Z % Z ' &O (,O 0 O Z O % (, 0 O & % O [ (,O 0 [ [ (, 0 O (,O 0 [ Z % % % (, O 0 O Z Z % & G G O [ (,O 0 [Z % T (, 0 O % $ T T (, 0 O O % % T T O 0%
(8)M=qlx_I ↑tt dx2EⅠ gl 3 q v(0)=0,D=0;w(D)=0.9·13-014+(l=0,C= 24 q (13-6Mx2+4x3) dx 24eI 6=6( 24EⅠ 384E 5-2简支梁承受荷载如图所示,试用积分法求θ4,日B, 并求W所在截面的位置及该挠度的算式。 解:首先求支座反力FA q qo/ 梁的弯矩方程 M(r)=Fx--q(r lo Lx 6 (Lx 则挠曲线的近似微分方程 积分两次,即得 4l +Cx+d 20l 边界条件是两铰支端的挠度为零,即 0时y=0;x=l时 将其代入式(4),可得 360 将积分常数C,D之值代入式(3),(4),梁的转角方程式和挠曲线方程为 67
[ T[ TO 0 (, 0 [ Z G G [ & T [ TO [ Z (, G G [ &[ ' T [ TO (,Z TO O &O & T O TO Z ' Z O O O[ [ (, T[ [ TO [ T [ TO (, Z G G O O[ [ (, T [ Z T (, O TO Z Z (, TO O (, TO $ % & T TT T $ T % ZPD[ )$ T O O O T O )$ [ 0 [ ) [ T [ [ $ [ O T O T O[ O [ T O[ O [ (,Zcc 0 [ T O[ & O [ [ O (,Zc T &[ ' O [ [ O (,Z T [ \ [ O \ T O & ' & ' T O $ % O $ % O \ )$ [ )% [
lo EI1224l360 361201360 显然转角4,6B分别是 O,= 7/ qol 360360EI n=| EI122436045EI 欲求W的位置,首先令v=0,即有 714=0 0.52 将x=0.52l代入挠曲线方程,得梁的最人挠度计算式 (0.521)3(0.521)3,713×0 30]=000519 (向下) 120 5-3外伸梁承受均布荷载如图所示,试用积分法求4,6及wD,wc 解:首先求支座反力为 是已 g(3a) 对于第Ⅰ,第Ⅱ段梁的弯矩方程分别是 (0≤x≤2a)(1) M2(x) 9g gar 令第I段梁的挠曲线方程是w,于是得其挠曲线的近似微分方程式 Elw=-M(r)=--qax+qr (0≤x≤2a) (2) 积分得Eh、3ax+64 (3) Elw, 令第∏段梁的挠曲线方程是w2’得其挠曲线近似微分方程式 )+qx2(2a≤x≤3 (2) 积分得Ehn2=-qx2-aqa(x-2a)2+2qx3+C (3′) 3 ga(r-2a)+gx+C2x+D
O O O[ [ (, T T Zc O [ O O[ [ (, T Z T $ T % (, O T O (, T $ [ T T (, O O O T O (, T % [ O T T ZPD[ Zc [ O O[ [ O [ O @ > PD[ O O O O O O (, T Z Z [ O u (, T O T $ T % Z' Z& TD D TD TD )$ TD D T D )% 0 [ TD[ T[ [ dd D [ D T[ D [ D TD 0 [ TD[ dd c , Z (,Zcc 0 [ T[TD[ d d D[ (,Zc TD[ T[ & (,Z TD[ T[ & [ ' Z (,Zcc 0 [ TD[ TD [ T[D D d d D[ c (,Zc TD[ TD [ D T[ & c (,Z TD[ TD [ D T[ & [ ' c $ % T & D D D ' $ % T & D ' [ )$ )% \ D D [
利用点B挠曲线的连续条件 当x=2a时,w=v2与w1 于是由(3),(4),(3′),(4)诸式得 D 利用边界条件 当x=O时 时 0 由式(3)得Eh1|-=0=D D1=D2=0 将积分常数值分别代入式(3),(4),(3′),(4′)得到梁的第I,第Ⅱ段的转角方程 和挠曲线方程 第I段(0x≤2a)1=W=(r (5) 6 第Ⅱ段(2a≤x≤3a) el 8 ei 8 (x-2a) 进而求得 6E/(顺) 3 ga(2a) (向下) q I2El =w.1r9a.(3a3-6(30-2a)3+,1(3n)9a.3y/=ga(向下) 8 24 gEl
% [ D Zc Zc ZZ c c & & '' [ Z [ D ZZ (,Z [ ' D & D T D TD (,Z [ D '' TD & & c c d d D[ TD TD[ T[ (, T Zc [ TD [ T [ TD (, Z D d d D[ @ > TD[ TD [ D T[ TD (, T Zc c @ > TD[ TD [ D T[ TD [ (, Z c (, TD $ [ T T @ > TD TD D T D (, T% T [ D (, TD D T D TD D T TD (, Z' Z [ D (, TD D TD D T D D TD D T TD (, Z& Z [ D @ >
5-4试用积分法求图示外伸梁的,OB及4,wD F=gl/2 解:首先求支反力 ILIc ∑Mc=0 gl 3 F=gl/ ∑F=0 F=F+9l-.I ql+ql--ql=ql(↑) 第I段(AB段),第Ⅱ段(BC段)梁的弯矩方程分别是 M1(x)=-g(0≤xs1/2) (1) l.1 M,(x)=--glx +=gl(x-) gx ≤x≤=D) (1) 22 相应得挠曲线近似微分方程 Eh1=-M1(x) (0≤x≤ Elw,=-M,(x)=glx -=gl(x-)+=9(x (2) 分别积分Eh1=qx2+C1 (3) E配=qbx3+Cx+D1 (4) )+q(x-5) (3′) 2 249(x、1 +cx+ d (4′) 224 利用点B处梁的连续条件,即x=时,有w=w2,W=2而得到 2 C1=C2,D1=D2 利用边界条件x=时,W=0;x=一时,w2=0 即EFhw N=0=19(G7)+G+D≈q,1 (5) 96 1,31、35,3l、31371 ElM =0 2422+C2x+D C+D (6) 式(5)、(6)联解得C1 D (7) 将积分常数代入式(3)、(4)、(3′)、(4′),得到转角方程与挠曲线方程 B1=w1= x2-2)(0≤x≤ (8)
$ % Z$ Z' T T ¦ 0 & O TO ) O )% TO TO TO ¦)\ ) ) TO ) TO TO TO TO & % $% %& 0 [ TO[ [ dd O [ O O O T [ O 0 [ TO[ TO [ dd c (,Z 0 [ TO[ cc O d [ d O T [ O (,Zcc 0 [ TO[ TO [ O [ O d d c (,Zc TO[ & (,Z TO[ & [ ' & O T [ O (,Zc TO[ TO [ c & [ ' O T [ O (,Z TO[ TO [ c % O [ Z Z c c Z Z & & ' ' O [ Z O [ Z '& TO O ' O & O (,Z TO O [ O O T O O TO O (,Z TO O [ ' O & & ' TO O TO ' TO & c c TO [ TO (, T Zc O d [ d $ % T & O ' ) TO O O $ % T & ' O O ) TO [ \ )% )& O
qx+)(0≤x≤-) 48 2=w2 x 1](≤x≤)(8′) 8 go ](≤x≤一)(9) 对所求特定点的转角或挠度,只须将其x坐标值,代入对应方程得 64=61 (逆) 24E(逆 (向下) gl(l 384EI 5-5外伸梁如图所示,试用积分法求4,和wg q=F/a 解:约束力 Fa+ 3F FR 5F F F8 为了运算上的简化,在粱的BE段添加相等相反的均布荷载q=2。(图中用虚线表示) AB段的挠曲线近似微分方程 Eh1=-M1(x)=gx2(0≤x≤a)(1) 积分ph,1 (2) Eu gx +Cx+D (3) BD段的挠曲线近似微分方程 Elw2=-M2(x)=qx- FB(x-a)--q(x-a) F(x-a)-=q(x-a)(a≤x≤3a) 积分Ehv2=2qx3-1F(x-a)2-q(x-a)3+C2 Elw =-gx--F(x-a)-q(x-a)+C x+D DE段的挠曲线近似微分方程
TO TO[ TO [ (, Z O d [ d @ > TO O T [ O TO[ TO [ (, T Zc O [ O d d c @ > TO TO [ O T [ O TO[ TO [ (, Z O [ O d d c [ (, TO TO (, $ [ T T (, TO O TO TO (, O [ % @ > T T (, TO Z$ Z [ > TO O T O O TO TO O (, Z' Z [ O (, TO TO O @ Z$ Z& Z( ) D )D TD D )% ) )' ) TD )% %( D ) T $% (,Zcc 0 T[[ d d D[ (,Zc T[ & (,Z T[ & [ ' %' (,Z 0 [ T[ ) [ D T D[ cc % T[ ) [ D T [ D D d d D[ c (,Zc T[ ) [ D T [ D & c (,Z T[ ) [ D T [ D & [ ' c '( $ % & ' T ) D D ( ) D D D $ % & T ) D D ( ) D D D \ [ )% )' ' [
Elw=-M,(x)=qx- F(x-a)-F(x-3a)--q(x-a)(asxs4a)(1) 积分Eh (x-a)-5 F(x-3a)--y(x-a)+C3 (2") Elw.= 4-F(x-a) )3-F(x-3a)3- 24 249(x-a)"+C3x+D3(3") 利用梁在点B的连续条件,即x=a时,w=v2;W=w2,由式(2),(3)和(2”), (3")分别相等,得C1=C2,D1=D2 同理利用点D的连续条件,得C2=C3,D2=D3 于是有C1=C2=C3,D1=D2=D3 利用边界条件,当x=a时,w1=2=0;当x=3a时,w2=w3=0有 Eh1-24 +C,a+D=0 (5) EAn|=80-(a-0)n9(0-oy+C2a+D2=0() 由式(4)、(5)、(6)联立求解,并将q=一代入得 D1=D2=D3 将式(7)代入式(2)、(3)、(2)、(3)、(2”)、(3"),并将q=一代入,得梁的位 移方程 4B段(0≤x≤a) 61 1Fx35 Fx 5Fa2 19Fa (9) Er 24a 6 24 BD段(a≤x≤3a) 0=w-I Fx' 3F(x-a) F(x-a5Fa2 (8′) 6 I Fx F(x-a) F(x-a) 5Fax 19Fa (9′) 24a 6 24 DE段(3a≤x≤4a) 6=w3= Fx 3F(x-a- 5F(x-3a) F(x-a)' 5Fa (8″) 8 nE-(x2)-5F(3)-(x-o-5+(y 24a 所求位移v4,c和wg是 19Fa 24E(向下
(,Zcc 0 [ T[ ) [ D ) [ D T [ D D d d D[ cc (,Zc T[ ) [ D ) [ D T [ D & cc (,Z T[ ) [ D ) [ D T [ D & [ ' cc % [ D Z Z c c Z Z cc cc & & ' ' ' & & ' ' & & & ' ' ' [ D Z Z [ D Z Z , , & D ' TD (,Z [ D ) D D T D D & D ' TD (,Z [ D D ) T & & & )D ' ' ' )D c c cc cc D ) T $% d d D[ )D D )[ (, T Zc )D [ )D D )[ (, Z %' D d d D[ @ > )D D ) [ D ) [ D D )[ (, Z T c c @ > )D [ )D D ) [ D ) [ D D )[ (, Z c '( D d d D[ @ > )D D ) [ D ) [ D ) [ D D )[ (, Z T c cc D ) [ D ) [ D ) [ D D )[ (, Z > @ )D [ )D cc Z$ Z& Z( (, )D Z$ Z [
1F(2a)F(2a-a)F(2a-a)4 24a 3Fa gEl 1,F(4a)4F(4a-a)35F(4a-3a)3 Er 24a 24 F(4a-a)45Fa24a,19Fa3,7Fa3 向下 6 5-6试用积分法求图示悬臂梁B端的挠度wB 解:本解借用奇异函数表示。由图5-6a 21 M=-F+2Fx-F-F2 +2F +<X 6El WR=w F 279EI 5-7试用积分法求图示外伸梁的4和wco 解:根据静力平衡求支反力 C F4=22 F8=2qa-FA=2q AD段的挠曲线近似微分方程 Ehv"=-M1(x)=00≤x≤a)(1) 积分EhMv=C1 (2) Eh D DB段的挠曲线近似微分方程 2 (a≤x≤2a) 积分Ehv2=q(x-a)3+C2
D ) D D ) D D D ) D (, Z& Z [ D > @ )D D )D (, )D > ) D D ) D D D ) D (, Z( Z [ D (, )D D )D )D D ) D D @ % Z% D ! ! O ) [ O 0 )O )[ ) [ (, 0 [ Z G G > ! ! [ ) [ )O (, Z &[ ' O [ ) O [ ) ! ! @ Z ' T & @ > ! ! O [ O ) [ ) [ ) [ )O (, Z @ > ! ! O [ O O[ [ [ (, ) Z (, O )O O O O (, ) Z Z O % T $ Z& D TD TD )$ ) TD ) TD % $ $' (,Z cc 0 [ d d D[ (,Z & c ' (,Z & [ '% (,Zcc 0 [ T D[ D d d D[ c (,Zc T [ D & c $ % O ) ) O O $ % ) ) ) )O $ % T & ' D D D $ % T ' & D D D )$ [ )% [ \
